21.3实际问题与一元二次方程 解答题题型分类训练 2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册《21.3实际问题与一元二次方程》 解答题题型分类训练（附答案） 一、数字问题 1．一个两位数，个位数字比十位数字小1，且个位数字与十位数字的乘积等于72．求这个两位数． 2．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数． 3．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 4．“五一国际劳动节”是世界上多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于年月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”．如图是年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为，求这个最小的数（请用方程知识解答）． 二、增长率问题 5．2025年1月29日大年初一，电影《哪吒之魔童闹海》正式上映，电影一上映就引起了热烈的反响，票房一路飙升，从2月6日的约60亿元到2月8日同一节点上升到约亿元，求这两天电影票房的平均增长率． 6．某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价为每辆25万元的纯电动新能源汽车经过两次价格下调后，售价变为每辆16万元，求平均每次降价的百分率． 7．为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知年投入资金万元，年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该社区年至年投入资金的增长率； (2)如果投入资金年增长率保持不变，求该社区在年投入资金多少万元？ 8．随着我国社会保障机制的进一步完善，越来越多的单位更多的在工资方面体现出对职工的全面关怀，并且工资水平也在逐年提高、某公司实行年工资制，职工的年工资由基础工资、住房补贴和医疗费三项组成，具体规定如下： 项目 第一年的工资（万元） 一年后的计算方法 基础工资 每年的增长率相同 住房补贴 每年增加 医疗费 固定不变 (1)如果设基础工资每年的增长率为，那么用含的代数式表示第三年的基础工资为_____万元； (2)某人在公司工作了3年，他算了一下这3年拿到的住房补贴和医疗费正好是这3年基础工资总额的18%，问基础工资每年的增长率是多少？ 三、传播问题 9．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数． 10．若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 11．今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日，为庆祝生日，凡是今天过生日的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56个生日贺卡，那么，谁知道我们班一共有多少人今天过生日？（用一元二次方程解决） 12．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手____________次；若参加聚会的人数为5，则共握手____________次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手____________次； (2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数； (3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论； (4)小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值． 四、销售问题 13．一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价10元，每月可多售出200顶． (1)头盔每降价1元，每月可多售出 顶； (2)若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？ 14．服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ (2)平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？ 15．小明打算团购一批哪吒和敖丙的手办收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的1.3倍，经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多14个，购买哪吒手办共需2210元，敖丙手办共需1000元． (1)求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？ (2)计划购买敖丙手办_____个，哪吒手办_____个； (3)经由小明的争取，商家同意哪吒手办的单价降低元，敖丙手办的单价降低元，结果购买哪吒手办的数量比原计划增加了个，则买敖丙手办的数量比原计划增加了2个，最终总费用比原计划多了100元，求的值． 16．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出y与x的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元？ (3)在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的40%的前提下，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 五、图形问题 17．为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，学校会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．在生态大棚中有一块边长为的正方形空地，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地．从校园美观和实用的角度考虑，按下图的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度． 18．如下图，某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造．先在正方形空地一边修一条4m宽的小路，再在另一边修一条5m宽的小路，剩余部分用于栽种鲜花，面积为．求原正方形空地的边长．（用两种方法解答） 19．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图13所示，已知空地长，宽，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽的道路，已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少米； (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．在停车位有剩余的情况下，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同？ 20．如图，利用一面长为米的墙，用总长度米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． (1) 米(用含x的代数式表示)； (2)若长方形围栏的面积为平方米，求栅栏的长； (3)长方形栅栏的面积能达到平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 参考答案 1．解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为．依题意，得， 解得（不合题意，舍去），， ． 答：这个两位数为98． 2．解：设个位上的数为，则十位上的数为， 依题意，得 整理得： 解得：，（舍去） 所以，，． 答：这个两位数是81． 3．解：设周瑜去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴周瑜去世的年龄为岁， 4．解：设这个最小的数为x，则最大的数为． 依题意得． 解得，（不合题意，舍去）． ∴这个最小的数为8． 5．解：设这两天电影票房的平均增长率为． 依题意得， 解得（舍）， 答：这两天电影票房的平均增长率为． 6．解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意得， 解得，（不合题意值已舍去） 所以，平均每次降价的百分率为． 7．（1）解：设该社区年至年投入资金的增长率为， 根据题意得：， 解得：或（舍去）； 答：该社区年至年投入资金的增长率为； （2）（万元）， 答：该社区在2025年投入资金3.456万元． 8．（1）解：∵第一年工资为1万元，又因为每年增长率相同， ∴第三年的基础工资为：， 故答案为：； （2）解：∵住房补贴每年增长万元， ∴三年的住房补贴为：（万元）； ∵医疗费固定不变， ∴三年的医疗费为：（万元）； 根据题意可得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：基础工资每年的增长率是． 9．解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 10．解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有：， 故， ∴或， ∴，（不合题意，舍去）， （人）． 答：第四轮传染后共有7056人患流感． 11．解：设一共有x人过生日，由已知，每个过生日的人要做个生日贺卡，即共做个．由题意得 整理可得 解得（舍） 答：一共有8个人过生日． 12．（1）解：，． 解：∵参加聚会的人数为n（n为正整数）， ∴每人需跟人握手， ∴共握手次． 故答案为：3；10； （2）解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：参加聚会的人数为8人． （3）解：∵线段上共有m个点（不含端点A，B）， ∴可当成共有个人握手， ∴线段总数为． （4）解：根据题意得，， 解得．即边数n的值为10． 13．（1）解：∵每降价10元，每月可多售出200顶， ∴头盔每降价1元，每月可多售出20顶． 故答案为：20； （2）解：设每顶头盔的售价为x元，则， 整理得：， 解得：， 答：每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元． 14．（1）解：设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； （2）解：平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元，理由如下： 设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴该方程无实数根， ∴平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元． 15．（1）解：设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元， 根据题意得， 解得： 经检验是原方程的解，且符合题意， （元） 答：哪吒手办的单价为65元，敖丙手办的单价为50元； （2）解：由（1）可得计划购买敖丙手办个，哪吒手办个 （3）据题意得， 解得：（舍去） 答：的值为1 16．（1）解：设y与x的函数关系式为， 由图可知，函数图象经过点和， ∴， 解得：， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：由题意可知，每双运动鞋的售价应该定为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， 答：每双运动鞋的售价应该定为87元； （3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下： ∵保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的， ∴， 解得：， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（符合题意）， ∴， 答：在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能获得9000元的利润，定价为90元． 17．解：设小道的宽度为， ， 解得：或（舍去）， 答：小道的宽度为． 18．解：方法一：解：设原正方形空地的边长为xm． 根据题意，得． 整理，得， 解得（不合题意，舍去），． 故原正方形空地的边长为20m． 方法二：解：设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分是长为，宽为的长方形． 根据题意，得． 整理，得， 解得（不合题意，舍去），． 故原正方形空地的边长为20m． 19．（1）解：根据道路的宽为米， ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． （2）解：全部租出时的租金为：（元） 设月租金上涨元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同 20．（1）解：根据题意得：米． 故答案为：； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：栅栏的长为米； （3）长方形栅栏的面积不能达到平方米，理由如下： 假设长方形栅栏的面积能达到平方米， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立， 即长方形栅栏的面积不能达到平方米． 学科网（北京）股份有限公司 $