专题02空间向量与立体几何解答题6考点（期中真题汇编，天津专用）高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册

专题02空间向量与立体几何解答题考点 6大高频考点概览 考点01平行问题 考点02 线线垂直问题 考点03 线面垂直问题 考点04 夹角问题 考点05 探索性问题 考点06 距离问题 地 城 考点01 平行问题 1．(24-25高二上·天津五区县重点校联考·期中)如图，在四棱锥中，，，平面，底面为正方形，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 2．(24-25高二上·天津弘毅中学·期中)如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，E是的中点，，F为棱上的点且.   (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 3．(24-25高二上·天津北辰区·期中)如图，在三棱锥中，平面平面，，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 4．(24-25高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中)如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，四边形PDCE为矩形.   (1)若是的中点，求证：平面 (2)若是的中点，求点到直线的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 5．(24-25高二上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中)如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点. (1)求证: 平面 (2)求直线 与平面 所成角的正弦值； (3)求平面 与平面 夹角的余弦值. 地 城 考点02 线线垂直问题 1．(24-25高二上·天津滨海新区田家炳中学·期中)如图，在正方体中，正方体的棱长为2，E为的中点.   (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点B到平面的距离. 2．(24-25高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，，，，，，． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面所成角的正弦值为，求的值． 3．(24-25高二上·天津第四十七中学·期中)如图，在三棱柱中，平面 ，，点D，E分别在棱和棱上，且为棱的中点. (1)求证:; (2)求二面角夹角的余弦值; (3)求直线AB与平面所成角的正弦值. 4．(24-25高二上·天津部分区·期中)在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，，分别是，，，的中点，平面． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长，若不存在，说明理由． 5．(24-25高二上·天津滨海新区大港第八中学·期中)如图，正四棱柱中，，点E在上且． (1)证明：； (2)求点B到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 地 城 考点03 线面垂直问题 1．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)记的中点为，若在线段上，且直线与平面所成的角的正弦值为，求线段的长． 2．(24-25高二上·天津滨海新区田家炳中学·期中)如图所示，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为60°.   (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点M在线段上，且,平面，求出M点的坐标. 3．(23-24高二上·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)如图，平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 4．(24-25高二上·天津五区县重点校联考·期中)如图，四棱柱中，侧棱底面 ，为棱的中点．   (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 5．(24-25高二上·天津河东区·期中)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，． (1)求证：平面； (2)若E为侧棱的中点，且点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 地 城 考点04 夹角问题 1．(24-25高二上·天津静海区第六中学·期中)在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． (3)求点到平面的距离． 2．(24-25高二上·天津南开中学滨海生态城学校·期中)如图，三棱柱中，平面，M是的中点，N是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 3．(24-25高二上·天津河东区·期中)如图，在正四棱柱中，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求与平面所成角的正弦值. 4．(24-25高二上·天津河西区·期中)如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．   (1)证明：； (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； (3)若F为棱PC上一点，满足，求平面FAB与平面PAB所成角的余弦值． 5．(24-25高二上·天津南开中学滨海生态城学校·期中)如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4．     (1)求与所成角的余弦值； (2)与平面所成角的正弦值． 6．(23-24高二上·天津河西区·期中)如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 地 城 考点05 探索性问题 1．(24-25高二上·天津滨海新区大港第八中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 2．(24-25高二上·天津第一百中学·期中)如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且.   (1)证明：无论取何值，总有； (2)当取何值时，直线与平面所成角最大？并求该角取最大值时的正切值； (3)是否存在点，使得平面与平面的夹角的正弦值为？若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 3．(24-25高二上·天津实验中学滨海学校·期中)如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且．   (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)设点在上，且判断直线是否在平面内，说明理由． 4．(24-25高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且. (1)求证：平面. (2)求二面角的平面角的余弦值. (3)若点在棱上（不与点，重合），直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 5．(24-25高二上·天津第一中学·期中)如图，在三棱锥中，平面ABC，，是的中点. (1)求证：； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由 6．(24-25高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中)如图所示，在直三棱柱中，侧面为长方形，，，，. (1)求证：平面平面； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点T，使得点T到直线的距离是，若存在求的长，不存在说明理由. 地 城 考点06 距离问题 1．(24-25高二上·天津部分区·期中)如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，，，分别为，的中点．   (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 2．(24-25高二上·天津河北区·期中)如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 3．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学教育集团校·期中)如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02空间向量与立体几何解答题考点 6大高频考点概览 考点01平行问题 考点02 线线垂直问题 考点03 线面垂直问题 考点04 夹角问题 考点05 探索性问题 考点06 距离问题 地 城 考点01 平行问题 1．(24-25高二上·天津五区县重点校联考·期中)如图，在四棱锥中，，，平面，底面为正方形，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线线平行可证线面平行； （2）求出平面的法向量，根据线面角的向量方法即可求解； （3）根据点到面的距离公式求解即可. 【详解】（1）因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）由平面，底面为正方形， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离为. 2．(24-25高二上·天津弘毅中学·期中)如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，E是的中点，，F为棱上的点且.   (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)利用中位线平行，证明线面平行即可； (2)利用已知中的垂直关系，再结合勾股定理证明，从而可证明平面，即可得线面角，从而可求其余弦值; (3)利用空间向量法来求法向量，再求两法向量夹角的余弦值即可. 【详解】（1）    连接交于点，由底面是正方形，可得， 又因为E是的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）由侧棱底面， 底面，所以， 由已知得：，，所以由勾股定理得：， 因为，所以， 再由余弦定理得：， 由于，则可得， 又因为E是的中点，，所以， 又因为侧棱底面， 底面，所以， 又因为正方形，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为底面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为底面，所以， 又因为，平面，所以平面， 即与平面所成的角就是， 所以， 故与平面所成角的余弦值为； （3）    根据题意可如图建立空间直角坐标系： 则， 即， 设平面的法向量为， 则，令，则， 即， 因为平面，所以平面的法向量为 即， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 3．(24-25高二上·天津北辰区·期中)如图，在三棱锥中，平面平面，，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用中位线得出线线平行，可得出面面平行，由面面平行的性质证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角的正弦即可； （3）设，利用向量法求直线与直线所成角即可得解. 【详解】（1）取中点，连接，如图所示： 因为为中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为为中点，为中点，所以， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2）平面PAC平面，平面 平面 AC， 平面，平面.   平面，，又， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面一个法向量为， 所以，所以， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，且， 所以， 所以，解得， 所以. 4．(24-25高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中)如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，四边形PDCE为矩形.   (1)若是的中点，求证：平面 (2)若是的中点，求点到直线的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，连接，根据几何关系得，再利用线面平行的判定定，即可证明结果； （2）取中点，过作于，连接，根据条件得到面，从而得点到直线的距离为，再利用几何关系，即可求解； （3）建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，再利用线面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）如图，设，连接， 因为四边形为矩形，所以是中点，又是的中点，所以， 又面，面，所以平面. （2）如图，取中点，过作于，连接， 因为面，又面，所以， 又，，面，所以面， 又面，所以，又，所以， 又，，面，所以面， 又面，所以，故点到直线的距离为， 因为，四边形为矩形，是的中点， 由，即，得到， 又，所以. （3）由（2）知，可建立如图所示的空间直角坐标系，    因为， 则， 所以，，， 设平面的一个法向量为，由，得到， 取，得，所以， 设直线与平面所成的角为， 则. 5．(24-25高二上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中)如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点. (1)求证: 平面 (2)求直线 与平面 所成角的正弦值； (3)求平面 与平面 夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证； （2）由（1）可得，利用空间向量法求解线面角即可； （3）由（1）可得，求出平面的一个法向量，利用空间向量法求解面面角即可. 【详解】（1）以A为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则, ,,,,， 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 因为平面，所以平面； （2）由（1）知，，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则. （3）由（1）知，，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以， 故， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 地 城 考点02 线线垂直问题 1．(24-25高二上·天津滨海新区田家炳中学·期中)如图，在正方体中，正方体的棱长为2，E为的中点.   (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点B到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以A为原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系向量法即可证出； （2）求出平面的一个法向量，再根据线面角的向量公式即可求出； （3）根据点到平面的距离向量公式即可求出． 【详解】（1）以A为原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系， 则   ，，， ，， ， ∴； （2）因为正方体的棱长为2，，，，， ∴，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，∴， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（Ⅱ）知，平面所的法向量为， 所以点B到平面的距离， ，. 2．(24-25高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，，，，，，． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法求出面面角的余弦值． （3）令，，求出，由已知结合线面角的向量法求解. 【详解】（1）在四棱锥中，平面ABCD，，则直线两两垂直， 以A为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 而，， 则， ，， 所以. （2）由（1）知，， 设平面APC的法向量，则， 取，得， 设平面PCD的法向量，则， 令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）令，，则， ，由（2）知平面PAC的法向量， 由直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，得， 整理得，而，解得， 所以的值为. 3．(24-25高二上·天津第四十七中学·期中)如图，在三棱柱中，平面 ，，点D，E分别在棱和棱上，且为棱的中点. (1)求证:; (2)求二面角夹角的余弦值; (3)求直线AB与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.计算出向量和的坐标，得出，即可证明出； （2）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值； （3）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， 可得、、、、 、、、、. 依题意，，， 从而，所以； （2）依题意，是平面的一个法向量， ，． 设为平面的法向量， 则，即， 不妨设，可得． ， 由图知该二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. （3）依题意，． 由（2）知为平面的一个法向量， 于是． 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 4．(24-25高二上·天津部分区·期中)在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，，分别是，，，的中点，平面． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）建系，通过向量垂直即可得证； （2）求得平面法向量，由面面夹角的公式即可求解； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）因为是正方形，，是，的中点， 所以， 因为平面， ，平面， 所以，， 所以如图以为原点，，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，， ，， ， ∴  ∴ （2）设平面与平面夹角， 设平面的一个法向量为， ，， 则，即，令，得，， ∴， 设平面的一个法向量为， ，， 则，即，令，得，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴平面与平面夹角. （3）由题可知， 设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得或（舍）， ∴， 即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时． 5．(24-25高二上·天津滨海新区大港第八中学·期中)如图，正四棱柱中，，点E在上且． (1)证明：； (2)求点B到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）建立如图所示坐标系，求出，再由数量积为零证明两直线垂直即可； （2）求出平面的法向量，代入空间向量的点到面的距离公式求解即可； （3）直接代入空间向量的线面角公式求解即可； 【详解】（1） 如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 则，， 所以，所以，即. （2）由可得， ， 设平面的法向量为， 则，取，则， 又， 所以点B到平面的距离为， （3）由（2）可得平面的法向量为，又， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 地 城 考点03 线面垂直问题 1．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)记的中点为，若在线段上，且直线与平面所成的角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）连接，证出和，即可利用线面垂直判定定理得证； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法直接求解面面角的余弦值，即可得到结果； （3）设，利用向量法直接表示出线面角的正弦值，即可得到参数，进而得到结果. 【详解】（1）连接，则， 因为，所以四边形为平行四边形； 所以， 因为，，且为的中点， 所以，所以， 所以，即， 又因为，所以平面. （2）以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取， 设平面的法向量为， 则，即， 取， 所以， 所以二面角的正弦值为. （3）设，则， 而，所以， 由（II）知平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为，则 ， 化简得，解得：或， 故线段的长度为或． 2．(24-25高二上·天津滨海新区田家炳中学·期中)如图所示，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为60°.   (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点M在线段上，且,平面，求出M点的坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论； （2）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可得二面角的余弦值； （3）结合（2）中的结果和空间向量的结论求得点M的坐标． 【详解】（1）因为平面，又平面, 所以. 因为是正方形，所以，，DE，AC都在平面， 从而平面. （2）因为是正方形，所以, 又平面，DA，DC都在平面内， 所以 所以，，两两垂直，所以建立空间直角坐标系， 如图所示.    因为与平面所成角为，即， 所以. 由，得, 所以，又，. 则，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则，即. 令，则. 因为平面，所以为平面的法向量，. 所以. 所以所求角的余弦值为. （3）点M是线段上一个动点，设.则. 因为平面，所以，即，解得. 此时，点坐标为， 即当时，平面. 3．(23-24高二上·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)如图，平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）因为平面，，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，即，， 又，平面，所以平面. （2）因为，，设平面的法向量为， 则，取，又平面的法向量可以为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）点到平面的距离. 4．(24-25高二上·天津五区县重点校联考·期中)如图，四棱柱中，侧棱底面 ，为棱的中点．   (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）利用向量法求解即可； （3）设，再根据线面角利用向量法求解即可. 【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 则， 所以， 又平面， 所以平面； （2）由（1）得即为平面的一个法向量， ， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 则， 所以二面角的正弦值为； （3）设， 则， 因为轴垂直平面， 则可取平面的法向量为， 则， 解得（舍去）， 所以.   【点睛】 5．(24-25高二上·天津河东区·期中)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，． (1)求证：平面； (2)若E为侧棱的中点，且点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设Q为AD的中点，连接PQ，证明平面ABCD，得， 从而可证线面垂直； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角． 【详解】（1）设Q为AD的中点，连接PQ， ∵为正三角形，∴， 又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD ， ∴平面ABCD， 又平面ABCD，∴，     又，，平面PAD ，∴平面PAD； （2）在平面PAD内作，则． ∵平面PAD，平面PAD，平面PAD，∴，． 如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AM所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系．     ∵底面ABCD为平行四边形，，∴ABCD为矩形． 设，则，，，，，． ∴， 设平面ACE的法向量为， 由得 取，得平面ACE的一个法向量为．         又，所以点B到平面ACE的距离为， 解得．         ∴，，， 设平面ABP的法向量为， 由得 取，得平面ABP的一个法向量为．     ∴平面ACE与平面ABP夹角的余弦值为 ． 地 城 考点04 夹角问题 1．(24-25高二上·天津静海区第六中学·期中)在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直，进而证明平面； （2）分别求出与平面的法向量，再应用直线与平面所成角的正弦公式求值即可； （3）求出，结合平面的法向量，应用点到平面的距离公式求值即可. 【详解】（1）证明：因为底面，平面，所以. 同理可证，又因为， 所以以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系（如图所示）. 依题意可得，，，,,,,, 则，是面的一个法向量， 因为，所以， 又因为平面，所以平面. （2）解：,,, 设平面的法向量，则，即， 取，则，所以平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）解：因为，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为, 2．(24-25高二上·天津南开中学滨海生态城学校·期中)如图，三棱柱中，平面，M是的中点，N是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取中点为，连接，易证四边形为平行四边形，则可得，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）由题意建立空间直角坐标系，则可得，平面的法向量，再由直线与平面所成角的正弦值求出答案； （3）由题意易知，可求出平面的法向量，由平面与平面夹角的余弦值即可求出答案. 【详解】（1）如图所示：取中点为，连接， 在中，分别为中点， 所以为的中位线， 所以,且， 又，为中点， 所以, 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）如图所示：建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）由题意知， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 则， 平面与平面夹角的余弦值. 3．(24-25高二上·天津河东区·期中)如图，在正四棱柱中，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线方向向量与平面法向量，通过向量垂直，即可求证； （2）由空间角的向量表示即可求解. 【详解】（1）在正四棱柱中，，，两两垂直，且，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，. 因为，分别为，的中点，所以，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，则有，，即， 因为，所以， 又平面，所以平面； （2）由（1）可知，， 所以与平面所成角的正弦值为. 4．(24-25高二上·天津河西区·期中)如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．   (1)证明：； (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； (3)若F为棱PC上一点，满足，求平面FAB与平面PAB所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用位置关系的向量证明推理判断. （2）利用空间向量求出线面角的正弦作答. （3）利用空间向量确定点F的位置，再利用空间向量求出面面角的余弦作答. 【详解】（1）在四棱锥中，底面ABCD，，以点为原点建立空间直角坐标系，如图，    依题意，，的中点， 向量，，则，所以. （2）向量，设为平面的法向量， 则，令，得， 于是有， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）， 由点在棱上，得， 由，得，解得，即， 设为平面的法向量，则，令，得， 显然为平面的一个法向量，则， 显然平面FAB与平面PAB所成角是锐角， 所以平面FAB与平面PAB所成角的余弦值这． 5．(24-25高二上·天津南开中学滨海生态城学校·期中)如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4．     (1)求与所成角的余弦值； (2)与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用棱柱中的平行关系转化异面直线为共面直线，余弦定理解三角形求夹角即可； （2）利用棱柱中的平行关系转化线面夹角，结合（1）解三角形计算即可. 【详解】（1）    连接，由正四棱柱的性质可知，与所成角为， 由已知可得， 由余弦定理可知：； （2）    由题意可知，则与平面所成角即与平面所成角, 连接与交于，结合（1）与条件易知, 而面，故面， 又面，所以面面, 显然面面，即直线在面上的投影在直线上, 故与平面所成角为， 易得, 所以. 6．(23-24高二上·天津河西区·期中)如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值； （3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. （2）解：，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. （3）解：，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 地 城 考点05 探索性问题 1．(24-25高二上·天津滨海新区大港第八中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角； （3）假设棱存在一点使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 点是的中点，点是的中点， 所以 ,平面,平面， 所以 平面； （2）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）， ，设， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 当时，，当时，， 则的长为或. 2．(24-25高二上·天津第一百中学·期中)如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且.   (1)证明：无论取何值，总有； (2)当取何值时，直线与平面所成角最大？并求该角取最大值时的正切值； (3)是否存在点，使得平面与平面的夹角的正弦值为？若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 (3)存在，理由见解析 【分析】（1）求出两直线的方向向量，根据数量积为0即可证明； （2）求出直线的方向向量与平面的法向量，表示出线面角的正弦值，结合二次函数求解即可； （3）求出两平面的法向量，利用空间向量夹角的余弦公式表示出二面角的余弦，再列方程求解即可. 【详解】（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，.    ，，， ，，， 无论取何值，总有. （2）由题知轴平面，是平面的一个法向量. ， 又，当时，取得最大值，即取得最大值时， 此时. （3）假设存在点满足题意，设是平面的一个法向量， ，， 由得 令，得，， 为平面的一个法向量. 由（2）知平面的一个法向量为， 若存在点，使得平面与平面的夹角的正弦值为， 则，化简得， 解得， 存在点满足条件. 3．(24-25高二上·天津实验中学滨海学校·期中)如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且．   (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)设点在上，且判断直线是否在平面内，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不在，理由见解析 【分析】（1）应用线面垂直判定定理证明即可； （2）结合线面垂直建系，空间向量法求出二面角余弦值； （3）先判断关系，再求出向量坐标，最后空间向量法证明结论. 【详解】（1）因为平面，又平面，则， 又，且，，平面，故CD平面； 又面， ， ，为中点， ， ，，面， 面； （2）过点A作的垂线交于点， 因为平面，且，平面，则，， 故以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 因为为的中点，则， 所以， 又，所以，故， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，故， 又因为平面的法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）直线不在平面内，理由如下： 因为点在上，且，又， 故， 则， 由（2）可知，平面的法向量为， 因为，所以直线不在平面内． 4．(24-25高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且. (1)求证：平面. (2)求二面角的平面角的余弦值. (3)若点在棱上（不与点，重合），直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不能，理由见解析 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，按照空间向量坐标运算证明即可； （2）分别确定平面与平面的法向量，根据向量夹角余弦值与二面角的关系可求得二面角的平面角的余弦； （3）根据点在棱上（不与点，重合），设比例系数，可得的坐标，假设直线能与平面垂直得向量关系为，根据坐标判断是否可得的值，从而判断假设是否成立. 【详解】（1）解：因为平面，所以，又 则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，且，平面 所以平面. （2）解：由（1）知是平面的一个法向量. ，. 设平面的一个法向量为， 所以，即 令，则，， 所以， 所以. 又由图可知二面角的平面角为锐角 所以二面角的平面角的余弦值为. （3）解：由（1）得，，，. 设，则， 可得，所以. 由（2）知是平面的一个法向量. 若平面，可得 则，该方程无解， 所以直线不能与平面垂直. 5．(24-25高二上·天津第一中学·期中)如图，在三棱锥中，平面ABC，，是的中点. (1)求证：； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，可证，根据线面垂直的判定定理，可证平面，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标，进而可求得平面的法向量，又平面ABC，则即为平面ABC的法向量，根据二面角的向量求法，即可求得答案. （3）设，可得，由（2）可得平面的法向量，根据线面角的向量求法，可求得t值，即可得答案. 【详解】（1）证明：因为平面ABC，平面ABC， 所以， 又，即， 所以平面， 又平面， 所以 （2）因为两两垂直，以C为原点，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 所以， 设平面的法向量， 则，所以， 令x=1，则法向量， 又平面ABC，则即为平面ABC的法向量， 所以， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. （3）设，则， 设与平面所成角为， 则， 解得（舍）或， 所以在线段上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，此时 6．(24-25高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中)如图所示，在直三棱柱中，侧面为长方形，，，，. (1)求证：平面平面； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点T，使得点T到直线的距离是，若存在求的长，不存在说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）由于，所以， 根据直三棱柱的性质可知，由于，所以平面， 由于平面，所以平面平面. （2）设N是的中点，连接，则，MA，MB，MN，两两相互垂直. 以M为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 设直线和平面所成角为，则； （3）设，则， 过T作，则， ∵， ∴， ∴，∴或（舍） ∴. 地 城 考点06 距离问题 1．(24-25高二上·天津部分区·期中)如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，，，分别为，的中点．   (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）连接，运用中位线性质，结合线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，得到关键点坐标，求出面的法向量，结合点面距离公式计算即可. 【详解】（1）连接，    在中，因为，分别为，的中点， 所以,又平面，平面， 所以平面． （2）如图，以为坐标原点，，，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系．    则，，，， ，，， ，． 设平面的法向量为， ，即 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 设点到平面的距离． ， 所以点到平面的距离为． 2．(24-25高二上·天津河北区·期中)如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用中位线定理证明，然后由线面平行的判定定理证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可； （3）求出的坐标，然后利用点到平面距离的向量公式求解即可． 【详解】（1）证明：因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 故平面； （2）由于平面， 所以平面， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 故， 设直线与平面所成角为， 则 ， 故直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为， 又平面的法向量为， 所以点到平面的距离为． 3．(24-25高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学教育集团校·期中)如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，证明即可； （2）建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值； （3）向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，则， 且，∴且， 则四边形为平行四边形，． 又平面平面， 平面． （2）解：直三棱柱中，． 以为原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为，则 即令，则，得到平面的一个法向量． 易知平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为． （3）解：，， 点到平面的距离． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $