2.4概率的简单应用 同步课堂讲义2025-2026学年浙教版九年级数学上册

2.4概率的简单应用 讲解目录 【知识点1】游戏公平性 1 【题型1】概率在转盘中的应用 1 【题型2】概率在比赛中的应用 6 【题型3】统计与概率综合应用 9 知识讲解 【知识点1】游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率=． 题型专练 【题型1】概率在转盘中的应用 【典型例题】如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，事件“指针所落扇形中的数大于3”的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】指针指向的可能情况有6种，而其中“指针所落扇形中的数大于3”有3种， 所以，事件“指针所落扇形中的数大于3”发生的概率为． 故选：B． 【举一反三1】如图是一个转盘，扇形1，2，4的圆心角分别是，，，任意转动转盘，指针指向扇形3的概率是（    ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵扇形1，2，4的圆心角分别是，，， ∴扇形3的圆心角度数， ∴指针指向扇形3的概率， 故选B． 【举一反三2】让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和概率最大的和等于(　  　) 　　 A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】根据题意，列表得： ∴共有16种等可能的结果， 则这两个数的和为2、8的概率为：， 这两个数的和为3、7的概率为：， 这两个数的和为4、6的概率为：， 这两个数的和为5的概率为：， 则这两个数的和概率最大的和等于5. 故选C. 【举一反三3】如图，现有一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有2、4、6、8、10、12、14、16这8个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字是3的倍数（当指针恰好指在分界线上时，重新转动转盘）的概率是        ． 【答案】 【解析】根据题意得：一共有8个数字，其中数字是3的倍数的有2个， ∴指针指向的数字是3的倍数的概率是． 故答案为：. 【举一反三4】某商店老板为了吸引顾客，想设计一个可以自由转动的转盘，并规定凡购物的顾客都可转动一次转盘．如果转盘停止后，指针正好对准阴影区域，则可以获得折优惠．老板设计了一个如图所示的转盘，则顾客转动一次可以打折的概率为                ．    【答案】 【解析】∵， ∴阴影部分面积占总面积的，即：顾客转动一次可以打折的概率为． 故答案是：． 【举一反三5】某书城为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成份），并规定：顾客每购买元的图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域（若指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止），那么顾客就可以分别获得元、元、元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书． (1)甲顾客购书元，可转动一次转盘，求他获得购书券的概率； (2)乙顾客购书元，可转动一次转盘，求他获得元购书券的概率． 【答案】解：（1）∵转盘平均分成份，共有种等可能的情况， 其中红色占份，黄色占份，绿色占份， ∴任意转动一次转盘获得购书券的概率是； （2）∵转盘平均分成份，共有种等可能的情况，其中红色占份， ∴他获得元购书券的概率是． 【举一反三6】如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是，，8，转盘乙上的数字分别是，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）． (1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是________；转盘乙指针指向正数的概率是________． (2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为，转盘乙指针所指的数字记为，请用列表法或树状图法求满足的概率． 【答案】解：（1）∵转盘甲中共有3个数字，其中正数有1个， ∴转盘甲指针指向正数的概率是． ∵转盘乙中共有3个数字，其中正数有2个， ∴转盘乙指针指向正数的概率是． 故答案为：；. （2）列表： 由表可知，的值共有9种等可能结果，其中满足的有6种结果， ∴． 答：满足的概率是． 【题型2】概率在比赛中的应用 【典型例题】我校准备了人去参加市上举办的数学竞赛，最终决赛参加比赛只能是人，假如你是人中的人，你抽到参与竞赛的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】5人中选取人参加比赛，所以没人被选中的概率为，故选． 【举一反三1】看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢，已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】齐王的三匹马出场顺序为10，8，6； 而田忌的三匹马出场顺序为5，7，9；5，9，7；7，5，9；7，9，5；9，5，7；9，7，5；共6种，田忌能赢得比赛的有5，9，7；一种， ∴田忌能赢得比赛的概率为， 故选：D. 【举一反三2】为了准备第八届中国诗歌节，某校组织了一次诗歌比赛，有名女生和名男生获得一等奖，现准备从这名获奖学生中随机选出名学生进行培训，将来代表学校参加第八届中国诗歌节比赛，则选出的结果是“一男一女”的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】画出树状图如下：    共有种等可能的情况，其中选出的结果是“一男一女”的情况有种， 选出的结果是“一男一女”的概率是是． 故选：． 【举一反三3】从数学成绩优秀的甲，乙，丙三名同学中任选两人参加数学竞赛，甲被选中的概率为           ． 【答案】 【解析】所有可能的情况数为：甲乙、甲丙、乙丙共3种， 其中甲被选中的有：甲乙、甲丙共2种， 则甲被选中的概率为：． 故答案为：． 【举一反三4】随着党的二十大胜利召开，全国各地积极开展学习习总书记二十大报告的内容．我市积极响应号召，举办“学习二十大，争当好少年”党史知识竞赛活动，育英中学在校内举行的预选赛中最终两名男生和两名女生脱颖而出，成为代表学校参加市里决赛的候选人． (1)如果已经确定女生A参加决赛，再从其余三名候选人中随机选取一人，则最终两名女生参加决赛的概率是______； (2)如果从四位候选人中随机选出两人参加决赛，请用画树状图或列表的方法求出所选代表恰为两名女生的概率． 【答案】解：（1）如果已经确定女生A参加决赛，再从其余三名候选人中随机选取一人，则最终两名女生参加决赛的概率是， 故答案为：； （2）假设两名男生是“甲、乙”和两名女生是“A，B”， 则画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中所选代表恰好为两名女生的结果有2种， ∴所选代表恰为两名女生的概率为． 【举一反三5】在“阳光体育”活动期间，甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打开场赛． (1)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选出一位，则恰好选中丙同学的概率为________； (2)用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学打开场赛的概率． 【答案】解：（1）∵一共有乙、丙、丁三位同学供选择，且每位同学被选取的概率相同， ∴从其余三位同学中随机选出一位，则恰好选中丙同学的概率为， 故答案为；； （2）根据题意画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学打开场赛的结果数有2种， ∴恰好选中甲、乙两位同学打开场赛的概率． 【题型3】统计与概率综合应用 【典型例题】下列说法正确的是    (　　) A.要了解人们对“低碳生活”的了解程度,宜采用普查方式 B.一组数据5,5,6,7的众数和中位数都是5 C.必然事件发生的概率为100% D.若甲组数据的方差是3.4,乙组数据的方差是1.68,则甲组数据比乙组数据稳定 【答案】C 【解析】A.由于涉及范围太广,故不宜采取普查方式,故本选项错误; B.数据5,5,6,7的众数是5,中位数是5.5,故本选项错误; C.必然事件发生的概率是100%,故本选项正确; D.方差反映了一组数据的波动情况,方差越小数据越稳定,故本选项错误. 故选C. 【举一反三1】在个数，，，，，，中，，从中随机抽取个数，作为中位数的概率是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】当选取的第一个数为时，剩下的六个数分别用A、B、C、D、E、F表示， 列表： 由表格可知，一共有30种可能， ∴从，，，，，，个数中，随机抽取个数，一共有种结果数，但是选取的相同的三个数的结果都有6种（比如a、b、c，a、c、b，c，b，a，c、a、b，b、c、a，b、a、c），则从，，，，，，个数中，随机抽取个数，一共有种不同的结果数， 作为中位数的基本事件有：，，，，，，，共个， 从中随机抽取个数，作为中位数的概率是， 故选：C． 【举一反三2】在一个不透明的盒子中，有六个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，3，4，4，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为六个数字的中位数的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵共6个球，中位数为3的有2个， ∴摸出的小球标号为中位数3的概率是； 故选B. 【举一反三3】从2021、2022、2023、2024、2025这五个数中任意抽取3个数．抽到中位数是2022的3个数的概率等于         ． 【答案】 【解析】根据题意，画树状图如图， 2022为中位数的情形有6种， 2022为中位数的情形有6种， 2022为中位数的情形有2种， 2022为中位数的情形有2种， 2022为中位数的情形有2种， 共有60种情况，其中抽到中位数是2022的3个数的情况有18种， 则抽到中位数是2022的3个数的概率等于， 故答案为：. 【举一反三4】一个箱子内有颗相同的球，将颗球分别标示号码，，，今浩浩以每次从箱子内取一颗球且取后放回的方式抽取，并预计取球次，现已取了次，取出的号码依次为，，，若每次取球时，任一颗球被取到的机会皆相等，且取出的号码即为得分数，浩浩打算依计划继续从箱子取球次，则发生“这次得分的平均数在之间（含，）”的情形的概率为        ． 【答案】 【解析】∵这5个数的平均数在之间（含，）, ∴这5个数的和在之间（含8，10）, ∵已取了次，取出的号码依次为，，，前三个数的和是5, ∴后两次的和在3到5之间(包括3和5)， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果数，其中和在3到5之间的有3种结果， ∴发生“这5次得分的平均数在之间（含，）”的情形的概率为, 故答案为：. 【举一反三5】某校要成立一支由6名女生组成的舞蹈队，初三（1）、（2）班各选6名女生，分别组成甲队和乙队参加选拔，每位女生的身高（cm）统计如图，部分统计量如表：（单位：米）    (1)求甲队身高的中位数； (2)求乙队身高的平均数及身高不小于1.70米的概率； (3)如果选拔的标准是身高越整齐越好，那么甲、乙两队中哪个队被录取？请说明理由． 【答案】解：（1）甲队从高到低排列：， 中位数是； （2）平均数米； 身高不小于1.70米的概率为：， （3）乙队被录取． 理由如下：∵， ∴乙队身高更整齐， ∴乙队被录取． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4概率的简单应用 讲解目录 【知识点1】游戏公平性 1 【题型1】概率在转盘中的应用 1 【题型2】概率在比赛中的应用 3 【题型3】统计与概率综合应用 5 知识讲解 【知识点1】游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率=． 题型专练 【题型1】概率在转盘中的应用 【典型例题】如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，事件“指针所落扇形中的数大于3”的概率为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图是一个转盘，扇形1，2，4的圆心角分别是，，，任意转动转盘，指针指向扇形3的概率是（    ）    A. B. C. D. 【举一反三2】让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和概率最大的和等于(　  　) 　　 A.3 B.4 C.5 D.6 【举一反三3】如图，现有一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有2、4、6、8、10、12、14、16这8个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字是3的倍数（当指针恰好指在分界线上时，重新转动转盘）的概率是        ． 【举一反三4】某商店老板为了吸引顾客，想设计一个可以自由转动的转盘，并规定凡购物的顾客都可转动一次转盘．如果转盘停止后，指针正好对准阴影区域，则可以获得折优惠．老板设计了一个如图所示的转盘，则顾客转动一次可以打折的概率为                ．    【举一反三5】某书城为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成份），并规定：顾客每购买元的图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域（若指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止），那么顾客就可以分别获得元、元、元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书． (1)甲顾客购书元，可转动一次转盘，求他获得购书券的概率； (2)乙顾客购书元，可转动一次转盘，求他获得元购书券的概率． 【举一反三6】如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是，，8，转盘乙上的数字分别是，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）． (1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是________；转盘乙指针指向正数的概率是________． (2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为，转盘乙指针所指的数字记为，请用列表法或树状图法求满足的概率． 【题型2】概率在比赛中的应用 【典型例题】我校准备了人去参加市上举办的数学竞赛，最终决赛参加比赛只能是人，假如你是人中的人，你抽到参与竞赛的概率是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢，已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】为了准备第八届中国诗歌节，某校组织了一次诗歌比赛，有名女生和名男生获得一等奖，现准备从这名获奖学生中随机选出名学生进行培训，将来代表学校参加第八届中国诗歌节比赛，则选出的结果是“一男一女”的概率是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】从数学成绩优秀的甲，乙，丙三名同学中任选两人参加数学竞赛，甲被选中的概率为           ． 【举一反三4】随着党的二十大胜利召开，全国各地积极开展学习习总书记二十大报告的内容．我市积极响应号召，举办“学习二十大，争当好少年”党史知识竞赛活动，育英中学在校内举行的预选赛中最终两名男生和两名女生脱颖而出，成为代表学校参加市里决赛的候选人． (1)如果已经确定女生A参加决赛，再从其余三名候选人中随机选取一人，则最终两名女生参加决赛的概率是______； (2)如果从四位候选人中随机选出两人参加决赛，请用画树状图或列表的方法求出所选代表恰为两名女生的概率． 【举一反三5】在“阳光体育”活动期间，甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打开场赛． (1)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选出一位，则恰好选中丙同学的概率为________； (2)用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学打开场赛的概率． 【题型3】统计与概率综合应用 【典型例题】下列说法正确的是    (　　) A.要了解人们对“低碳生活”的了解程度,宜采用普查方式 B.一组数据5,5,6,7的众数和中位数都是5 C.必然事件发生的概率为100% D.若甲组数据的方差是3.4,乙组数据的方差是1.68,则甲组数据比乙组数据稳定 【举一反三1】在个数，，，，，，中，，从中随机抽取个数，作为中位数的概率是（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】在一个不透明的盒子中，有六个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，3，4，4，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为六个数字的中位数的概率是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】从2021、2022、2023、2024、2025这五个数中任意抽取3个数．抽到中位数是2022的3个数的概率等于         ． 【举一反三4】一个箱子内有颗相同的球，将颗球分别标示号码，，，今浩浩以每次从箱子内取一颗球且取后放回的方式抽取，并预计取球次，现已取了次，取出的号码依次为，，，若每次取球时，任一颗球被取到的机会皆相等，且取出的号码即为得分数，浩浩打算依计划继续从箱子取球次，则发生“这次得分的平均数在之间（含，）”的情形的概率为        ． 【举一反三5】某校要成立一支由6名女生组成的舞蹈队，初三（1）、（2）班各选6名女生，分别组成甲队和乙队参加选拔，每位女生的身高（cm）统计如图，部分统计量如表：（单位：米）    (1)求甲队身高的中位数； (2)求乙队身高的平均数及身高不小于1.70米的概率； (3)如果选拔的标准是身高越整齐越好，那么甲、乙两队中哪个队被录取？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $