第01讲 勾股定理（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第01讲 勾股定理 知识点1：勾股定理 知识点2：勾股定理的证明 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【题型1用勾股定理解三角形】 【典例1】如图，在中，，则 ． 【变式1】已知直角三角形 ． 【变式2】如图，，，且，，，则线段的长为 ．    【变式3】如图，在四边形中，，，若，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型2以直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例2】如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．36 C．12 D．6 【变式1】如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】以直角三角形三边为边做三个正方形的面积如图，正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是（   ） A．7 B．10 C．20 D．34 【题型3利用勾股定理求两条线段的平方和(差)】 【典例3】在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【变式1】在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为 ． 【变式3】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【题型4利用勾股定理证明线段平方关系】 【典例4】如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 【变式1】在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 【变式2】问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【题型5勾股定理的证明方法】 【典例5】勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等． 当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明． (1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证： 证明：连结，过点作边上的高于点，则． ， 又______________________， ______________________ ． (2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【变式1】 “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【变式2】【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【变式3】著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 【题型6以弦图为背景的计算题】 【典例6】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 【变式1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 【变式3】如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为，且，那么小正方形的面积为 ． 【题型7用勾股定理构造图形解决问题】 【典例7】把15只空油桶（每只油桶底面直径均为50cm）如图所示堆在一起，求这堆油桶的最高点距地面的高度． 【变式1】在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为 寸． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点、，点在轴的负半轴上，连接，．若，则点的坐标是 ． 【变式3】探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 1．如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 2．已知直角三角形的两条直角边的长分别为15和8，则斜边的长为（    ） A．23 B．17 C．18 D．19 3．如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（   ） A．7m B．8m C．9m D．10m 4．如图，字母B所代表的正方形的面积是（    ） A．9 B．10 C．15 D．41 5．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（   ） A． B． C． D． 6．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 7．如图，在水塔O的东北方向处有一抽水站A，在水塔O的东南方向处有一建筑工地B．若要在之间修建一条直水管，则水管的长为 m． 8．用三边长分别为3、4、5的四个直角三角形拼成如图的弦图，则中间小正方形的面积为 ． 9．如图，垂直和．如果，那么的长为 ． 10．如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了 米． 11．如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为 ． 12．如图，这是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长为，底边上的高为，则底边 ． 13．如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为 ． 14．如图，在四边形中，，，．折叠四边形，使点D与点B重合，得到折痕，则的长为 ． 15．如图，已知，，，于点D，求AD的长． 16．如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长． 17．如图，在中，，两直角边，．求斜边上的高的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 勾股定理 知识点1：勾股定理 知识点2：勾股定理的证明 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【题型1用勾股定理解三角形】 【典例1】如图，在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知条件，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，， 则． 故答案为： ． 【变式1】已知直角三角形 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理直接计算即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵直角三角形， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图，，，且，，，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】先在中，根据勾股定理求出，再在中，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】 ，，， 在中， ，， 在中， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方是解题的关键． 【变式3】如图，在四边形中，，，若，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理的应用以及几何图形中的垂直关系，证明，通过勾股定理计算出是解题的关键． 首先利用全等三角形对应边相等得到，再通过勾股定理求出的长度，最后依据全等三角形对应边相等得出的长度． 【详解】解：， ， ，且, ， ， ， 即是直角三角形， 在中， ，即：， ， ， 故选：A． 【题型2以直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例2】如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．36 C．12 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么． 根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ∴正方形和正方形的面积和为 36 ， 故选：B． 【变式1】如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识解决问题的关键．根据勾股定理可求出，则题目可求． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：B． 【变式2】以直角三角形三边为边做三个正方形的面积如图，正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理解答即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，，， ∴由勾股定理得，， 即正方形的面积为， 故选：． 【变式3】如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是（   ） A．7 B．10 C．20 D．34 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形F的边长为c，如图，则由勾股定理可得及正方形面积公式可得正方形F的面积为7，同理可求解问题． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形F的边长为c，如图， 由勾股定理可得， ∴正方形F的面积为， 同理可得正方形H的面积为， ∴正方形E的面积为． 故选：B． 【题型3利用勾股定理求两条线段的平方和(差)】 【典例3】在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 【变式1】在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为 ． 【答案】36 【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】在Rt△ACB中，， 则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和 故答案为：36． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 【变式3】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【答案】20 【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 【题型4利用勾股定理证明线段平方关系】 【典例4】如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查勾股定理，先根据勾股定理得出，，再得出，根据M为中点，得出，进而进行转换可得出结论． 【详解】解：连接． 因为， 所以， 所以，， 因为， 所以． 因为M为中点， 所以， 所以． 【变式1】在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握题干中给定的方法，是解题的关键： （1）类比题干，猜想，即可； （2）过点作，交的延长线为点，设，得到，再根据勾股定理，得到，进行证明即可． 【详解】（1）解：猜想； （2）证明：过点作，交的延长线于点，设， 则： 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故猜想正确． 【变式2】问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【题型5勾股定理的证明方法】 【典例5】勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等． 当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明． (1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证： 证明：连结，过点作边上的高于点，则． ， 又______________________， ______________________ ． (2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明． （1）根据证明过程结合图形即可解答； （2）仿照（1）的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】（1）证明：连接，过点作边上的高于点，则． ∵ 又∵， ∴， ∴； （2）证明：连接，过点B作边上的高，则． ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】 “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确与面积的关系． （1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可； （2）由图可得到和的值，进而求出，代入，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴ ∴． （2）解：大正方形面积为13， ， ， ， 又小正方形面积为3， ， ， ， ． 【变式2】【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【答案】(1)详见解析 (2) ，详见解析 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意，通过证明即可判断得解； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解． 【详解】（1）证明∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴． ∴； （2）证明： 由题意得，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； 【变式3】著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.2千米 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案． 【详解】（1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米． 【题型6以弦图为背景的计算题】 【典例6】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出的长度， 然后利用外围周长即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴ ， ∴风车的外围周长是； 故选：D． 【变式1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知：中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长，熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， ∵每一个直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 故选：． 【变式2】如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的性质．由小正方形的面积为49得到小正方形的边长为7，由此得到直角三角形两直角边分别为5和12，，根据勾股定理求出斜边长． 【详解】解：∵小正方形的面积为49， ∴小正方形的边长为7， 设直角三角形的短直角边长为， ∴直角三角形的长直角边为：， ∵直角三角形两直角边和为17， ∴， 解得， ∴直角三角形两直角边分别为5和12， ∴直角三角形的斜边， 即大正方形的边长为13， 故选：C． 【变式3】如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为，且，那么小正方形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出是解题的关键．由正方形的性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题． 【详解】解：设大正方形的边长为c， ∵大正方形的面积是18， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴小正方形的面积， 故答案为：2． 【题型7用勾股定理构造图形解决问题】 【典例7】把15只空油桶（每只油桶底面直径均为50cm）如图所示堆在一起，求这堆油桶的最高点距地面的高度． 【答案】这堆油桶的最高点距地面的高度为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设每只油桶底面的直径为，，则，，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，由题意可得每只油桶底面的直径为，， 则，， 这堆油桶的高度为 ． 因此，这堆油桶的最高点距地面的高度为． 【变式1】在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为 寸． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 本题需画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图： ， 设，过作于， 则由题知，，，． 在中， ，即， 解得． 故门的宽度（两扇门的和）为寸． 故答案为：． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点、，点在轴的负半轴上，连接，．若，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元一次方程，熟练掌握勾股定理是解题关键． 设，则，根据勾股定理构建方程，解方程，即可求解． 【详解】解： ，， ，， 设，则， ， ， ， 在中，， ，解得：， 点在轴的负半轴上， ． 故答案为：． 【变式3】探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 【答案】(1)①5；②； (2)1． 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）①由题意可知，，根据计算即可； ②由题意得到，，可知，求出，再根据求出，即可求出直角三角形的周长； （2）先证明、是直角三角形，再根据题干所给公式计算即可． 【详解】（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12， ∴，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）； ②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∵ ∴， 解得：（负值舍去）， ∴该直角三角形的周长； （2）解：∵， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 1．如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光， 作于，    则， 在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光． 故选：B． 2．已知直角三角形的两条直角边的长分别为15和8，则斜边的长为（    ） A．23 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据勾股定理得： 斜边长为． 故选：B 3．如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（   ） A．7m B．8m C．9m D．10m 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．由题意得，在直角三角形中，知道两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】解：由题意可知，两段木杆和地面构成直角三角形，则由勾股定理得： 折断的部分长为， 故木杆折断之前的高度是． 故选： B． 4．如图，字母B所代表的正方形的面积是（    ） A．9 B．10 C．15 D．41 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质与勾股定理解三角形，求解出中间直角三角形的一条直角边和斜边是解决本题的关键． 根据图示中正方形的面积分别为25和16，可求解这两个正方形的边长，再由勾股定理即可求解另外一条直角边，由此可计算字母B所代表的正方形的面积． 【详解】解：由图示可知，正方形的面积分别为25和16， ∴可知这两个正方形的边长分别为5和4， ∵中间的三角形为直角三角形，一条直角边为4，斜边为5， ∴由勾股定理可知，字母B所代表的正方形的边长为， ∴字母B所代表的正方形的面积为． 故选：A． 5．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案． 【详解】解：A、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符； B、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征； C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征； D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征； 故选：B． 6．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 【答案】A 【分析】本题考查对勾股定理的证明，掌握“弦图”的作用是解题的关键．根据“弦图”是解决勾股定理的证明的解答即可． 【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的， ∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理． 故选：A． 7．如图，在水塔O的东北方向处有一抽水站A，在水塔O的东南方向处有一建筑工地B．若要在之间修建一条直水管，则水管的长为 m． 【答案】17 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可． 【详解】解：由题可知， ∴， 故答案为：． 8．用三边长分别为3、4、5的四个直角三角形拼成如图的弦图，则中间小正方形的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题在直角三角形背景下考查了正方形面积的计算，熟练掌握面积公式是解题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积． 【详解】解：由图可知小正方形边长为：， 小正方形面积为：， 故答案为：1． 9．如图，垂直和．如果，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题关键． 先用勾股定理求长度，再求即可． 【详解】解： 在中， 同理， 故答案为：． 10．如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了 米． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解题的关键是正确的运用勾股定理求．在直角中，为斜边，已知，，则根据勾股定理可以求斜边，根据少走的距离为可以求解． 【详解】解：在中，为斜边， 米， 少走的距离为 （米）， 故答案为：4． 11．如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．根据图形分析可得小正方形的边长为，据此即可求解． 【详解】解：，，， ， 中间正方形的边长为， 中间正方形的面积为． 故答案为：． 12．如图，这是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长为，底边上的高为，则底边 ． 【答案】48 【分析】利用等腰三角形“三线合一”（底边上的高也是底边的中线）将底边分成两段相等的线段，再通过勾股定理求出其中一段的长度，进而得到底边总长． 【详解】解：，是的高，且， ， 在中，， ， 故答案为：48 【点睛】本题考查了等腰三角形的“三线合一”性质和勾股定理，将等腰三角形的问题转化为直角三角形的计算是解题的关键． 13．如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为 ． 【答案】130 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图， ， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， 即这个纸箱能容纳的木棒最长为， 故答案为：． 14．如图，在四边形中，，，．折叠四边形，使点D与点B重合，得到折痕，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，根据折叠的性质得，，，根据勾股定理得出，求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得：，，， 在中，，即， 解得：， 故答案为：． 15．如图，已知，，，于点D，求AD的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理. 由勾股定理得到，设，求出，计算即可. 【详解】∵ ∴,， ∴ 设，则， ∴ 整理得 解得 即 ∴. 16．如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先在中根据勾股定理求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴． 在中， ． 在中， ． 17．如图，在中，，两直角边，．求斜边上的高的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式．首先根据勾股定理求出的斜边的长度，再根据三角形的面积公式得到等式，把、、代入即可求得的长． 【详解】解：如图所示 在中，，，， 由勾股定理得 ， 中，为斜边上的高， ， ， ，，， ， ． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $