3.1.1函数的概念讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数概念及其表示的核心内容，系统构建从区间定义到函数三要素、定义域求法、相同函数判断及值域求解的完整知识链，前后衔接紧密，形成清晰的学习支架。 通过“等效替代法”解决抽象函数定义域问题，体现数学思维的逻辑性与严谨性，借助数形结合直观理解函数图像特征，强化几何直观与推理能力。课中辅助教师精准施教，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识与建模能力，真正实现从现实情境中抽象出数学对象并用数学语言表达的素养目标。

第三章 函数的概念及其表示 ❊3.1.1 函数的概念 思维导图 题型精析 一．区间 设，且，则 集合表示 名称 区间表示 双闭区间 左闭右开区间 双开区间 二．函数的定义 1．函数的定义：函数即两个数集的对应关系，这两个集合的对应关系只能是一对一或多对一，不能是一对多或多对多． 2．函数的组成部分即函数的三要素是定义域，值域，对应关系． 三．相同函数 若两个函数的三要素相同，则称这两个函数为相同函数. 【要点】1.两个函数相同，只需要定义域和对应关系相同即可；2.两个函数相同，与字母无关. 四．函数的定义域 类型 方法 具体函数的定义域 1.分母不为0；2.偶次根下非负；3.零次幂的底数不为0. 抽象函数的定义域 等效替代法. 【示例】：已知的定义域为，则的定义域是多少？ 【方法】：如题，等效替代，则他们的取值范围相同. 题型一 区间的表示 将下列集合用区间以及数轴表示出来：例1 （1） （2）或 （3）且 （4） 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据集合、区间以及数轴的知识确定正确答案. 【详解】（1）用区间表示为，用数轴表示如图：    （2）或用区间表示为，用数轴表示如图：    （3）且用区间表示为，用数轴表示如图:    （4）用区间表示为，用数轴表示如图：    若为一确定区间，则a的取值范围是 ．变1 【答案】 【分析】因为为确定区间，所以右端点大于左端点，列出不等式求解a的取值范围. 【详解】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得， 所以a的取值范围是, 故答案为：. 用区间表示下列数集.变2 （1） （2） （3） （4） （5）或 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据集合与区间的关系求得正确答案. 【详解】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. （5）集合为或，对应区间为. 题型二 函数的概念 下列所示的图形中，可以作为函数的图象的是（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，结合图象判断自变量对应函数值的个数，即可得. 【详解】由函数的定义，对于任意自变量只能有唯一函数值与之对应， 结合各图知，A、B、C不符合，D符合. 故选：D 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　）例2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 下列图象中，可以表示函数的为（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义判断. 【详解】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 设集合，．下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）变2 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据集合到集合的函数定义即可求解. 【详解】A中中的x没有对应的象，不符合； B符合函数定义， C也符合函数定义， D中对于的x有两个象与之对应，不符合． 所以有2个满足． 故选：B 题型三 具体函数的定义域 函数的定义域为（　　）例1 A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根号下非负结合分式不等式的解法可求函数的定义域. 【详解】由，可得， 即，解得， 即函数的定义域为， 故选：C． 函数的定义域为 ．例2 【答案】或． 【分析】根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解. 【详解】 由题知，，即， 解得， 故函数的定义域为或． 故答案为：或． 函数的定义域是（    ）变1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】由，得，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C. 已知函数的定义域为（   ）变2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数大于等于零及分母不为零可得函数的定义域. 【详解】由题意得，，解得或， ∴函数的定义域为. 故选：C. 题型四 抽象函数的定义域 【方法点睛】抽象函数的定义域的方法：“等效替代法”. 求下列函数的定义域：例1 （1）已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域； （2）已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域； （3）已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域. 【答案】(1)[0，] (2)[3，5] (3)[2，3] 【分析】(1)由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域；(2)由的定义域可得，求出2x+1的取值集合即可得出的定义域；(3)由的定义域可得，求出2x+1的取值集合即可得出的定义域，进而得出2x-1的取值集合，再求出x的取值集合即可； 【详解】（1）设，由于函数定义域为[1，2]， 故，即，解得， 所以函数的定义域为[0，]； （2）设，因为， 所以，即，函数的定义域为[3，5]， 由此得函数的定义域为[3，5]； （3）因为函数的定义域为[1，2]，即， 所以，所以函数的定义域为[3，5]， 由，得， 所以函数的定义域为[2，3]. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）变1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用抽象函数定义域的求解方法求出定义域. 【详解】由函数的定义域为，得函数中，，则， 因此在函数中，，解得， 所以所求的定义域为. 故选：C 已知函数的定义域是，则函数的定义域为________.变2 【答案】 【分析】首先求出的定义域，从而令，解得即可. 【详解】由得，所以的定义域为. 令，解得， ∴函数的定义域为. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的定义域可求得的定义域，再由中的范围，求交集即可． 【详解】由题：的定义域为，即， 所以的定义域为， 又中， 综上：的定义域为， 故选：D． （1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；变3 （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域； （2）求出函数的定义域，对于函数可得出关于的不等式组，解出的取值范围，即可得出函数的定义域. 【详解】（1）对于函数，有，解得， 因此，函数的定义域为； （2）因为函数的定义域为，即，则， 所以，函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 因此，函数的定义域为. 若函数的定义域为，则的定义域为 .变4 【答案】 【分析】由抽象函数的定义域的求法求解即可. 【详解】函数的定义域为， 所以，所以， 所以由，且， 解得， 故答案为： 题型五 相同函数 下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】比较两个函数的定义域和解析式是否相等，判断即可。 【详解】对于A：的定义域为的定义域为，A中两个函数不表示同一个函数； 对于B：两个函数的对应关系不一致，中两个函数不表示同一个函数； 对于C：与，解析式相同，且两个函数的定义域均为，中两个函数表示同一个函数； 对于D：两个函数的定义域不一致，中两个函数不表示同一个函数； 故答案为：C。 以下各组函数中，不是同一函数的是（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于选项B，C，D中两个函数的定义域相同，对应法则相同，故均为同一函数，而对于A选项，两个函数对应法则不同，故两个函数不是同一函数. 【详解】对于A选项，两个函数的定义域相同， ，两者的函数解析式不相同，故两者不是同一函数； 对于B，，两个函数的定义域和对应法则相同， 故得到两个函数是同一函数； 对于C，两个函数的定义域相同为， 且对应法则相同，故得到两个函数是同一函数； 对于D，两个函数定义域相同，， 对应法则相同，故两个函数是同一函数. 故选：A. 下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）变1 A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】判断解析式和定义域是否都相同，若相同则是同一函数，若有不同，则不是同一函数. 【详解】A. 与，定义域均为，故是同一函数，A正确； B. ，定义域为，，定义域为，定义域不同，不是同一函数，B错误； C. ，定义域为，，定义域为，定义域不同，不是同一函数，C错误； D. 与，定义域均为，但是解析式不同，不是同一函数，D错误. 故选：A 下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（ ）变2 A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可. 【详解】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是， 对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误. 故选：B. 题型六 函数的值域 类型一 二次函数的值域 【方法点睛】二次函数值域的方法：“对称轴法”.先求对称轴，再根据二次函数的增减性求解. 函数，的值域（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质即可得解. 【详解】解：， 则， 所以函数的值域为. 故选：D. 二次函数，，则函数在此区间上的值域为（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】解：， 则， 所以函数在此区间上的值域为. 故选：A. 已知函数，，则函数的值域是（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】,对称轴,当,又因为, 所以函数的值域为. 故选:D 函数的值域是（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由二次函数的性质，即可得到结果. 【详解】因为函数的对称轴为， 则当时，， 当时，，即. 故选：B 类型二 根式型函数的值域 【方法点睛】该类函数值域的方法：“换元法”.先换元，再根据二次函数值域的方法求解. 【注意】使用换元法时，注意“新元”的范围. 求函数的值域．例1 【答案】 【分析】利用换元法，转化成二次函数的值域问题求解. 【详解】设，则． 原函数转化为求函数（）的值域. 因为，当且仅当时取等号. 所以，可知． 所以函数的值域为. 求函数的值域．变1 【答案】 【分析】借助换元法可将原函数化为二次函数，结合二次函数的性质计算即可得. 【详解】设，则， 函数可化为，对称轴为， 所以该函数在上单调递减，所以当时，， 所以原函数的值域为. 求函数的值域．变2 【答案】 【分析】根据换元法，结合二次函数即可求值域. 【详解】令，则， 所以， 故函数的值域为． 类型三 一次分式函数的值域 【方法点睛】该类函数值域的方法：“分离常数法”.先分离常数，再根据反比例函数的增减性求解. 函数的值域是（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离常数可得函数单调性，进而可得值域. 【详解】由已知函数定义域为， 且， 则， 即， 故选：C. 函数在区间上的值域为 ．例2 【答案】 【分析】利用分离常数法，结合函数的单调性求得正确答案. 【详解】， 则在上单调递增，且， 所以在区间的值域为. 故答案为： 函数的值域为（ ）变1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据解析式求出定义域,再对函数解析式进行分离常数,最后确定值域即可. 【详解】解:由题知,, , , , 即值域为. 故选:B 函数在上的值域是 .变2 【答案】 【分析】将函数变形为，再由的取值范围及不等式的性质计算可得. 【详解】因为， 又，所以，所以， 所以， 所以. 故答案为： 类型四 二次分式函数的值域 【方法点睛】该类函数值域的方法：先变形，再根据基本不等式求解. 求解下列问题：例1 （1）的值域 （2）的值域； （3）的最小值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先分离常数，再换元分母通过配方求得分母范围，结合反比例函数求得结果. （2）利用基本不等式配凑，注意取等条件； （3）利用基本不等式求最值，注意添加负号调节； 【详解】（1）， 设，则， 即，故所求函数的值域为． （2）因为，所以，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的值域为． （3）因为，所以， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，则，故函数在上的最小值为. 求函数的值域．变1 【答案】 【分析】根据分式函数的特点，因定义域为，可将其化成关于的一元二次方程恒有实根的情况，通过根的判别式即可求得函数的值域. 【详解】因为恒成立，故， 则由可得，， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 求函数的值域变2 【答案】 【分析】根据题意，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，所以， 所以，，当且仅当，即时等号成立， 所以，函数的值域为. 课后强化 1.下列叙述正确的是（ ） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【分析】根据区间的概念逐项判断即可． 【详解】对于选项A，用区间可表示为，故A错误； 对于选项B，用区间可表示为，故B错误； 对于选项C，用集合可表示为，故C错误； 对于选项D，用集合可表示为，故D正确． 故选：D． 2.把下列数集用区间表示： （1） （2） （3） （4）或 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用区间的概念表示出各个集合. 【详解】（1） （2） （3） （4）或 3.（多选）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】从函数的定义出发，得到BC错误，AD正确. 【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应， 则满足从集合A到集合B的函数关系， 其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误； C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误. 故选：AD 4.函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式和根式的意义列出关于x的不等式组即可计算求解. 【详解】要使函数有意义，则， 所以函数定义域为. 故选：C. 5.函数的定义域是（ ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据函数有意义求解即可. 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域是且. 故选：A. 6.（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】（1）由的定义域可得到，进而求解即可得到的定义域； （2）设，先根据的定义域求得的定义域，进而即可求出的定义域． 【详解】（1）设． 因为的定义域为， 所以要使有意义，必须，解得， 所以的定义域为，即的定义域为． （2）设，考查函数． 因为的定义域为， 所以，得， 所以的定义域为． 设，要使有意义， 必有，解得． 故的定义域为． 故答案为：；． 7.已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的定义域求出的定义域，进而求出函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域是， 所以函数的定义域是， 令，所以， 所以函数的定义域是. 故选：. 8.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以 ，解得且 ， 所以函数的定义域是， 故选：B 9.下列各组函数是同一个函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，与的定义域分别为，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，故B错误； 对于C，与的定义域都是，且，故C正确； 对于D，与的定义域分别为，故D错误. 故选：C. 10.下列哪组中的两个函数是同一函数（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据函数相等的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， A选项中的两个函数定义域不相同，故A选项中的两个函数不是同一个函数； 对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为， B选项中的两个函数的定义域不相同，故B选项中的两个函数不是同一个函数； 对于C选项，函数、的定义域为，且对应关系相同， 故C选项中的两个函数是同一函数； 对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为， D选项中两个函数的定义域不相同，故D选项中的两个函数不是同一函数. 故选：C. 11.函数，的值域为 . 【答案】 【分析】对函数解析式配方后，即可求出最小值，再考虑区间端点函数值的大小，即可求解. 【详解】因为， 则又 故函数的值域为 故答案为： 12.函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用二次函数的性质进行求解即可. 【详解】因为的图象对称轴为直线，开口向下， 所以，， 故函数的值域是. 故答案为： 13.函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数性质求值域即可. 【详解】， 所以. 故选：A. 14.函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【详解】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D 15.求下列函数的值域： （1） （2） 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用换元法将函数表示成，需要注意确定参数的取值范围，再利用基本不等式求解范围； （2）利用换元法及配方法将函数表示成，利用二次函数的性质求值域即可． 【详解】（1）解：设，则， 因为，所以， 所以． 因为，所以， 故函数的值域为． （2）解：设，则，， 所以， 显然的最大值是4， 所以函数的值域为． 16.函数的值域是 . 【答案】 【分析】分离常数，即可求解. 【详解】, 由于，故， 故值域为， 故答案为： 17.若，则函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离常数后求其值域即可. 【详解】， 因为，所以，所以， 所以，所以函数的值域为. 故选：A. 18.求下列函数的值域： （1）， （2）， （3） （4） （5） （6） （7） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)． 【分析】（1）可由观察法求解；（2）函数是二次函数，可采用配方法结合图像求解；（3）函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，由求解；（4）利用变量的代换，即换元法求值域；（5）通过变形，利用基本不等式求最值；（6）通过变形，利用基本不等式求最值；（7）通过变形利用判别式法求解． 【详解】（1）（观察法）由，分别代入求值，可得函数的值域为． （2）（配方法），由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．      （3）（分离常数法）  ，因为，所以，所以故函数的值域为． （4）（换元法）  设，则，且， 所以，由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．    （5）因为，所以，当且仅当，即时，等号成立． 故函数的值域为． （6）因为，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，，故函数的值域为． （7）由知， 整理得． 当时，方程无解；当时，，即． 故所求函数的值域为． 【点睛】方法点睛：本题主要考查求函数得值域，常见的方法有： （1）观察法，对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解； （2）配方法，函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解； （3）分离常数法，反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解； （4）换元法，通过对函数解析式进行适当换元，将复杂的函数化为几个简单的函数，从而求值域； （5）通过对解析式变形，利用基本不等式求最值； （6）通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念及其表示 ❊3.1.1 函数的概念 思维导图 题型精析 一．区间 设，且，则 集合表示 名称 区间表示 双闭区间 左闭右开区间 双开区间 二．函数的定义 1．函数的定义：函数即两个数集的对应关系，这两个集合的对应关系只能是一对一或多对一，不能是一对多或多对多． 2．函数的组成部分即函数的三要素是定义域，值域，对应关系． 三．相同函数 若两个函数的三要素相同，则称这两个函数为相同函数. 【要点】1.两个函数相同，只需要定义域和对应关系相同即可；2.两个函数相同，与字母无关. 四．函数的定义域 类型 方法 具体函数的定义域 1.分母不为0；2.偶次根下非负；3.零次幂的底数不为0. 抽象函数的定义域 等效替代法. 【示例】：已知的定义域为，则的定义域是多少？ 【方法】：如题，等效替代，则他们的取值范围相同. 题型一 区间的表示 将下列集合用区间以及数轴表示出来：例1 （1） （2）或 （3）且 （4） 若为一确定区间，则a的取值范围是 ．变1 用区间表示下列数集.变2 （1） （2） （3） （4） （5）或 题型二 函数的概念 下列所示的图形中，可以作为函数的图象的是（ ）例1 A． B． C． D． 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　）例2 A． B． C． D． 下列图象中，可以表示函数的为（ ）变1 A． B． C． D． 设集合，．下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）变2 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 题型三 具体函数的定义域 函数的定义域为（　　）例1 A．或 B．或 C． D． 函数的定义域为 ．例2 函数的定义域是（    ）变1 A． B． C． D． 已知函数的定义域为（   ）变2 A． B． C． D． 题型四 抽象函数的定义域 【方法点睛】抽象函数的定义域的方法：“等效替代法”. 求下列函数的定义域：例1 （1）已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域； （2）已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域； （3）已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）变1 A． B． C． D． 已知函数的定义域是，则函数的定义域为________.变2 若函数的定义域为，则的定义域为（ ）例2 A． B． C． D． （1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；变3 （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 若函数的定义域为，则的定义域为 .变4 题型五 相同函数 下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）例1 A． B． C． D． 以下各组函数中，不是同一函数的是（ ）例2 A． B． C． D． 下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）变1 A．与 B．与 C．与 D．与 下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（ ）变2 A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 题型六 函数的值域 类型一 二次函数的值域 【方法点睛】二次函数值域的方法：“对称轴法”.先求对称轴，再根据二次函数的增减性求解. 函数，的值域（ ）例1 A． B． C． D． 二次函数，，则函数在此区间上的值域为（ ）例2 A． B． C． D． 已知函数，，则函数的值域是（ ）变1 A． B． C． D． 函数的值域是（ ）变2 A． B． C． D． 类型二 根式型函数的值域 【方法点睛】该类函数值域的方法：“换元法”.先换元，再根据二次函数值域的方法求解. 【注意】使用换元法时，注意“新元”的范围. 求函数的值域．例1 求函数的值域．变1 求函数的值域．变2 类型三 一次分式函数的值域 【方法点睛】该类函数值域的方法：“分离常数法”.先分离常数，再根据反比例函数的增减性求解. 函数的值域是（ ）例1 A． B． C． D． 函数在区间上的值域为 ．例2 函数的值域为（ ）变1 A． B． C． D． 函数在上的值域是 .变2 类型四 二次分式函数的值域 【方法点睛】该类函数值域的方法：先变形，再根据基本不等式求解. 求解下列问题：例1 （1）的值域 （2）的值域； （3）的最小值； 求函数的值域．变1 求函数的值域变2 课后强化 1.下列叙述正确的是（ ） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 2.把下列数集用区间表示： （1） （2） （3） （4）或 3.（多选）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（ ） A． B． C． D． 4.函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 5.函数的定义域是（ ） A．且 B． C． D．且 6.（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 7.已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 8.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 9.下列各组函数是同一个函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 10.下列哪组中的两个函数是同一函数（ ） A．， B．， C．， D．， 11.函数，的值域为 . 12.函数的值域是 . 13.函数的值域是（ ） A． B． C． D． 14.函数的值域为（ ） A． B． C． D． 15.求下列函数的值域： （1） （2） 16.函数的值域是 . 17.若，则函数的值域为（ ） A． B． C． D． 18.求下列函数的值域： （1）， （2）， （3） （4） （5） （6） （7） 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $