专题十一 蝴蝶模型 -五年级数学思维拓展专项训练（通用版）

第11讲 蝴蝶模型 【课前热身】 1、如图所示是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是5厘米．求三角形ABC的面积． 解：根据分析可得， 5×5÷2＝12.5（平方厘米） 2、如图，在直角三角形ABC中有一个正方形DEFB，已知AE＝6厘米，CE＝10厘米，求阴影部分面积． 10×6÷2＝30（平方厘米） 3、ABCD为直角梯形，AD＝6cm，DC＝10cm，三角形BEC的面积为6，求ABCD的面积是多少cm2？ 解：△DEC的面积为：10×6÷2﹣6＝30﹣6＝24（平方厘米）， 所以CE的长度是：24×2÷10＝4.8（厘米）， 则EF的长度是：6﹣4.8＝1.2（厘米）， 则CE：EF＝4.8：1.2＝4：1， 所以三角形BEF的面积是：6×1÷4＝1.5（平方厘米）， 所以ABCD的面积为：10×6+6+1.5＝60+7.5＝67.5（平方厘米）， 【学习目标】 1、掌握梯形蝴蝶模型中各三角形及边的关系； 2、掌握任意蝴蝶模型中各三角形及边的关系。 【知识梳理】 1、梯形蝴蝶： 2、任意四边形： ① ； ①或者； ② ； ③ ； ② ④ ； 【典例精析】 【例1】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形 BGC的面积。 2×3÷1=6 【趁热打铁-1】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。 解：设最左边三角形面积为x公顷， 7x=6(39-x) x=18 39-18=21(公项） 【例2】如图四边形，ABCD是一个梯形，两条对角线把梯形分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是6平方厘米和18平方厘米，求梯形的面积。 6×6÷18=2(cm²) 6+6+18+2=32(cm²) 【趁热打铁-2】已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米. 35×35÷25=49(cm²) 35+35+25+49=144(cm²) 【例3】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米）,阴影部分的面积是多少平方厘米。 解：连接AE，取AC和DE的交点为F， △ABE的面积：（21+9）÷2=15（平方厘米） △AFE的面积：21-15=6（平方厘米） ∵阴影部分的面积=△AFE的面积 ∴阴影部分的面积是6平方厘米。 【趁热打铁-3】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米）,阴影部分的面积是多少平方厘米。 解：连接AE，取AC和DE的交点为F， △ABE的面积：（16+8）÷2=12（平方厘米） △AFE的面积：16-12=4（平方厘米） ∵阴影部分的面积=△AFE的面积 ∴阴影部分的面积是4平方厘米。 【例4】如图，梯形ABCD的对角线相交于O，BC=3AD，△ABO的面积是12平方厘米，求梯形ABCD的面积。 解：设△AOD的面积为x平方厘米。 12×12=x×9x x²=4×4 x=4 12+12+4+36=64(cm²) 【趁热打铁-4】在梯形ABCD中，上底长5厘米，下底长10厘米，平方厘米，则梯形ABCD的面积是______平方厘米。 20÷(10÷5)÷(10÷5)=5(cm²) 20×5=100=10×10 10+10+5+20=45(cm²) 【例5】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是多少平方厘米。 解：连接DE， 【趁热打铁-5】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米， M是AD边上的中点，求图中阴影部分的面积。 设，则, x+2x=,解得x= 阴影部分的面积：×2×2=1（cm²） 【例6】如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中, E、F是 DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积。 设，则, x+3x=2,解得x= 阴影部分的面积：×3×2=3（cm²） 【趁热打铁-6】如图，长方形ABCD的面积是36,E是AD的三等分点，AE=2ED,求阴影部分的面积. 取CE与OD的交点为M,AO与BE的交点为N，设，则, 设，则, x+3x=6,解得x=1.5；，解得y=4.8； 阴影部分的面积：1.5×3-（36÷4-×4.8）=2.7 【例7】一个长方形，被分成如图所示的四个小长方形，其中三个小长方形的面积分别是45平方厘米、15平方厘米、60平方厘米，图中阴影部分的面积是_______平方厘米． 【趁热打铁-7】个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积． a：36＝5：4， 4a＝36×5 a＝45； 25：b＝5：4， 5b＝25×4 b＝20； 所以大矩形的面积＝45+25+20+36+20+16＝162 【过关精炼】 1、如图，梯形ABCD的面积是90cm²,AC=3AO,求阴影部分的面积。 设，则, x+4x+2x+2x=90，解得x=10 阴影部分的面积：10cm²。 2、如图，已知三块三角形的面积，求阴影部分的面积。（单位：cm²) 2×12÷6=4（cm²） 3、如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积等于60，AC是CE的3倍，梯形ABCD的面积是_______． 梯形的面积：60+60+30+120=270 4、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为__9__平方厘米。 连接DE,CF. ∴ 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $第11讲蝴蝶模型 【课前热身】 1、如图所示是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是5厘米.求三角形ABC的面 积. 2、如图，在直角三角形ABC中有一个正方形DEFB,己知AE=6厘米，CE=10厘米，求阴 A 影部分面积. 10 3、ABCD为直角梯形，AD=6Cm,DC=10cm,三角形BEC的面积为6，求ABCD的面积是 多少cm2? 0 第1页共8页 【学习目标】 1、掌握梯形蝴蝶模型中各三角形及边的关系； 2、掌握任意蝴蝶模型中各三角形及边的关系。 【知识梳理】 1、梯形蝴蝶： 2、任意四边形： ①SS3=a2:b2 ①S:S2=S4:S或者S×S=S2×S4； ②S,☐S,口S2S4; AO DO a ®Oc-0Bb ②AO:OC=S,+S2:S4+S3 S:S3:S2:S=a2:b2:ab:ab: 【典例精析】 【例1】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三 角形BGC的面积。 A 3 2 【趁热打铁-1】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形， 其中两个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。 第2页共8页 【例2】如图四边形，ABCD是一个梯形，两条对角线把梯形分成了四个小三角形，其中两个 小三角形的面积分别是6平方厘米和18平方厘米，求梯形的面积。 【趁热打铁-2】已知△A0B与△B0C的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米. A B 25 35 0 D 【例3】如图，梯形ABCD的对角线相交于0，BC-3AD,△AB0的面积是12平方厘米，求梯形 ABCD的面积。 A 第3页共8页 【趁热打铁-3】在梯形ABCD中，上底长5厘米，下底长10厘米，Soc=20平方厘米，则 梯形ABCD的面积是平方厘米。 0 【例4】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘 米)，阴影部分的面积是多少平方厘米。 A 9 21 B 【趁热打铁-4】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位： 平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米。 16 2 E 第4页共8页 【例5】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面 积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是多少平方厘米. D E C 【趁热打铁-5】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点，求图中阴影部 分的面积。 B C M D 第5页共8页 【例6】如图面积为I2平方厘米的正方形ABCD中，E,F是DC边上的三等分点，求阴影部分 的面积. B 【趁热打铁-6】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE=2ED,求阴影部分的 面积. D C 第6页共8页 【例7】一个长方形，被分成如图所示的四个小长方形，其中三个小长方形的面积分别是45 平方厘米、15平方厘米、60平方厘米，图中阴影部分的面积是 平方厘米。 45平方厘米 15平方厘米 60平方厘米 【趁热打铁-7】如图所示，在正方形ABCD中，红色、绿色正方形的面积分别是27和12，且 红、绿两个正方形有一个顶点重合，黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交 点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点，求黄色正方形的面积 B 红 黄 绿 ) C 第7页共8页 【过关精炼】 1、如图，梯形ABCD的面积是90cm,AC=3A0,求阴影部分的面积。 0 B 2、如图，已知三块三角形的面积，求阴影部分的面积。（单位：cm) 2 6 12 3、如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积等于60，AC是CE的3倍，梯形ABCD的面积是 E B 4、如图，长方形ABCD被CE、DP分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米， 那么余下的四边形OFBC的面积为 平方厘米。 F B 8 D C 第8页共8页