周测评(20)简单几何体的表面积与体积、空间点线面的位置关系-【衡水真题密卷】2024-2025全学年高一数学学科素养周测评（人教A版）

2024一2025学年度学科素养周测评（二十） 数学·简单几何体的表面积与体积、 空间点线面的位置关系 (考试时间40分钟，总分100分) 一、选择题（本题共4小题，每小题6分，共 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面 24分.在每小题给出的四个选项中，只 直线BC1与B1D1所成角的大小为() 有一项是符合题目要求的)》 D 题号 2 3 答案 D 1.已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶 点与底面的圆周在同一个球的球面上， 则该球的体积为 ( A B. 4 Cπ 3 D. A.100r B.68x 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共 3 5 12分.在每小题给出的选项中，有多项 C125x 符合题目要求.全部选对的得6分，部 3 0 分选对的得部分分，有选错的得0分) 2.将一个正四棱台物件放入有一定深度的 题号 5 6 电解槽中，对其表面进行电泳涂装.如图 答案 所示，已知该物件的上底边长与侧棱长 相等，且为下底边长的一半，一个侧面的 5.已知A,B,C三点均在球O的表面上， AB=BC=CA=2,且球心O到平面ABC 面积为3√3，则该物件的高为 ( 的距离等于球0半径的？，则 ( D C B A.球O的内接正方体的棱长为√2 B.球O的表面积为6π A号 C.球0的外切正方体的棱长为6 B.1 D.球O的内接正四面体的表面积为4√3 C.√2 D.3 6.如图是一个正方体的平面展开图，在这个正 3.已知l,m是两条不同的直线，a为平面， 方体中，下列说法中正确的是 mCa,下列说法中正确的是 A.若1与a不平行，则l与m一定是异 面直线 B.若l∥a,则l与m可能垂直 C.若l∩a=A,且Am,则l与m可能 A.直线AF与直线DE相交 平行 B.直线CN与直线DE平行 D.若l∩a=A,且1与a不垂直，则l与 C.直线BM与直线DE是异面直线 m一定不垂直 D.直线CN与直线BM成60°角 高一学科素养周测评（二十）数学第1页（共2页） 1 三、填空题（本题共2小题，每小题6分，共 10.(30分)现需要设计如图所示的一个仓 12分) 库，由上、下两部分组成，上部的形状是 7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4 正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是 的半圆.若用平行于圆锥的底面，且与底 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,并要求 面的距离为√3的平面截圆锥，将此圆锥 正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高 截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥 PO1的4倍. 和圆台的体积之比为 (1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的 8.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD- 容积是多少？ A1B,CD1表面上的一个动点，直线AP (2)若正四棱锥的侧棱长为6m,当 与平面ABCD所成的角为45°，则点P PO1为多少时，下部正四棱柱的侧 的轨迹长度为 面积最大，最大面积是多少？ D D 0: A B A B B 四、解答题（本题共2小题，共52分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤) 9.（22分)在长方体ABCD-A1B1C1D 中，AB=2,BC=B1B=1,M、N分别是 AD、DC的中点. (1)求三棱锥B-A1B1C1的体积； (2)求异面直线MN与BC1所成角的余 弦值. D 1 高一学科素养周测评（二十）数学第2页（共2页）衡水真题密卷 学科素养周测评 三、填空题 OA=O'A',即CA=C'A', 7.②③④【解析】①：若平面不与棱锥底面平行， 在图①中，过B'作B'D'∥y轴，交x轴于点D', 用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部 在x轴上取OD=O'D', 分不是棱台，故①错误；②：棱台的侧面一定是梯 过点D作DBy轴，并使DB=2D'B', 形，而不是平行四边形，故②正确；③：由棱锥的 连接AB,BC,则△ABC即为△A'B'C'的原图 定义知棱锥的侧面只能是三角形，故③正确；④： 形，如图②所示。 由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥，故④ 正确；⑤：如图所示四棱锥被平面截成的两部分 都是棱锥，故⑤错误， B O'(C) D A D 图① 图② (2)由(1)知，原图形中，BD⊥AC于点D,则 8.12【解析】根据题意，平行四边形OA'BC'是四 BD为原图形中AC边上的高，且BD=2B'D', 边形OABC的直观图.O'A'=3,OC'=2,则原 在直观图中作B'E'⊥A'C'于点E', y 四边形OABC为矩形，且OA=3,OC=4, B' O'(C) 45°7N D'E'A'x' 1 则△A'B'C的面积SANWC=2A'C'XB'E'- 0 所以原四边形OABC的面积为3×4=12. B'E'= 2, 四、解答题 9.解：正方形ABCD的边长为√16=4， 在Rt△B'ED'中，B'D'-B'E'=5 ，所以 由于四棱锥的侧面是全等的等腰三角形， BD=2B'D'=√6， 所以侧面三角形底边上的商为，√(62)-（台了 所以S=宁ACXRD=后. =√72-4=2√17. 故原图形中AC边上的高为√6，原图形的面积 10.解：(1)画出平面直角坐标系xOy,在x轴上取 为√6. 2024一2025学年度学科素养周测评（二十） 数学·简单几何体的表面积与体积、 空间点线面的位置关系 一、选择题 1.D【解析】设该球的半径为r,则x2=(8一r)2十 4,解释？一5，所以该球的体积为号-50 4 31 2.C【解析】设A1B1=BB1=a,则AB=2a.因为 在四边形ABB1A1中，过点A1作A1E⊥AB于 该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯 形，上、下底面均为正方形， 点E,则AE=22a-a)=分，所以A,E=2， 1 2a, 1 ·28 ·数学· 参考答案及解析 二、选择题 所以S,a十2a·α=2a2=33,解 2 2a 5.ABD【解析】设球O的半径为r,△ABC的外 得a=2,在平面ACC1A1中，过点A1作A1F⊥ 接圆的圆心为O',半径为R,由正弦定理得R= AC于点F,易知A1F为正四棱台的高，AF= 2 1 2 ,因为球心O到平面ABC的距 区-22)=E,所以A,F=AAA sin ×28 =√4-2=√2. 9r24 离等于球0半径的行所以r2- r2 3.B【解析】对于A,若1与a不平行，则l与a的 位置关系有：相交或直线在平面内，又mCa,则l 2r3 3 √2 所以球0的表面积S=4r2=4×号 与m的位置关系有：平行、相交或异面，故A =6π，故B正确；令球O的内接正方体的棱长为 错误； x,满足√3x=2r(正方体的体对角线长等于外接 对于B,若L∥a,则l与m可能垂直，如图所示：l 2X3 ',l'Ca,l'⊥m,可知l⊥m,故B正确； 球的直径)，即x= 2r √2 =√2，故A正确； -1 令球O的外切正方体的棱长为b,满足b=2x=2 X5-6,故C错误；先求解正四面体的棱长和 √2 对于C,若l∩a=A,且A庄m,mCa,则l与m 其外接球半径间的关系：设正四面体W-XYZ 异面，故C错误； 的边长为a,将其补形成正方体WXYZ 对于D,若1∩a=A,且l与a不垂直，则l与m 可能垂直，如图，取a为平面ABCD,l=AD1,m mXY乙1，如图所示，则正方体的边长为号 2a,正方 =AB, 体的体对角线长为 D 6 0,所以正四面体W-XYZ1的外接球的直径为 √6 D a,半径为 4a. A B 符合题意，但1⊥m,故D错误. 4.C【解析】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，连接AB1,AD1,由题意，四边形ABC1D1是 矩形，BC1∥AD1,所以∠AD1B1是异面直线 BC1与B1D1所成的角，而AB1=AD1=B1D =√2AB,即△AB1D1为正三角形，∠AD1B1= 所以球0的内接正四面体的棱长口满足。 =r 弩即异面直线BC,与BD,所成的角为子 解得a=2, =3 D 所以内接正四面体的表面积为4X(号×2X2× sin）=45,放D正确. D 6,CD【解析】如图所示，将正方体的平面展开图 复原为正方体.对于A,直线AF与DE不同在任 何一个平面内，否则A,D,E,F四点共面（矛 ·29· 衡水真题密卷 学科素养周测评 盾)，所以直线AF与DE为异面直线，故A错 误；对于B,直线CN与DE不同在任何一个平面 A,为圆心，2为半径的4圆孤，如图所示，故点P 内，否则C,D,E,N四点共面（矛盾），所以直线 的轨迹长度为22+2W2+2πX2=x十42. 4 CN与DE为异面直线，故B错误；对于C,平面 ADNE∥平面BCMF,DEC平面ADNE,BMC D 平面BCMF,所以直线BM与DE不相交，连接 A AN,则BM∥AN,而AN与DE相交，所以BM 与DE不平行，否则BM∥DE,AN∥DE,不合题 意，所以直线BM与DE是异面直线，故C正确； 对于D,连接AC,则△ANC为正三角形，可得 B ∠ANC=60°，又由BM∥AN,则∠ANC为直线 四、解答题 CN与直线BM所成的角，即直线CN与直线 9.解：(1)因为BC=B1B=1,AB=2,所以A1B1= BM所成的角为60°，故D正确， AB=2,B1C1=BC=1, 1 故S△41BG=2AB1·B1C=1, 又BB1⊥平面A1B1C1D1, 故三棱锥B-AB1C1的体积为VgA1B,C,= 1 3SAA4,G1·BB1=3 (2)如图，连接AC,因为M、N分别是AD、DC 三、填空题 的中点，所以MN∥AC, 7.1:7【解析】设圆锥底面半径为r,母线长为1， 又A,C1∥AC,所以A1C1MN, 由题意，l=4,2πr=4π，故r=2,作圆锥轴截面 D 如图： 所以异面直线MN与BC1所成角为∠A,CB或 其补角， 其中A,C1=A1B=√5，BC1=√2， 所以AH=2,AC=4,CH=2√J3,所以圆锥的体 积为V=工 由余弦定理得cos∠A,C,B=AC+BC2-A1B 3元×22×23二8√3示，因为用与底面 2A1C1·BC 5+2-5 √10 距离为的平面截圆锥，故CD=1, CA=2,且ACDE 2×√5X√2 10” 故异面直线MN与BC:所成角的余弦值 D△CAB,所以小圆维的体积V,= 1 3πX12XV3 =x,所以圆台的你积V,=V-V,=75x,故 为票 10.解：(1)由P01=2m可得O01=4P01=8m. 3 3 因为A1B1=AB=6m, 小圆锥和圆台的体积之比V1:V2= 元：73π 所以正四棱锥P-A1B1C,D1的体积V=3· 1 3 3 =1:7. 8.π十4√2【解析】由题意，在平面ABB1A1内，点 A,B,3…P0,=号×6X2=24m； P的轨迹为对角线AB,(除掉A点，不影响)；在 正四棱柱ABCD-A1B,C,D1的体积V在=AB2· 平面ADD1A1内，点P的轨迹为对角线AD1(除 001=62×8=288m3. 掉A点，不影响)；在平面A1B1C1D1内是以点 所以仓库的容积V=V维十V柱=24+288= 1 ·30· ·数学· 参考答案及解析 312m3. 设f(x)=x2(36-x2)=-x4+36.x2= (2)设PO1=xm,下部分的侧面积为S(x), -(x2-18)2+324, 则OO1=4xm,A1O1=√36-x2,A1B1=√2· 当x2=18,即x=3√2时，f(x)max=324, √36-x, S(x)max=288√2. S(x)=4A1B1·O01=16√2x√36-x 即当PO1为3√2m时，下部正四棱柱的侧面积 16√2·/x2(36-x2)(0x<6), 最大，最大面积是288√2m2. 2024一2025学年度学科素养周测评（二十一）数学·空间直线、平面的平行 一、选择题 AEC,ACC平面AEC,则FG∥平面AEC,所以 1.C【解析】对于①，若a∩y=m,β∩y=n,且m P由点F运动到点G的过程中，点P到平面 ,则a与B平行或相交，故①错误；对于③和 AEC的距离保持不变，又A,E,C三点为定 ④，α与B也可能相交，故③，④错误；对于②，设 点，所以△AEC的面积不变，所以三棱锥P m,n相交确定平面Y,根据线面平行的判定定理 AEC的体积不变，即三棱锥A-CEP的体积 知a∥y,By,根据平行平面的传递性得a∥B,故 不变. ②正确. D 2.C【解析】①当直线m,n共面时，因为平面a∥ 平面B,直线AB∥平面a,面ABCD∩a=CD,面 ABEF∩B=EF,CDCa,EFCR,所以AB∥CD D EF,根据平行线分制线段成地例可得铝 BP中2S-号又AC+CE=9,部得CE-想， BD 4.C【解析】如图所示， ②当m,n为异面直线时，连接AF,如图所示， 取MD的中点O,连接OP,OQ,因为O为MD 中点，P为BM中点，所以PO∥BD.又因为BD C平面BCD,PO中平面BCD,所以PO∥平面 由①证明可知，AB/GD,CG∥EF,所以AC BCD.又PQ∥平面BCD,PQ∩PO=P,PO,PQ CE C平面POQ,所以平面POQ∥平面BCD.又OQ 部-8P净品-号又AC+CE=9,每任CE C平面ACD,CDC平面ACD,平面POQ∩平面 ACD=OQ,平面BCD∩平面ACD=CD,所以 -板维上CE=智 8 OQ/CD,所以在△ACD中，OC=A0 =0D 3.C【解析】在正方体ABCD-A1BC1D1中， AA1∥CC1,AA1=CC1,所以四边形AA1C1C为 AM+M0=3. OD 平行四边形，所以AC∥A1C1.在正方形 二、选择题 A1B1C1D1中，F,G分别是A1B1,B1C1的中 5.AB【解析】对于A,设P为AB的中点，底面为 点，有FG∥A1C1,得FG∥AC,又FG中平面平行四边形BEFC,连接MP,PC, ·31· 1