平面向量的内积（1） 知识点训练卷 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》第43卷 （原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第40卷，是知识点训练卷，主要考查平面向量的内积的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第40卷 平面向量的内积（1） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．，则（    ） A．和是相反向量 B． C． D． 2．设，且与的夹角是锐角，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 3．已知，且，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．在中，，则（    ） A．6 B．4 C． D． 5．已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．1或2 6．在三角形中，，则（    ） A． B． C． D．2 7．已知,,,则（    ） A． B． C． D． 8．已知且与垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 9．已知向量，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 10．已知向量，，，则等于（   ） A．0 B． C． D．或0 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．在边长为2的正三角形中， 12．已知向量，，，则 ． 13．已知向量与的夹角为，，，则 ． 14．已知向量，，则 . 15．已知向量，若，则实数 . 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．已知，． (1)若，求； (2)若，求； (3)若与垂直，求当k为何值时，？ 17．已知向量，，求为何值时： (1)与垂直； (2)与平行． 18．已知，且．求： (1)； (2)与的夹角； (3)． 19．已知平行四边形OABC，O为坐标原点，，求与的夹角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第40卷，是知识点训练卷，主要考查平面向量的内积的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第40卷 平面向量的内积（1） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．，则（    ） A．和是相反向量 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相反向量与模的定义、向量内积的运算与共线向量定理，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】对于ACD，因为，当不是零向量时， 则和不是相反向量，，，故ACD错误； 对于B，因为，必有，故B正确. 故选：B. 2．设，且与的夹角是锐角，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的夹角为锐角，得到内积的要求即可求解. 【详解】夹角为锐角 故选：A . 3．已知，且，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件结合向量内积公式即可求解. 【详解】解：由于，且， 则， 解得， 又， 则向量的夹角为． 故选：A． 4．在中，，则（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角的概念，确定两向量的夹角，再利用内积的定义可求解. 【详解】在中，， 所以. 所以. 故选：C 5．已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．1或2 【答案】A 【分析】设向量，根据向量线性运算的坐标表示，可得，再根据向量垂直的坐标表示可求解. 【详解】设向量， 则， ∴且，解得，， ∴． ∵ ∴， ∴． 故选：A. 6．在三角形中，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先判断出三角形为等边三角形，再向量的内积公式求解即可. 【详解】∵， ∴三角形为等边三角形， ∴. 故选：C. 7．已知,,,则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的内积即可得解. 【详解】． 故选:. 8．已知且与垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量内积的定义求两向量夹角的余弦值，进而求角的度数. 【详解】， ， ， ， ， ． 故选：C. 9．已知向量，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用向量垂直的坐标表示，计算得到答案. 【详解】已知，则， 解得， 故选：A. 10．已知向量，，，则等于（   ） A．0 B． C． D．或0 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算及模的公式求解. 【详解】向量，， ∴，∴， ∴，解得或0. 故选：D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．在边长为2的正三角形中， 【答案】 【分析】先求与的夹角，然后利用内积公式求内积即可. 【详解】因为为正三角形，所以， 即与的夹角为，则与的夹角为， 又因为正三角形边长为2， 则， 则； 故答案为：. 12．已知向量，，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的模长先求未知数，再代入易得向量内积. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以. 故答案为：. 13．已知向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】 【分析】先求解向量的值，再由向量的模长公式计算即可. 【详解】向量与的夹角为，，， ， 所以， 所以． 故答案为：. 14．已知向量，，则 . 【答案】 【分析】代入向量内积的坐标表示公式即可得解. 【详解】因为向量，， 则. 故答案为：. 15．已知向量，若，则实数 . 【答案】/ 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解. 【详解】已知向量，，又， 所以， 即. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．已知，． (1)若，求； (2)若，求； (3)若与垂直，求当k为何值时，？ 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由可知，两向量的夹角为或，利用向量内积的定义结合已知条件即可求解. （2）根据向量内积的运算律即可求解. （3）由向量垂直则内积为零结合已知条件列式即可求解. 【详解】（1）由可知，两向量的夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，； 所以，. （2）由题意可知， 若，则， 所以， 则. （3）由与垂直可得，即； 若，则， 即，得，解得， 所以当时，. 17．已知向量，，求为何值时： (1)与垂直； (2)与平行． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示，求得，，利用垂直的坐标表示可求解； （2）由（1）知，，根据向量共线的坐标表示可求解. 【详解】（1）由题意得，， ． 因为与垂直， 所以，化简得， 解得； （2）由（1）知，， 因为与平行， ，解得． 18．已知，且．求： (1)； (2)与的夹角； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量内积的运算法则计算； （2）利用向量的夹角公式计算； （3）利用计算． 【详解】（1），， ， ． （2）， ，． （3）． 19．已知平行四边形OABC，O为坐标原点，，求与的夹角的余弦值． 【答案】 【分析】先根据向量的坐标运算求出来向量与向量，再由向量夹角的坐标运算求解即可. 【详解】平行四边形OABC， ， ， ， ， ， 与夹角的余弦值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $