双曲线及其性质 知识点训练卷 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》第49卷 （原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第49卷，是知识点训练卷，主要考查双曲线及其性质的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第49卷 双曲线及其性质 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 2．若双曲线的焦距为6，则k的值是（    ） A．7 B．2 C．14 D．4 3．双曲线上一点到一个焦点的距离为5，则这个点到另一个焦点的距离为（   ）. A．1 B．11 C．9 D．1或9 4．双曲线的方程是，那么它的焦距是（   ） A．5 B．10 C． D． 5．双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线：的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．或 D． 7．椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数（    ） A． B． C．5 D．9 8．已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 9．关于x，y的方程和在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   10．若方程表示双曲线，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．双曲线的实轴长与虚轴长之比为 ． 12．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为6，它的离心率为3，则该双曲线的标准方程为 . 13．设双曲线的左、右焦点分别为、，则左焦点的坐标为 ，过的直线与双曲线左支交于、两点，且，则的周长为 ． 14．双曲线的渐近线方程为 ． 15．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的左焦点，则 ． 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．双曲线（a>0，b>0），圆D:，双曲线与圆交于M（3，4），双曲线的一条渐近线为 (1)求双曲线的方程 (2)点P为圆与y轴正半轴交点，过点P的直线l交双曲线于A、B两点，且，求l的方程 17．已知双曲线中，，虚轴长为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点，倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积． 18．已知椭圆与双曲线有公共点，它们的离心率和为，如图所示．    (1)求椭圆的标准方程； (2)设点P是该椭圆上一点，且，求的面积． 19．如图，双曲线与椭圆有公共的焦点，它们的离心率之和为，求：    (1)双曲线的标准方程； (2)设P是双曲线与椭圆在第一象限的交点，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第49卷，是知识点训练卷，主要考查双曲线及其性质的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第49卷 双曲线及其性质 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将双曲线化为标准式，再得到渐近线的方程. 【详解】将双曲线方程转化为标准方程， ∴焦点在轴上，，， ∴双曲线的渐近线方程是． 故选：C. 2．若双曲线的焦距为6，则k的值是（    ） A．7 B．2 C．14 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，利用，即可求解. 【详解】由于， ，， ， 又， . 故选：D. 3．双曲线上一点到一个焦点的距离为5，则这个点到另一个焦点的距离为（   ）. A．1 B．11 C．9 D．1或9 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，求解点到另一焦点的距离. 【详解】双曲线. 即. 设双曲线的两个焦点分别为和，且曲线上一点为. 不妨令. 根据双曲线的定义可知. 得到或. 故选：D. 4．双曲线的方程是，那么它的焦距是（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】已知双曲线方程求a，b，c，进而可求焦距. 【详解】双曲线的方程是， ，， ， 焦距：. 故选：D． 5．双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的渐近线方程可求解. 【详解】由题意知 ，故其渐近线方程为. 故选：A 6．已知双曲线：的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的一条渐近线与直线平行得到，从而利用即可得解. 【详解】因为直线的斜率为， 又双曲线：的渐近线方程为， 它的一条渐近线与该直线平行，所以该渐近线的斜率为，即， 所以. 故选：D. 7．椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数（    ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【分析】椭圆与双曲线的焦点相同，也就是在标准方程中相同，焦点坐标相同，找到标准方程中的，即可求解. 【详解】∵椭圆和双曲线有相同的焦点，故焦点坐标相同. 在双曲线中，焦点在轴上，且，故. 椭圆中，，故. 可得到，，故，即. 故选：B. 8．已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义即可得出，再由求出值即可写出双曲线的标准方程. 【详解】由题可知：设双曲线方程为 已知双曲线的焦点为，， 所以，由，可得， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C. 9．关于x，y的方程和在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分类讨论的正负情况，结合直线斜截式的性质与圆锥曲线的方程即可得解. 【详解】①若，则直线，斜率，截距， 则直线图象经过一、二、三象限；表示椭圆，则A、B排除； ②若，则直线， 则直线图象经过一、三、四象限；表示焦点在x轴上的双曲线，则排除C； ③若，则直线， 则直线图象经过一、二、四象限；表示焦点在y轴上的双曲线，则D符合． 显然这种情况不存在. 故选：D. 10．若方程表示双曲线，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义分析即可. 【详解】因为双曲线方程为， 得，解得， 所以k的取值范围是. 故选:A. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．双曲线的实轴长与虚轴长之比为 ． 【答案】 【分析】先将双曲线方程转化为标准方程，得到实轴长与虚轴长，即可求解. 【详解】∵双曲线的标准方程为， ∴，，即，. ∴实轴长与虚轴长之比． 故答案为：. 12．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为6，它的离心率为3，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】先由双曲线焦点位置假设出双曲线的标准方程，再由其焦距与离心率求得，从而得解. 【详解】由题意可设双曲线的标准方程为， 且，所以，，则， 所以该双曲线的标准方程为. 故答案为：. 13．设双曲线的左、右焦点分别为、，则左焦点的坐标为 ，过的直线与双曲线左支交于、两点，且，则的周长为 ． 【答案】 36 【分析】根据双曲线的标准方程得到，即可得到焦点坐标；根据双曲线的定义，得到的关系，即可求得的周长. 【详解】由双曲线的标准方程可知焦点在轴上，且，， ∴，∴， ∴左焦点的坐标为． 由题意得，， 两式相加得， ∴． 又∵， ∴的周长为36． 故答案为：，36. 14．双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程，确定的值，即可写出双曲线的渐近线方程. 【详解】根据双曲线标准方程得：双曲线的焦点在轴上， 所以 所以双曲线的渐近线方程为： 故答案为：. 15．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的左焦点，则 ． 【答案】 【分析】根据双曲线与抛物线共焦点求解. 【详解】∵双曲线左焦点， 则， 解得， ∴抛物线方程， 则． 故答案为: . 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．双曲线（a>0，b>0），圆D:，双曲线与圆交于M（3，4），双曲线的一条渐近线为 (1)求双曲线的方程 (2)点P为圆与y轴正半轴交点，过点P的直线l交双曲线于A、B两点，且，求l的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的渐近线和一个点易得答案； （2）根据向量关系找到根的关系，联立方程组利用韦达定理易得答案. 【详解】（1）因为， 所以设双曲线的方程为，因为双曲线与圆交于， 所以， 所以双曲线的方程为； （2）设， 因为， 所以圆：，所以，设直线的方程为， 所以， 因为， 联立方程， 根的判别式为 所以， 所以， 所以. 17．已知双曲线中，，虚轴长为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点，倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线中之间的关系和已知比例与虚轴长，列出方程组求解即可解得； （2）根据已知点和倾斜角列出直线方程，再将直线方程与双曲线方程联立，结合三角形面积公式即可解得. 【详解】（1）由已知条件可得，解得，， 因此双曲线的标准方程为． （2）由题意可知，直线的方程为，设点、， 联立，可得，解得，， 因此，． 18．已知椭圆与双曲线有公共点，它们的离心率和为，如图所示．    (1)求椭圆的标准方程； (2)设点P是该椭圆上一点，且，求的面积． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先根据双曲线的标准方程解得，再由离心率之和解得椭圆的离心率即可求解. （2）根据椭圆的定义解得，结合余弦定理即可解得. 【详解】（1）解：由双曲线可得， 所以. 因为焦点在x轴上，则双曲线离心率. 因为椭圆与双曲线的离心率之和为, 所以椭圆离心率. 设椭圆的半长轴为，半短轴为. 则在椭圆中，解得 则 所以椭圆的标准方程为. （2）因为点P是该椭圆上一点，且， 所以，． 由得， . 解得. 所以的面积为 . 19．如图，双曲线与椭圆有公共的焦点，它们的离心率之和为，求：    (1)双曲线的标准方程； (2)设P是双曲线与椭圆在第一象限的交点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆标准方程求焦点，再根据共同焦点求双曲线方程. （2）根据根据椭圆及双曲线的定义求，再根据余弦定理求解. 【详解】（1）在椭圆中， , , 则在双曲线中，, ， 双曲线的标准方程为. （2）在椭圆中，①， 在双曲线中，② 由①②得， 在，中 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $