数列的综合与应用（2） 知识点训练卷 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》第40卷 （原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第37卷，是知识点训练卷，主要考查数列的综合与应用的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第37卷 数列的综合与应用（2） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．数列的前项和为，若，则等于（    ） A．1 B． C． D． 2．设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （　　  ） A． B． C． D． 3．已知数列中，，前项和为，且点在直线上，则 A． B． C． D． 4．已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．5 5．数列的前项和等于（    ） A． B． C． D． 6．若数列的通项公式为，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 7．已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ） A． B． C． D． 8．某学校阶梯教室有22排座位，从第二排起，每一排比前一排多2个座位，最后一排有64个座位，则这个阶梯教室共有座位（    ） A．946个 B．964个 C．982个 D．1008个 9．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的是（   ） A．相邻两个节气晷长减少或增加的均量为一尺 B．春分的晷长比秋分的晷长不相同 C．小雪的晷长为一丈五寸 D．立春的晷长比立秋的晷长短 10．如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为0.1；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力5.0对应的国际标准视力准确值为1.0，则标准对数视力4.8对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（    ）（参考数据：） A．0.57 B．0.59 C．0.61 D．0.63 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．数列的前100项和为 . 12．设等差数列的前项和为，且，，若恒成立，则的最小值为 . 13．已知函数，若，且数列的前项和为，则 ． 14．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天种2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数为 天． 15．已知二次函数,当时,其抛物线在轴上截得线段的长度依次为,,…,则的值是 . 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．在等比数列中，已知，前项和为，，公比，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和 17．已知为数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 18．已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 19．某城市年年底人口总数为万，绿化面积为万平方米，假定今后每年人口总数比上一年增加万，每年新增绿化面积是上一年年底绿化面积的，并且每年均损失万平方米的绿化面积(不考虑其他因素)． (1)到哪一年年底，该城市人口总数达到万(精确到1年)？ (2)假如在人口总数达到万并保持平稳、不增不减的情况下，到哪一年年底，该城市人均绿化面积达到平方米(精确到1年)？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第37卷，是知识点训练卷，主要考查数列的综合与应用的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第37卷 数列的综合与应用（2） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．数列的前项和为，若，则等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用裂项求和法求解. 【详解】， ， . 故选：B. 2．设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （　　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件构造为常数列，求出，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】，且， ，即 ，， 故数列为常数列，且， ，则， 故数列的前项和. 故选：D. 3．已知数列中，，前项和为，且点在直线上，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：数列是首项公差为的等差数列，故选C. 考点：1、等差数列的定义；2、数列的前项和. 【方法点晴】本题考查等差数列的定义、数列的前项和，涉及方程思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先将点代入直线方程可得 数列是首项公差为的等差数列，然后利用等差数列的前项和求得 ． 4．已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】错位相减法求出，然后得出，即可得出答案. 【详解】，， 两式相减可得 ， 所以， 因为，所以，即恒成立，故. 故选：B. 5．数列的前项和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合错位相减法即可得解. 【详解】设的前项和为，则①， 所以②， ①②，得， 所以． 故选：. 6．若数列的通项公式为，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分组求和法，结合等比数列与等差数列的求和公式即可得解. 【详解】因为， 所以 . 故选：B. 7．已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析出数列与数列的公共项，找出他们公共项的通向公式，再利用裂项相消法解决问题. 【详解】若数列与数列的公共项， 则设，即 ， 因为为偶数，所以也为偶数， 所以令数列与数列的公共项为： ， 所以， 所以 ， 故选：B. 8．某学校阶梯教室有22排座位，从第二排起，每一排比前一排多2个座位，最后一排有64个座位，则这个阶梯教室共有座位（    ） A．946个 B．964个 C．982个 D．1008个 【答案】A 【分析】根据题意判断每排座位数构成等差数列，根据公差和末项先求首项，再根据等差数列求和公式易得答案. 【详解】根据题意可知每排座位数构成等差数列，不妨设为，公差为， 因为某学校阶梯教室有22排座位，每一排比前一排多2个座位，所以， 因为最后一排有64个座位，所以， 因为，即，解得， 所以这个阶梯教室共有座位. 故选：A. 9．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的是（   ） A．相邻两个节气晷长减少或增加的均量为一尺 B．春分的晷长比秋分的晷长不相同 C．小雪的晷长为一丈五寸 D．立春的晷长比立秋的晷长短 【答案】A 【分析】首先设由夏至到冬至的晷长构成等差数列，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，再由等差数列的通项公式逐个计算即可. 【详解】现以寸为单位，由题意可知， 设由夏至到冬至的晷长构成等差数列， 其中，公差， 同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列， 其中，公差， 故相邻两个节气晷长减少或增加的量为寸，即一尺，故选项A正确， 因为春分的晷长为， 所以， 因为秋分的晷长为， 所以， 故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选B错误， 因为小雪的晷长为，则， 即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误， 因为立春的晷长的和立秋的晷长分别为， ， 所以，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D错误． 故选：A. 10．如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为0.1；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力5.0对应的国际标准视力准确值为1.0，则标准对数视力4.8对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（    ）（参考数据：） A．0.57 B．0.59 C．0.61 D．0.63 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合等差数列与等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】依题意，设左侧数据从上至下构成等差数列，且公差， 右侧数据从上至下构成等比数列，且公比， 设5.0为数列中的第项，则1.0为数列中的第项，即， 故，其中且， 故标准对数视力4.8对应的国际标准视力为数列中的第项，即， 所以． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．数列的前100项和为 . 【答案】 【分析】根据，利用裂项相消法可求和. 【详解】因为， 所以数列的前100项和为： . 故答案为： 12．设等差数列的前项和为，且，，若恒成立，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】由根据等差数列的求和公式和通项公式，可得等差数列的首项和公差，进而得，根据裂项相消法求的和，由恒成立可得的最小值. 【详解】由，可得，即， 由，可得，即， 所以，则， 从而. 所以 ， 要使恒成立，则. 所以的最小值为2. 故答案为：2 13．已知函数，若，且数列的前项和为，则 ． 【答案】/ 【分析】首先根据函数解析式得出，再由分组求和法求和即可. 【详解】已知函数， 则， 故， 即 ， 故答案为：. 14．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天种2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数为 天． 【答案】6 【分析】由题可知，每天植树的棵数构成等比数列，根据等比数列的求和公式，列不等式可求解. 【详解】设每天植树的棵数组成的数列为，由题意可得， 是以2为首项，2为公比的等比数列，则 , 所以. 由于，且， 所以，即n的最小值为6，需要的最少天数为6天. 故答案为： 15．已知二次函数,当时,其抛物线在轴上截得线段的长度依次为,,…,则的值是 . 【答案】 【分析】由一元二次方程的求根公式及数列的求和公式即可得解. 【详解】二次函数与轴截得线段的长度为. 所以. 所以=. 故答案为:. 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．在等比数列中，已知，前项和为，，公比，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列与之间的关系和通项公式即可解得. （2）根据等差数列和等比数列求和公式进行分组求和即可解得. 【详解】（1）由题，数列为等比数列，且，， 即，即， ，即，又知， 解得或（舍去），则 （2）由题，， 则 ， 即. 17．已知为数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，求值即可. （2）根据裂项相消法求和即可. 【详解】（1）已知为数列的前项和，且， 则当时，， 当时， 又满足上式， 所以． （2）因为 ， 所以的前项和 . 18．已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式； （2）依题意可得，利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为， 根据题意可得，解得或， 因为等比数列为递增数列，所以， 所以数列的通项公式为. （2）因为数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以， 所以 . 19．某城市年年底人口总数为万，绿化面积为万平方米，假定今后每年人口总数比上一年增加万，每年新增绿化面积是上一年年底绿化面积的，并且每年均损失万平方米的绿化面积(不考虑其他因素)． (1)到哪一年年底，该城市人口总数达到万(精确到1年)？ (2)假如在人口总数达到万并保持平稳、不增不减的情况下，到哪一年年底，该城市人均绿化面积达到平方米(精确到1年)？ 【答案】(1)到年年底 (2)到年底 【分析】（1）根据等差数列的首项和公差列出通项公式求解即可解得. （2）根据已知用数列表示出每年年底的绿化面积数，再根据数列求和与等比数列的求和公式即可解得. 【详解】（1）由题意知，自年起，每年的人口总数构成等差数列，其中首项，公差， 通项公式为， 设第n项，即，解得， ∵，∴． 故到年年底，该城市人口总数达到万； （2）由题意知，自年起，每年的绿化面积数构成数列， 其中是年年底的绿化面积数，； 是年年底的绿化面积数，； 是年年底的绿化面积数， , … 是年年底的绿化面积数， 设，即； 解得，由于，所以，； 故到年底，该城市人均绿化面积达到平方米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $