抛物线及其性质 知识点训练卷 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》第50卷 （原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第50卷，是知识点训练卷，主要考查抛物线及其性质的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第50卷 抛物线及其性质 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线上一点A到焦点的距离为6，则点A的横坐标为（    ） A．4 B． C． D．2 5．抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点坐标为，则此抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则点到轴的距离等于（    ） A．3 B．4 C．5 D． 8．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，若该抛物线经过点，则其标准方程是（    ） A．或 B． C． D．或 9．已知定点，F是抛物线的焦点，点P是抛物线上的动点，当最小时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．如果抛物线上的点M到y轴的距离3，那么点M到焦点F的距离是 . 12．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的左焦点，则 ． 13．已知抛物线上一点到焦点的距离为为坐标原点，则的面积为 ． 14．已知点为抛物线：的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，若，则线段的中点到抛物线的准线的距离为 . 15．抛物线内有一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．已知抛物线的方程为，其图象过点． (1)求实数p的值； (2)求抛物线的焦点坐标和准线方程． 17．已知抛物线顶点为原点，准线. (1)求抛物线的标准方程； (2)过焦点F的直线与抛物线相交于两点，若，求直线的方程. 18．已知抛物线：过点． (1)求抛物线的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，求线段的长度． 19．已知抛物线的顶点在原点，以椭圆的右焦点为焦点，求： (1)此抛物线的标准方程； (2)直线被抛物线截得的弦的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第50卷，是知识点训练卷，主要考查抛物线及其性质的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第50卷 抛物线及其性质 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的标准方程，直接求解准线方程. 【详解】由抛物线的标准方程可知， 抛物线的焦点在轴的正半轴上，并且， ∴，∴抛物线的准线方程为． 故选：B. 2．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据椭圆的标准方程求焦点，再根据焦点求抛物线的标准方程，再根据抛物线标准方程求准线. 【详解】∵抛物线的焦点在轴的正半轴上， ∴抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合， 由椭圆的标准方程可知，， ∴，即， ∴右焦点坐标为， ∴抛物线的焦点坐标是，即， ∴抛物线的准线方程为． 故选:D. 3．抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程求焦点. 【详解】根据题意可知抛物线的标准方程为，所以，焦点在轴上， 焦点坐标为，即. 故选：C. 4．已知抛物线上一点A到焦点的距离为6，则点A的横坐标为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义：抛物线上的一点到焦点的距离等于到准线的距离即可. 【详解】由题意得， 由抛物线可得， ，解得. 则抛物线准线方程为：. 所以. 解得. 故选：B. 5．抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的准线方程为，求解可得抛物线方程. 【详解】因为抛物线顶点在原点，准线方程为，所以，得到.抛物线方程为. 故选：B. 6．已知抛物线的焦点坐标为，则此抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的焦点坐标求参数，即可得到抛物线的标准方程. 【详解】∵抛物线的焦点坐标为， 而题目已知焦点坐标为 ∴，解得 ∴此抛物线的标准方程为． 故选：D. 7．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则点到轴的距离等于（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义求得点的横坐标，从而得解. 【详解】由抛物线可知，所以，， 由抛物线的定义可知，所以， 即点到轴的距离等于4. 故选：B. 8．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，若该抛物线经过点，则其标准方程是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】因为抛物线经过点在第二象限，且题中没有明确抛物线的对称轴位置，因此分两种情况设抛物线方程，由点代入可求解. 【详解】由题意，可设其标准方程为或， 由点分别代入方程，可得 或， 解得或. 故抛物线的标准方程为或. 故选：A 9．已知定点，F是抛物线的焦点，点P是抛物线上的动点，当最小时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义，数形结合分析得最小时的位置，从而得解. 【详解】如图：    设P到准线距离为，由抛物线定义知， 所以， 当，即距离最小时，此时A，P，M三点共线， 即P的纵坐标为2，则，则，则P坐标为． 故选：C. 10．已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】（方法一）:由椭圆的方程得焦点坐标，根据中点在轴设中点坐标，由题意得，解得P的横坐标为，解得P点坐标，再根据两点距离公式求，再求比值. （方法二）:先根据中位线性质判断为直角三角形，再根据勾股定理，以及椭圆的定义分别求，再求比值. 【详解】（方法一）：由椭圆方程知： . 则 设在y轴上的中点， ∵原点点是的中点，在轴上， ∴， ∴轴， ∴点P的横坐标为， ∵点P在椭圆上，则， 则． 不妨设，则 ， . 则． 故选:A. （方法二）：如图，   的中点M，且O为中点，则在，MO为中位线，， 即， 在直角中，①， 其中 且由椭圆定义② 联立①②得， 则． 故选:A. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．如果抛物线上的点M到y轴的距离3，那么点M到焦点F的距离是 . 【答案】5 【分析】由抛物线的方程确定其位置和准线方程，由题可知M到抛物线准线的距离为5，根据抛物线的定义可得，点M到焦点F的距离是5. 【详解】由抛物线可知，，焦点在x轴，开口向右， 所以准线方程为，点M在y轴的右侧. 又因抛物线上的点M到y轴的距离3， 故M到准线的距离为5. 根据抛物线的定义可知，点M到焦点F的距离是5. 故答案为：5 12．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的左焦点，则 ． 【答案】 【分析】根据双曲线与抛物线共焦点求解. 【详解】∵双曲线左焦点， 则， 解得， ∴抛物线方程， 则． 故答案为: . 13．已知抛物线上一点到焦点的距离为为坐标原点，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】先求得点的横纵坐标，再计算的面积. 【详解】    抛物线方程为，由抛物线的定义可得，即， 代入抛物线方程，得， 则． 故答案为：. 14．已知点为抛物线：的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，若，则线段的中点到抛物线的准线的距离为 . 【答案】3 【分析】结合图象，利用梯形中位线的性质与抛物线的定义即可得解. 【详解】如图，分别过点、、作准线的垂线，垂足分别为，，，      易知是梯形的中位线， 所以. 故答案为：3. 15．抛物线内有一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据抛物线定义，将点到焦点的距离转化为到准线的距离. 【详解】如图：    设P点到准线距离为，则由定义 若值最小，即值最小，此时，P、A、B三点共线， ∵抛物线方程为， ∴抛物线的准线为， ∴距离最小值为点到准线的距离， 则的最小值为． 故答案为:. 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．已知抛物线的方程为，其图象过点． (1)求实数p的值； (2)求抛物线的焦点坐标和准线方程． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）将点代入，即可求值； （2）已知抛物线方程，根据抛物线的性质，即可求解. 【详解】（1）将点代入抛物线方程 得； （2）由（1）可知，抛物线方程为， 焦点在x轴，为， 所以焦点坐标为； 准线方程为， 所以准线方程为：. 17．已知抛物线顶点为原点，准线. (1)求抛物线的标准方程； (2)过焦点F的直线与抛物线相交于两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据准线方程可知，即可得出抛物线的标准方程. （2）设直线方程为，联立方程组运用韦达定理得出，再根据焦半径公式列方程求出即可. 【详解】（1）已知抛物线的准线， 则，且焦点在轴， 所以抛物线标准方程为. （2）由（1）可知焦点，则设直线方程为， 又抛物线标准方程为， 联立方程组得， 消元得，，设， 则有， 因为，又 即，解得 所在的直线方程为或. 18．已知抛物线：过点． (1)求抛物线的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，求线段的长度． 【答案】(1)抛物线的方程为，准线方程为 (2) 【分析】（1）直接代入点到抛物线方程，即可求解. （2）先求得直线方程，与抛物线方程联立，得到、两点横坐标的关系，再求弦长. 【详解】（1）根据题意，将代入抛物线方程得，解得， ∴抛物线的方程为，准线方程为． （2）由（1）可知抛物线的标准方程为， ∴抛物线的焦点在轴的正半轴上，， ∴，∴焦点为． ∵直线过该抛物线的焦点，倾斜角为，即斜率， ∴直线的方程为． 设，，联立直线与抛物线方程 得， 则， ∴． 19．已知抛物线的顶点在原点，以椭圆的右焦点为焦点，求： (1)此抛物线的标准方程； (2)直线被抛物线截得的弦的长． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据椭圆方程求出右焦点坐标，再由抛物线焦点写出抛物线方程即可. （）联立直线与抛物线的方程组，求出坐标，根据两点间的距离公式即可得解. 【详解】（1）由椭圆方程可知椭圆的焦点在轴上， 则，所以， 焦点坐标为，， ∴抛物线的焦点为， ∴以点为焦点的抛物线的标准方程为． （2）联立， 解得或，   所以两个交点坐标分别为，   ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $