平面向量的内积（2） 知识点训练卷 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》第44卷 （原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第41卷，是知识点训练卷，主要考查平面向量的内积的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第41卷 平面向量的内积（2） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知点，点，向量，若，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直的充分必要条件，结合向量内积的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，所以， 又因，向量， 所以，即， 解得：. 故选：. 2．已知向量、满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量内积的运算法则求得，从而求得，由此得解. 【详解】因为，， 所以， 所以，则， 因为，所以. 故选：B. 3．已知为非零的平面向量，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】利用充分、必要条件的判定方法，结合向量内积的运算法则即可得解. 【详解】因为为非零的平面向量， 当时，取，，则，满足要求， 但此时不成立，即充分性不成立； 当时，显然，即必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 4．已知边长为1的等边，，则（　　） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算，将用，表示，再根据向量内积的运算可得结果. 【详解】如图， . 故选：A 5．已知平面向量，，向量与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求向量的坐标，再根据向量与垂直则即可求解. 【详解】， 因为与垂直，所以， 即，解得，因此选项D正确. 故选：D. 6．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量垂直的坐标表示求得，再利用余弦函数的倍角公式即可得解. 【详解】，， ，则， 整理得，解得或（舍去）， . 故选：B. 7．已知向量满足，且，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据向量垂直的充要条件及向量的模的概念即可求解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 8．若平面向量和互相平行，其中.则（    ） A．或0 B． C．2或 D．或 【答案】C 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求出的值，再由向量的线性运算的坐标表示求出，最后根据向量模的坐标表示求值即可. 【详解】已知平面向量和互相平行， 则有，即，解得， 当时，，，， 此时， 当时，，，， 此时， 所以2或， 故选：C. 9．已知菱形的边长是4，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的夹角，然后利用内积公式可求. 【详解】由题意知，为等边三角形，所以， 向量的夹角为，向量的夹角为， 因为，所以的夹角为， 所以； 故选：D. 10．已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直先求出参数k，再由内积的定义，即可求出夹角的余弦值. 【详解】因为与垂直，故，解得， 则，， 设与夹角为， 则， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．若向量满足则的夹角为 ． 【答案】 【分析】根据向量垂直的充要条件及向量内积的概念即可求解. 【详解】设的夹角为，则， 由题可知，，即， 所以，，， 又，故可得，即的夹角为. 故答案为：. 12．若O为坐标原点，抛物线与过其焦点的直线交于两点，则等于 ． 【答案】/-0.75 【分析】根据题意设方程为，联立直线与抛物线方程得到，再利用向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】因为抛物线的焦点为，则依题意，设直线方程为， 联立，得，则， 设，，则， 故 ， 则 故答案为：. 13．已知向量，则向量的夹角为 . 【答案】/ 【分析】根据向量的坐标表示求得内积和模长，再根据内积的定义求得夹角的余弦，即可得到夹角. 【详解】∵向量， ∴，，， 令向量的夹角为，， 则，解得， 所以. 故答案为：. 14．已知在上的投影向量为，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据向量的投影公式即可得解. 【详解】设与的夹角为， . 故答案为：. 15．已知单位向量与的夹角为，那么 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积求模长即可. 【详解】因为为单位向量，且夹角为， 所以， 所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．已知，，若与垂直，求k的值． 【答案】 【分析】分别求出与的坐标，由已知条件与垂直，得到关于的方程即可求得结果. 【详解】由，， 可得， ， 又因为与垂直，故， 即，解得. 17．已知. (1) 与夹角的余弦值； (2)若与垂直，求k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据计算可得. （2）求出与，再根据向量垂直的坐标表示解方程即可. 【详解】（1）因为， ，， 所以. （2）因为， 所以，， 因为与垂直， 所以，解得. 18．已知向量，且， (1)求坐标； (2)求. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）设，由向量平行和向量垂直的坐标表示列方程求解即可. （2）先求出向量的坐标，再由坐标求模长即可. 【详解】（1）设向量， 因为， 所以，， 因为，， 可得，即，解得， 故. （2）由（）得，， 所以， 所以. 19．已知平面向量，，． (1)求的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意求出的值，的值，利用平面向量内积的坐标表示即可得解. （）根据平面向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为，， 则，，， 所以． （2）由题意可知，，， 因为，因此， 解得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第41卷，是知识点训练卷，主要考查平面向量的内积的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第41卷 平面向量的内积（2） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知点，点，向量，若，则实数等于（    ） A． B． C． D． 2．已知向量、满足，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知为非零的平面向量，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．已知边长为1的等边，，则（　　） A． B．3 C． D．6 5．已知平面向量，，向量与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知向量满足，且，则（ ） A． B． C． D．1 8．若平面向量和互相平行，其中.则（    ） A．或0 B． C．2或 D．或 9．已知菱形的边长是4，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．若向量满足则的夹角为 ． 12．若O为坐标原点，抛物线与过其焦点的直线交于两点，则等于 ． 13．已知向量，则向量的夹角为 . 14．已知在上的投影向量为，则的值为 . 15．已知单位向量与的夹角为，那么 ． 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．已知，，若与垂直，求k的值． 17．已知. (1) 与夹角的余弦值； (2)若与垂直，求k的值. 18．已知向量，且， (1)求坐标； (2)求. 19．已知平面向量，，． (1)求的值； (2)若，求实数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $