正弦定理和余弦定理的综合应用（2） 知识点训练卷 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》第33卷 （原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第30卷，是知识点训练卷，主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第30卷 正弦定理和余弦定理的综合应用（2） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在中，已知a=7，b=5，c=3，则此三角形的最大内角是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据大边对大角可知边所对的角为最大内角. 【详解】∵a=7，b=5，c=3, 根据大边对大角可知边所对的角为最大内角， ∴根据余弦定理可得， ∴. 故选:B. 2．如图，在和中，，，，交于点D，下列结论中不正确的是（    ）    A．≌ B． C．∽ D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件证明≌，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似，即可得出结论. 【详解】在和中， 已知，，， 所以≌，故A正确. 所以，其中， ， 所以，故B正确. 因为，，所以 所以∽，故C正确. 没有条件说明，所以D错误. 故选：D. 3．在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据正弦定理即可解得. 【详解】解：因为， 由正弦定理得，， 整理得. 因为，所以，即， 所以为直角三角形. 故选：B 4．的外接圆的圆心为，，，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】先用余弦定理判断三角形的类型，再计算. 【详解】∵，，， ∴根据余弦定理可知，. 所以，，即是直角三角形，为直角. 又∵是的外接圆的圆心，故在中点处. ∴. 故，. 故选：B. 5．在中，，则（    ） A．为直角 B．为钝角 C．为直角 D．为钝角 【答案】C 【分析】由正弦定理边化角得，结合余弦定理和化解，可求出. 【详解】由，即，， 又，所以，化简得， 则，故在中，， 故选：C 6．在中，内角的对边分别为，，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由正弦定理得到或，从而判断出“”是“”的必要而不充分条件. 【详解】变形为，由正弦定理得， 即，所以， 因为，所以或， 故或， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 7．设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边比为1：2：3的三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理可得或；或，利用三角形的性质验证得，可得结论. 【详解】因为，由正弦定理可得，即， 因为，为三角形的内角，所以或，即或， 同理可得或； 当时，不可能成立（三内角和不等于）， 当时，也不可能成立， 所以只有，即为等边三角形． 故选：B 8．在中，，，边上的中线，则面积S为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，利用余弦定理求出∠ACE的余弦值，进而求出正弦值，利用面积公式求出答案. 【详解】延长AD到点E使DE=AD，连接CE， 则因为边上的中线， 所以△ABD≌△ECD 所以，， 面积等于的面积 在三角形ACE中，由余弦定理得： ， 则 所以 故选：C 9．在平行四边形ABCD中，，，则该平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先运用余弦定理求出，再求解出，从而解出平行四边形ABCD的面积. 【详解】解：设AC与BD交于点O，在中， ， 所以， 故平行四边形ABCD的面积． 故选：A．    10．在中，，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式得、，结合三角形内角范围确定，进而可得大小. 【详解】由题设，则，，故， 又，故，，故， 所以中，. 故选：C 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．在中，，点D在边BC上，，若的面积为，则AD的最大值为 . 【答案】 【分析】先根据三角形的面积公式求出，再利用和的面积和为以及基本不等式求解. 【详解】 设的角，，所对的边分别为，则 在中，，的面积为， 所以，解得， 因为，所以，所以， 因为和的面积和为， 所以，解得， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以. 故答案为：. 12．的三内角为A，B，C，且方程有两个相等的实数根，若，则是 三角形. 【答案】等边 【分析】根据已知可得，求出角，再由结合正弦定理，得，即可得出结论. 【详解】方程有两个相等的实数根， 所以， ，又， 得， 为等边三角形. 故答案为：等边 【点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换判断三角形的形状，考查计算求解能力，属于基础题. 13．赵爽是我国古代数学家､天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则三角形ABC的面积为 . 【答案】13 【分析】利用等边三角形和全等三角形的性质结合三角面积公式求解即可. 【详解】∵、为等边三角形， ∴，， ∵、和全等，， ∴， ∴，，， ∴， ∴. 故答案为：. 14．在中，已知，则的形状是 . 【答案】等边三角形 【分析】根据正弦定理表示出和，分别代入已知的中，利用同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值即可得到三角形的三个内角相等，得到三角形为等边三角形. 【详解】根据正弦定理得到：， 则， 代入中得：， 即，且，则， 所以的形状是等边三角形. 故答案为：等边三角形 15．如图，在四边形ABCD中，已知 ，，，，，则 .   【答案】 【分析】利用余弦定理求得的值，再由诱导公式与三角恒等变换得到，再由正弦定理求解即可； 【详解】在中，由余弦定理可得 ，所以， 所以， 又，所以， 所以， 所以 ， 在中，由正弦定理可得， 所以. 故答案为： 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．在中，角的对边分别为，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 【答案】(1)钝角三角形 (2) 【分析】（1）先找到最大边，再由余弦定理判断即可. （2）由三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为角的对边分别为，，， 所以可知， 由余弦定理， 因为，所以，该三角形是钝角三角形. （2）的面积. 17．在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，判断的形状. 【答案】(1) (2)等边三角形 【分析】（）根据题意结合余弦定理求出即可得解. （）利用（1）中结论得到，从而得解. 【详解】（1），整理得， 由余弦定理可知， ，. （2）由（1）知， 所以，， 则， 所以为等边三角形. 18．如图，在平面四边形中，，，，. (1)求的度数； (2)在中，求边上高的大小. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）在中利用正弦定理求出即可； （2）先在中利用余弦定理求出，再通过三角形面积公式求出边上的高. 【详解】（1）因为在中，已知，所以. 又因为，. 根据正弦定理可得，即. 解得. 又因为，， 由大边对大角可得，. （2）因为在中，，，. 根据余弦定理可得 . 所以. 设边上的高为，根据三角形的面积公式可得 ，即. 解得. 所以边上的高为. 19．在中，已知，试判断的形状. 【答案】是直角三角形. 【分析】由余弦定理化简得，得出或，由此即可判断三角形的形状. 【详解】已知， 由余弦定理， 得， 所以 得， 整理得，所以或， 即或符合勾股定理，所以是直角三角形. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第30卷，是知识点训练卷，主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第30卷 正弦定理和余弦定理的综合应用（2） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在中，已知a=7，b=5，c=3，则此三角形的最大内角是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在和中，，，，交于点D，下列结论中不正确的是（    ）    A．≌ B． C．∽ D． 3．在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 4．的外接圆的圆心为，，，，则（    ） A． B． C． D．3 5．在中，，则（    ） A．为直角 B．为钝角 C．为直角 D．为钝角 6．在中，内角的对边分别为，，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边比为1：2：3的三角形 8．在中，，，边上的中线，则面积S为（   ） A． B． C． D． 9．在平行四边形ABCD中，，，则该平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 10．在中，，且，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．在中，，点D在边BC上，，若的面积为，则AD的最大值为 . 12．的三内角为A，B，C，且方程有两个相等的实数根，若，则是 三角形. 13．赵爽是我国古代数学家､天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则三角形ABC的面积为 . 14．在中，已知，则的形状是 . 15．如图，在四边形ABCD中，已知 ，，，，，则 .   三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．在中，角的对边分别为，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 17．在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，判断的形状. 18．如图，在平面四边形中，，，，. (1)求的度数； (2)在中，求边上高的大小. 19．在中，已知，试判断的形状. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $