专题06 幂函数与二次函数（竞赛培优专项训练）高一数学人教A版2019全国通用

专题06 幂函数与二次函数 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 幂函数的定义及应用 4 考点二 幂函数的图象 5 考点三 幂函数的定义域与值域 8 考点四 幂函数的单调性与奇偶性 9 考点五 利用幂函数的性质比较大小或解不等式 11 考点六 幂函数性质的综合应用 14 考点七 二次函数的图象 17 考点八 二次函数的详解式 20 考点九 二次函数的单调性与最值 22 考点十 与二次函数有关的有解或恒成立问题 26 考点十一 二次函数的综合应用 28 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题15道） 【归纳重点知识】 知识点01 幂函数 1.幂函数的定义 一般地，函数y＝xα(α∈R)叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2.5个常见幂函数的图象与性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 　 在(0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 图象 过定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 知识点02 二次函数 1.二次函数详解式的三种形式 一般式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是 顶点式 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n) 零点式 f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝ 2.二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数，在[－，＋∞)上是增函数 在上是增函数，在[－，＋∞)上是减函数 【熟记重要结论（二级结论）】 1.一般幂函数的图象（拓展） 当时，y=x的图象是一条直线; 当时，（）的图象是一条不包含点(0,1)的直线; 当为其他值时，相应幂函数的图象如下表： 2．一般幂函数的性质 通过分析以上幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质: (1)所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1） (2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数. (3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． (4)任何幂函数图象与坐标轴或仅相交于原点，或都不相交，任何幂函数图象都不过第四象限； (5)任何两个幂函数图象最多有三个公共点．除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点． 3.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0. 4．二次函数图象与轴相交的弦长 当时，二次函数的图象与轴有两个交点和，. 5．二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则. 考点一 幂函数的定义及应用 1．已知函数，则“为幂函数”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由函数为幂函数， 得，解得或， 所以“为幂函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意有，可得，其定义域为R， 且，则函数为奇函数， 所以. 故选：A. 3.（多选）若函数是幂函数，则实数m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】是幂函数， 则，解得或. 故选：BC. 4．若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 【答案】16 【详解】因为点为第四象限的点，所以幂函数的图象不过点. 设幂函数，其图象经过点和， 所以，解得，所以. 所以. 5．已知幂函数的图象关于轴对称，则 . 【答案】 【详解】由题意有，即，解得或， 又的图象关于轴对称，所以，即. 考点二 幂函数的图象 6．下列命题中正确的是（    ） A．当时，函数的图象是一条直线； B．幂函数的图象都经过和点； C．幂函数的定义域为； D．幂函数的图象不可能出现在第四象限． 【答案】D 【详解】对于A，时，函数的图象是一条直线除去点，故错误； 对于B，幂函数的图象都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误； 对于C，函数，故定义域为，故错误； 对于D，由幂函数的性质，幂函数的图象一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确. 故选：D. 7．下列命题正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过、两点 B．当时，函数的图象是一条直线 C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点 【答案】D 【详解】对于A: 幂函数的图象都经过点，当时，不过点，故A不正确； 对于B：当时，幂函数的图象是一条直线，除去点，故B不正确； 对于C：当两个幂函数的图象有三个交点，如与有三个交点，这两个函数不相同，故C不正确； 对于D：因为幂函数的图象都经过点且为偶函数时，所以图象一定经过点，故D正确. 故选：D. 8．若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，． 当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则． 综上可知，． 故选择：D. 9．幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 10．已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减， 所以0， 因为函数的图象关于y轴对称， 所以函数为偶函数，即p为偶数， 又p、q互质，所以q为奇数， 所以选项D正确， 故选：D. 11．若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得交点的横坐标，比较大小可求. 【详解】当时，由，得；由，得；由，得. 因为，所以是关于的减函数. 又，所以，所以. 故选：A. 考点三 幂函数的定义域与值域 12．幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数详解式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 13．已知幂函数，则（    ） A． B．定义域为 C． D． 【答案】AC 【详解】为幂函数，，得，A对； 函数的定义域为，B错误； 由于在上为增函数，，C对； ，，D错误， 故选：AC. 14．函数的定义域为 . 【答案】 【详解】由，使得式子有意义，则，则定义域为. 15．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据已知条件列出约束式即可求解. 【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 16．一般地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”．若函数的“跟随区间”是，则 ． 【答案】 【详解】易知当或时，不满足题意； 当时，在上，函数随的增大而增大，故，，解得. 考点四 幂函数的单调性与奇偶性 17．已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为减函数 D．的值域为 【答案】D 【分析】根据图象过点求出函数详解式，再由详解式判断定义域、单调性、奇偶性、值域得解. 【详解】设， 由函数的图像经过点，则，解得， 所以，故函数的定义域为，故A错误； 由定义域关于原点对称及可知函数为偶函数，故B错误； 由在上无单调性，故C错误； 因为，故的值域为，故D正确. 故选：D 18．（2025·湖南·一模）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 【答案】A 【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解. 【详解】由题意可得. 故选：A 19．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质得到，则，其对称轴方程为，根据单调性得到不等式，求出答案. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以， 则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故选：A. 20．（多选）若幂函数在上是单调递增的，则（    ） A． B． C．在上是单调递增函数 D．是偶函数 【答案】AC 【详解】由题意得且，解得或（舍去）， 故， A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，在R上单调递增，故在上是单调递增函数，C正确； D选项，，故不是偶函数，D错误. 故选：C 21．(多选)已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象都经过点 B．若，则 C．若，则函数为偶函数 D．若函数的图象经过点，则函数在其定义域上单调递减 【答案】AB 【分析】利用幂函数图象性质判断A；求出函数详解式判断BCD.【详解】对于A， ，A正确； 对于B，当 时， ，则，B正确； 对于C，当 时， ，为奇函数，C错误； 对于D，若函数的图象经过点，则，函数在其定义域上单调递增 ，D错误. 故选：AB 22．已知函数是幂函数，且是奇函数，则 ． 【答案】 【详解】由题设，可得，则或， 当，则为奇函数，满足题设； 当，则为偶函数，不满足题设. 所以. 考点五 利用幂函数的性质比较大小或解不等式 23．幂函数在区间上单调递增，且，则的值（   ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【详解】由函数是幂函数，可得，解得或. 当时，；当时，. 因为函数在上是单调递增函数，故. 又，所以，所以，则. 故选：A. 24．若，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】①若且时，不等式成立，此时 ②若，此时不等式组的解为； ③若，不等式组无解， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A. 25．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 26．（多选）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，根据幂函数所过的点求出的详解式，设，，由幂函数的性质可判断与的单调性，由单调性比较大小得到正确答案即可. 【详解】因为是幂函数，可设， 因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得，所以，定义域为， 设，定义域为，因为， 所以由幂函数性质得在上单调递增， 若，则有，即，故A错误，B正确； 设，定义域为， 因为，所以由幂函数性质得在上单调递减， 若，则有，即，故C正确，D错误. 故选：BC 考点六 幂函数性质的综合应用 27．已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 【答案】B 【详解】对于①：由幂函数的定义可知，解得， 将点代入函数得，解得， 所以，故①错误； 对于②：因为定义域为R，且， 所以为奇函数，故②正确； 对于③：由幂函数的图象可知，在R上单调递增，故③正确； 对于④：因为，且在R上单调递增，所以，故④错误， 综上可知，②③正确，①④错误. 故选：B. 28．已知为幂函数． (1)求的详解式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题意得，解得，则． （2）由（1）知，，任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数． （3）①由（2）知，在上是减函数． 因为，则， 解得，所以实数的取值范围． ②因为恒成立，即恒成立，即恒成立， 令． 当且仅当，即时等号成立， 则，所以，则实数的取值范围是． 29．已知幂函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围； (3)设，求的最大值． 【详解】（1）由是幂函数，得，解得或． 当时，，当时，，不符合题意； 当时，，当时，，符合题意． ∴． （2），即， ∵函数在R上单调递增， ∴，解得． ∴a的取值范围为． （3），则，， ∵， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最大值为2． 30．已知幂函数满足． (1)求函数的详解式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数m的值； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为?若存在，求出实数n的取值范围，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）∵是幂函数，∴得，解得：或， 当时，，不满足， 当时，，满足， ∴故得，函数的详解式为； （2）由函数，即，令， ∵，∴，记，其对称轴在， ①当，即时，则， 解得：，此时满足，保留； ②当时，即， 则，解得：，此时不满足，舍去； ③当时，即时， 则，解得：，此时不满足，舍去； 综上所述，存在使得的最小值为0； （3）由函数在定义域内为单调递减函数， 若存在实数，使函数在上的值域为， 则， 由两式相减可得： ， 所以有，代入可得： ，令， 因为，， 即，， 所以，即，则， 而．故得实数的取值范围. 考点七 二次函数的图象 31．已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知图象可确定与的正负情况，进而判断根据幂函数单调性判断各选项正误. 【详解】因为二次函数的图象开口向上，所以，又对称轴在轴右侧，则，所以，则在第一象限，根据幂函数的单调性可得单调递增，单调递减． 故选：B. 32．如图是抛物线 图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点，直线与抛物线交于两点，下列结论： ①；② ； ③ 方程 有两个相等的实数根； ④抛物线与x轴的另一个交点是； ⑤当时，有 ；其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【详解】由抛物线的对称轴，得，故①正确； 因为抛物线开口向下，且与轴交于正半轴，所以， 又由，得，所以，故②错误； 由于抛物线的顶点坐标为，故与相切， 所以方程有两个相等的实数根，故③正确； 由于抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为， 故另一个交点为，故④错误； 观察图形可知在的图象中，抛物线在直线上方，故，故⑤正确. 故选：C 33．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】由图象可知二次函数图象开口向下，则， 图象与轴交点为，所以， 顶点在第一象限，对称轴，又，所以， 所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以，解得， 因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过， 由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，， 又，，，所以，即，④说法正确； 综上①②③④正确； 故选：D 34．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】根据题意，，因为二次函数过点，所以， 又顶点在第一象限，所以对称轴，则，即，故①正确； 二次函数图像过，所以，则， 又，，所以，则，故②正确； 由，所以，又，所以，故③正确； ，故④正确. 故选：D. 考点八 二次函数的详解式 35.已知二次函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意，都有，则＝ . 【答案】 【详解】因为对恒成立， 所以的图象关于对称. 又的图象在轴上截得的线段长为2， 所以的两根为或， 所以二次函数与轴的两交点坐标为和， 因此设. 又点在的图象上， 所以，则，故. 故答案为： 36.写出同时满足下列条件①②③的一个函数 ． ①是二次函数；②是奇函数；③在上是减函数． 【答案】 【详解】因为是二次函数，所以令，， 令， ，故满足条件②； 令在上是减函数，满足条件③， 故答案为： 37．已知函数（）的图象关于轴对称，且与直线相切，写出满足上述条件的一个函数 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】已知， ∵的图象关于y轴对称， ∴对称轴，∴， ∴， 联立，整理得，即， ∵的图象与直线相切， ∴，∴， 当时， . ∴满足条件的二次函数可以为． 38.已知二次函数f(x)满足f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的详解式是 ． 【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【详解】法一　(利用“一般式”解题) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得解得 ∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二　(利用“顶点式”解题) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). 因为f（2）＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为，所以m＝. 又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8， 所以y＝f(x)＝. 因为f（2）＝－1，所以，解得a＝－4， 所以f(x)＝＝－4x2＋4x＋7. 法三　(利用“零点式”解题) 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即. 解得a＝－4或a＝0(舍). 故所求函数的详解式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 故答案为：f(x)＝－4x2＋4x＋7. 考点九 二次函数的单调性与最值 39．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，令，即或， 根据二次函数性质知：在上递减，在上递增 又在定义域上递增，故的单调递增区间为. 故选：C 40．若函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令， 则或或或 解得或， 即实数m得取值范围为. 故选：C． 41．若函数的最大值为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】通过讨论，，确定函数单调性，确定最大值点，即可求解. 【详解】函数的对称轴为，图象开口向下. 当时，函数在区间是减函数， ，由，得. 当时，函数在区间是增函数，在上是减函数， . 由，计算出或， ， 两个值都不满足. 当时，函数在区间是增函数， ， .综上可知或. 故选：C. 42．已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，的奇偶性联立方程组得，则根据题意可得成立，构造，按的不同取值分类讨论在的单调性即可. 【详解】由题意可得， 因为是偶函数，是奇函数，所以， 联立，解得， 又对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造，则， 所以在上单调递增， ①若，则对称轴，解得； ②若，则在单调递增，满足题意； ③若，则对称轴恒成立； 综上，, 故选：D 43.已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由二次函数性质得，即，即，解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为二次函数的图象开口向上，对称轴直线方程为， 则原函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 由， 得，即， 两边平方后，再通过移项和平方差公式 化简得， 而， 所以， 得． 44．已知当时，函数的最大值为，则的值为 【答案】或 【分析】根据对称轴和区间中点的关系分类讨论，建立方程解出即可. 【详解】函数的对称轴为， 当，即时，， 解得或（舍）； 当，即时，， 解得或（舍）， 综上知，的值为2或-1. 故答案为：或. 45．已知函数，其中. (1)若在区间上具有单调性，求的取值范围； (2)当时，函数的最大值为，求实数的值. 【详解】（1）因为二次函数的图象开口向下，对称轴为，且在上具有单调性， 所以，当在上单调递减时，；当在上单调递增时，. 所以，实数的取值范围是． （2）二次函数的图象开口向下，对称轴为， ①当时，在单调递减，此时， 因为当时，函数的最大值为，即， 解得或，所以； ②当时，在单调递增，在单调递减， 此时，无解，所以不存在 ③当时，在单调递增， 此时， 因为当时，函数的最大值为， 所以，解得或，所以 综上所述，或. 46．已知幂函数满足． (1)求函数的详解式； (2)若函数，且的最小值为0，求实数的值． 【详解】（1）由函数为幂函数，可得，即，解得， 因为，可得，即，所以， 所以函数的详解式为. （2）解：由（1）可得， 令，因为，可得，则， 当时，即时，此时在区间上单调递增， 所以，解得； 当时，即时，在上单调递减，在单调递增， 所以，解得（舍去）； 当时，即时，此时在区间上单调递减， 所以，解得（舍去）， 综上可得，实数的值为. 考点十 与二次函数有关的有解或恒成立问题 47.已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【详解】由题意知2ax2＋2x－3＜0在[－1，1]上恒成立. 当x＝0时，－3＜0，符合题意，a∈R； 当x≠0时，a＜－， 因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 所以当x＝1时，不等号右边式子取最小值，所以a＜. 综上，实数a的取值范围是. 48．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)＞f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是________. 【答案】(－∞，－) 【详解】由题意知f(x)在R上是增函数， 结合f(－4t)＞f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立， 知－4t＞2m＋mt2对任意实数t恒成立， ∴mt2＋4t＋2m＜0对任意实数t恒成立， ∴∴m∈(－∞，－). 49．已知二次函数． (1)若且在上的最大值为，求函数的详解式； (2)若对任意的实数，都存在实数使得不等式成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）若，则， 当时，， 故，解得：， 故． （2）当时，对于任意实数，取，则，满足题意； 当时，取，当时，所以， 当时，所以， 所以任意均有成立，此时不存在使成立． 故不满足题意. 综上，的取值范围是． 50．已知函数，． (1)求的单调区间； (2)若存在实数，使得对于，，有，求最大正实数． 【分析】（1）由函数化简得，再由双勾函数的性质可得函数的单调区间； （2）根据，，有，可得函数的值域包含得值域，由此转化为恒成立性问题求解. 【详解】（1），由双勾函数的性质可知， 的单调递增区间为和， 单调递减区间为和． （2）由（1）可知，在上递增，在上递减， 因为，，， 所以在上的值域为， 设在上的值域为，则． 记集合，则． 令，可得．又 ， 当时，解得，从而，所以； 当时，的两根，满足， 所以的解集为， 从而，所以． 综上所述，正实数的最大值为1． 考点十一 二次函数的综合应用 51．如图，已知抛物线上点A，C的坐标分别为，抛物线与x轴负半轴交于点B，连接AC，AB，点Q为抛物线上的点. (1)求抛物线的详解式及点B的坐标. (2)抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，求出Q的横坐标；若不存在，请说明理由. (3)点M为y轴负半轴上的点，且，点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N.若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，请求出点Q的坐标. 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的详解式，然后令y=0，求得的值，即可确定点B的坐标； （2）取BC的中点E，可确定；如图：过点E作AB的平行线PE，与抛物线的交点即为点Q、然后运用待定系数法分别求得直线AB的表达式为，直线EQ的表达式为，然后将直线EO的表达式与抛物线联立即可解得； （3）先说明，即点N与点O不是对应点，然后分和两种情况分别运用相似三角形的性质及正切函数即可解答. 【详解】（1）∵抛物线过点， ∴，解得，∴抛物线的详解式为. 令，得，解得，∴. （2）如图：取BC的中点E，则，∴. 如图：过点E作AB的平行线PE，由， 故PE与抛物线的交点即为点Q.∴ 设直线AB的表达式为，将代入，得. 将代入，得，解得：， ∴直线AB的表达式为. 设直线EQ的表达式为，将代入，得. ∴直线EQ的表达式为. 由，得，∴点Q的横坐标为 （3）∵，以点Q，N，C为顶点的三角形与相似        ∴以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形. ∵轴，直线QD交直线CM于点N，∴，即点N与点O不是对应点. ①如图：当时，点B与点Q重合，则点Q的坐标即点B的坐标， ∴点Q的坐标为. ②如图：当时，设点Q的横坐标为q，则， ∴，而， ∵， ∴. ∴. 解得（舍去），∴点Q的坐标为. 综上，点Q的坐标是或. 52．定义：对于关于的函数，函数在范围内的最大值，记作.如函数，在范围内，该函数的最大值是，即.请根据以上信息，完成以下问题：已知函数（为常数）. (1)若. ①直接写出该函数的表达式，并求的值； ②已知，求的值. (2)若该函数的图象经过点，且，求的值. 【分析】（1）①当时，可得出，分析二次函数在的增减性，即可求出的值； ②对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的增减性，结合可求得实数的值； （2）根据已知条件求出的值，然后对实数的取值进行分类讨论，并对的取值进行分类讨论，分析函数在时的增减性，结合可求得实数的值. 【详解】（1）①若，则， 当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大. 当时，；当时，，故； ②若，且当时，随着的增大而减大， 此时，不合乎题意； 若，且时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大. 若，则，不合乎题意， 若，则，因为，解得，合乎题意； 综上所述，. （2）因为函数（为常数），则，解得. 若，则，当时，，则，合乎题意； 若，则， 若，且当时，随着的增大而增大， 此时，即，因为，解得； 若，且当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小，此时，合乎题意； 综上所述，当时，或；当时，. 53．已知二次函数的图象经过原点，且的图象关于直线对称，函数的图象与轴有且只有一个交点． (1)求的详解式； (2)已知：函数． ①如果对恒成立，求实数的最大值． ②讨论的图象的交点个数． 【详解】（1）设， 因为二次函数的图象经过原点，所以， 因为的图象关于直线对称，所以是偶函数， 所以， 即， 所以， 由题意得：方程有两个相等的实数根， 所以， 解得（舍去）， 所以： （2）①由（1）得． 因为对恒成立．即, 由于，当且仅当时，即时取等号， 则要使得, 所以即． 所以的最大值为1． ②由（1）得， 令， 则， 即， 即， 令， 则， 故所求转化为方程在实根的个数， 令，， ①当，即时， 若，则，故， 所以时，方程无实根； 若，则，故， 所以时，方程有1个实根； ②当，即或时， 因为，且，， 所以当或时，方程有1个实根； ③当，即时， 若，即时，方程有两个不相等的实根， 若，即时，方程无正实根， 若，即时，方程有1个实根， 若，即时，方程无正实根， 若，即时，方程无实根， 综上所述，当时，函数的图象没有公共点； 当时，函数的图象有1个公共点； 当时，函数的图象有2个公共点. 1．（2024·山东高密冬季竞赛）设，则使的定义域为R且为奇函数的值有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】当时定义域为且为偶函数，不符合题意； 当时定义域为且为奇函数，不符合题意； 当时定义域为且为奇函数，符合题意； 当时定义域为且为非奇非偶函数，不符合题意； 当时定义域为且为奇函数，符合题意； 当时定义域为且为奇函数，符合题意； 故符合题意的有、、共个. 故选：B 2．（第十四届全国“枫叶新希望杯”高二竞赛）已知函数既是二次函数又是幂函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称.若直线与函数的图象和函数的图象的交点分别为，，则当达到最小时，的值为（    ）. A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数图象，把表示为关于的函数，利用导数求达到最小时的值. 【详解】函数既是二次函数又是幂函数，则， 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则， 结合图象得，. 由，且，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值. 故选：B 3．（多选）（2023·安徽高一上竞赛）若点在幂函数的图象上，则以下关于函数的说法中正确的是（    ） A．的定义域是 B．的值域是 C．是增函数 D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，结合幂函数定义求出，进而求出的详解式，再逐项求解判断即可. 【详解】由为幂函数，得，解得， 由点在的图象上，得，解得，于是， 由，解得，的定义域是，A错误； 函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数是增函数，C正确； 当时，，即，的值域为，B正确； 由，得，即，D正确. 故选：BCD 4．（多选）（2024·湖南邵阳竞赛（初赛））已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图象如图所示，则下列选项正确的有（    ） A． B．当时，函数的最大值为 C．关于的不等式的解为或 D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 【答案】ACD 【详解】A选项，二次函数图象开口向上，故， 对称轴为，故， 图象与轴交点在轴正半轴，故， 所以，故，A正确； B选项，因为，故， 因为，所以， 当时，随着的增大而减小， 所以时，取得最大值，最大值为，B错误； C选项，因为，所以， ， 故不等式变形为， 因为，，解得：或，故C正确； D选项，，当时，取得最小值，最小值为， ，当时，取得最小值，最小值为， 所以，即，所以， 即，故D正确. 故选：ACD 5．（2024·四川宜宾高一竞赛（初赛））若区间满足： ①函数f(x)在[a，b]上有定义且单调； ②函数f(x)在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f(x)的共鸣区间． 请完成：（1）写出函数的一个共鸣区间 ； （2）若函数存在共鸣区间，则实数k的取值范围是 ． 【答案】或或（填一个即可）， 【详解】空1：设是区间上的共鸣区间，因为在上递增，且在上的值域也为， 所以，即，因为，所以或或， 函数的共鸣区间为或或. 空2：因为函数在上单调递增，若存在共鸣区间，则，即，也就是方程在上有两个不等的实根， 令，得， 所以在上有两个不等的实根， 令， 则，即，解得， 故实数k的取值范围是 6．（2024·南京大学强基计划）已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题目得到，从而，故，换元后得到结合基本不等式求出最值. 【详解】恒成立， ， ，， ， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 7．（2023·浙江丽水竞赛）的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】结合得，令，则，由三角形三边关系两边平方整理得， 即有，解出的范围即可求出的值域 【详解】，令，则，又， ∴，可解得， 即，故，∴. 8．（2023·安徽高一竞赛）已知函数，则的值域为 . 【答案】 【分析】换元后，转化为二次函数问题，求出值域. 【详解】令，则，， ， 当时，取的最小值，最小值为， 则的值域为. 9．（2023·安徽高二竞赛）已知命题：对任意的正数，有，命题：不存在实数，使．若命题都为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据命题的真假，结合一元二次不等式恒成立与二次函数的性质分别解命题p和q，即可求解. 【详解】当命题为真命题时，对任意的正数命题为假命题时，； 当命题为假命题时，存在实数，使，， 故命题都为假命题时，实数的取值范围是． 10．（2023·江苏南京竞赛），当时，，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】把详解式化成交点式, 求得交点为 ， 然后根据题意得出关于 的不等式，解不等式从而得出 的取值范围. 【详解】， 抛物线与 轴的交点为 ， ，当 时，， ，解得 . 11．（2024·浙江温州摇篮杯竞赛）已知函数为幂函数，且在上单调递增. (1)求的值，并写出的详解式； (2)解关于的不等式 ，其中. 【详解】（1）因为为幂函数，且在上单调递增， 则，解得，所以； （2）不等式0，即 当，，即不等式解集为， 当，或，即不等式解集为， 当，或，即不等式解集为. 所以，当，不等式解集为， 当，不等式解集为， 当，不等式解集为. 12．（2023·安徽芜湖一中高一竞赛）已知如图在Rt△OAB中，.若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处.    (1)求点C的坐标； (2)若抛物线经过C、A两点，求此抛物线的详解式； (3)若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M.问：是否存在点P，使得？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）先求出OA的长度，根据折叠的性质求出OC，直接求解坐标即可； （2）将点A和C的坐标代入抛物线的详解式中，联立方程组求解即可； （3）先表示点P的坐标，从而表示点M坐标，利用建立方程求解，即可得到点P的坐标. 【详解】（1）如图：    过点C作轴，垂足为H，因为在Rt△OAB中，，， 所以，由折叠知，，所以， 则，，所以C点坐标为； （2）因为抛物线经过、两点， 所以，解得， 所以此抛物线的详解式为； （3）存在.因为x的顶点坐标为，即为点C， 由题意轴，设垂足为N，，因为，所以， 所以，如图：    作，垂足为Q，，垂足为E， 把代入得：， 所以， 同理：，要使，只需， 即，解得：（舍去）， 所以P点坐标为， 所以存在满足条件的点P，使，此时P点的坐标为. 13．（2024·湖南邵阳竞赛）已知函数，． (1)若在上的值域为，求的值； (2)若关于的不等式只有一个正整数解，求的取值范围． 【分析】（1）二次函数的对称轴，讨论， ，，分析二次函数的单调性，最值，建立方程组，求解即可； （2）将问题等价于只有一个正整数解，令，利用基本不等式求得最小值，并得出取等号的条件，由此可得答案. 【详解】（1）解：因为函数，，对称轴，且，，， 当时，函数在上单调递增，所以 ，即，此时无解； 当时，函数在上单调递减，所以 ，即，解得； 当，即时，函数在取得最小值，所以，即，方程在上无解， 综上得：； （2）解：关于的不等式只有一个正整数解，等价于只有一个正整数解， 令，则，当且仅当，即， 在上递减，在递增， 而，，，，，当不等式只有一个正整数解， 所以的取值范围为． 14．（2024·湖南邵阳竞赛）若二次函数满足，且. (1)求的详解式； (2)求函数在区间上的最大值； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）设二次函数详解式，根据已知，应用待定系数法求详解式即可； （2）由（1）得，结合其图象，讨论、、求对应最大值表达式； （3）讨论、、，对于、分别转化为、恒成立，求参数范围即可. 【详解】（1）设，因为，所以. 因为，所以，即. 因为，所以， 得对任意恒成立，所以. 由，得，所以. （2）由题知， 由的图象知，当时，由可得. ①当时，； ②当时，； ③当时，. 综上， （3）由题意得对任意恒成立， ①当时，成立，此时； ②当时，恒成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，即； ③当时，恒成立，， 又，当且仅当，即时等号成立， ，即. 综上，实数的取值范围为. 15．（2023·安徽高二竞赛）已知函数，且对一切，都有． (1)将分别表示成关于的函数，并求出的取值范围； (2)对于给定的，求在区间上的最小值． 【分析】（1）将原不等式变形为，利用特殊值可得，从而令，结合不等式恒成立推出，即可得的表达式，进而结合不等式恒成立，求得a的取值范围. （2）分类讨论当时，，结合一次函数单调性可得答案；当时，确定二次函数图象的对称轴表达式，再结合讨论k的取值范围，判断对称轴和区间的位置关系，即可求得答案. 【详解】（1）原不等式可化为, 取，则有， 令， 因此有． 当时，由上式知恒有， ，且． 同理，当时，也有， ． 由题意得，， ①②两式恒成立，． （2）当时，，此时在上的最小值为； 当时，图象的对称轴方程为， 此时． 记的最小值为，当时，得⑤， 故当时，⑤成立，此时． 当时，⑥． 注意到：， 当时，⑥成立，此时． 当时：当时，，此时． 当时，，此时． 综上，在区间上的最小值如下： 当时，； 当时，． 22．已知二次函数（）的图象过点，记函数在上的最大值为，若，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】利用二次函数的图象，开口向上，可知最大值一定在端点处取到，再结合不等式的加法性质即可求得的最大值. 【详解】因为过点，所以， 所以，即． 因为是开口向上的抛物线，所以． 由得，两式相加得，解得， 当时，有，满足题意， 即的最大值为1． 故答案为：1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 幂函数与二次函数 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 幂函数的定义及应用 4 考点二 幂函数的图象 4 考点三 幂函数的定义域与值域 6 考点四 幂函数的单调性与奇偶性 6 考点五 利用幂函数的性质比较大小或解不等式 7 考点六 幂函数性质的综合应用 8 考点七 二次函数的图象 9 考点八 二次函数的详解式 10 考点九 二次函数的单调性与最值 11 考点十 与二次函数有关的有解或恒成立问题 12 考点十一 二次函数的综合应用 13 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题15道） 【归纳重点知识】 知识点01 幂函数 1.幂函数的定义 一般地，函数y＝xα(α∈R)叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2.5个常见幂函数的图象与性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 　 在(0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 图象 过定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 知识点02 二次函数 1.二次函数详解式的三种形式 一般式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是 顶点式 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n) 零点式 f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝ 2.二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数，在[－，＋∞)上是增函数 在上是增函数，在[－，＋∞)上是减函数 【熟记重要结论（二级结论）】 1.一般幂函数的图象（拓展） 当时，y=x的图象是一条直线; 当时，（）的图象是一条不包含点(0,1)的直线; 当为其他值时，相应幂函数的图象如下表： 2．一般幂函数的性质 通过分析以上幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质: (1)所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1） (2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数. (3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． (4)任何幂函数图象与坐标轴或仅相交于原点，或都不相交，任何幂函数图象都不过第四象限； (5)任何两个幂函数图象最多有三个公共点．除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点． 3.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0. 4．二次函数图象与轴相交的弦长 当时，二次函数的图象与轴有两个交点和，. 5．二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则. 考点一 幂函数的定义及应用 1．已知函数，则“为幂函数”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 3.（多选）若函数是幂函数，则实数m的值可能是（    ） A． B． C． D． 4．若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 5．已知幂函数的图象关于轴对称，则 . 考点二 幂函数的图象 6．下列命题中正确的是（    ） A．当时，函数的图象是一条直线； B．幂函数的图象都经过和点； C．幂函数的定义域为； D．幂函数的图象不可能出现在第四象限． 7．下列命题正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过、两点 B．当时，函数的图象是一条直线 C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点 8．若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 9．幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 10．已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 11．若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 考点三 幂函数的定义域与值域 12．幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 13．（多选）已知幂函数，则（    ） A． B．定义域为 C． D． 14．函数的定义域为 . 15．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 16．一般地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”．若函数的“跟随区间”是，则 ． 考点四 幂函数的单调性与奇偶性 17．已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为减函数 D．的值域为 18．已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 19．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（多选）若幂函数在上是单调递增的，则（    ） A． B． C．在上是单调递增函数 D．是偶函数 21．(多选)已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象都经过点 B．若，则 C．若，则函数为偶函数 D．若函数的图象经过点，则函数在其定义域上单调递减 22．已知函数是幂函数，且是奇函数，则 ． 考点五 利用幂函数的性质比较大小或解不等式 23．幂函数在区间上单调递增，且，则的值（   ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 24．若，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 25．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（多选）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 考点六 幂函数性质的综合应用 27．已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 28．已知为幂函数． (1)求的详解式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 29．已知幂函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围； (3)设，求的最大值． 30．已知幂函数满足． (1)求函数的详解式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数m的值； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为?若存在，求出实数n的取值范围，若不存在，请说明理由． 考点七 二次函数的图象 31．已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A． B． C． D． 32．如图是抛物线 图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点，直线与抛物线交于两点，下列结论： ①；② ； ③ 方程 有两个相等的实数根； ④抛物线与x轴的另一个交点是； ⑤当时，有 ；其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 33．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 34．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 考点八 二次函数的详解式 35.已知二次函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意，都有，则＝ . 36.写出同时满足下列条件①②③的一个函数 ． ①是二次函数；②是奇函数；③在上是减函数． 37．已知函数（）的图象关于轴对称，且与直线相切，写出满足上述条件的一个函数 ． 38.已知二次函数f(x)满足f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的详解式是 ． 考点九 二次函数的单调性与最值 39．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 40．若函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 41．若函数的最大值为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 42．已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43.已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 44．已知当时，函数的最大值为，则的值为 45．已知函数，其中. (1)若在区间上具有单调性，求的取值范围； (2)当时，函数的最大值为，求实数的值. 46．已知幂函数满足． (1)求函数的详解式； (2)若函数，且的最小值为0，求实数的值． 考点十 与二次函数有关的有解或恒成立问题 47.已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________. 48．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)＞f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是________. 49．已知二次函数． (1)若且在上的最大值为，求函数的详解式； (2)若对任意的实数，都存在实数使得不等式成立，求实数的取值范围． 50．已知函数，． (1)求的单调区间； (2)若存在实数，使得对于，，有，求最大正实数． 考点十一 二次函数的综合应用 51．如图，已知抛物线上点A，C的坐标分别为，抛物线与x轴负半轴交于点B，连接AC，AB，点Q为抛物线上的点. (1)求抛物线的详解式及点B的坐标. (2)抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，求出Q的横坐标；若不存在，请说明理由. (3)点M为y轴负半轴上的点，且，点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N.若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，请求出点Q的坐标. 52．定义：对于关于的函数，函数在范围内的最大值，记作.如函数，在范围内，该函数的最大值是，即.请根据以上信息，完成以下问题：已知函数（为常数）. (1)若. ①直接写出该函数的表达式，并求的值； ②已知，求的值. (2)若该函数的图象经过点，且，求的值. 【分析】（1）①当时，可得出，分析二次函数在的增减性，即可求出的值； ②对实数的取值进行分类讨 53．已知二次函数的图象经过原点，且的图象关于直线对称，函数的图象与轴有且只有一个交点． (1)求的详解式； (2)已知：函数． ①如果对恒成立，求实数的最大值． ②讨论的图象的交点个数． 1．（2024·山东高密冬季竞赛）设，则使的定义域为R且为奇函数的值有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（第十四届全国“枫叶新希望杯”高二竞赛）已知函数既是二次函数又是幂函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称.若直线与函数的图象和函数的图象的交点分别为，，则当达到最小时，的值为（    ）. A．1 B． C． D． 3．（多选）（2023·安徽高一上竞赛）若点在幂函数的图象上，则以下关于函数的说法中正确的是（    ） A．的定义域是 B．的值域是 C．是增函数 D． 4．（多选）（2024·湖南邵阳竞赛（初赛））已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图象如图所示，则下列选项正确的有（    ） A． B．当时，函数的最大值为 C．关于的不等式的解为或 D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 5．（2024·四川宜宾高一竞赛（初赛））若区间满足： ①函数f(x)在[a，b]上有定义且单调； ②函数f(x)在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f(x)的共鸣区间． 请完成：（1）写出函数的一个共鸣区间 ； （2）若函数存在共鸣区间，则实数k的取值范围是 ． 6．（2024·南京大学强基计划）已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 . 7．（2023·浙江丽水竞赛）的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围为 . 8．（2023·安徽高一竞赛）已知函数，则的值域为 . 9．（2023·安徽高二竞赛）已知命题：对任意的正数，有，命题：不存在实数，使．若命题都为假命题，则实数的取值范围是 ． 10．（2023·江苏南京竞赛），当时，，求的取值范围 ． 11．（2024·浙江温州摇篮杯竞赛）已知函数为幂函数，且在上单调递增. (1)求的值，并写出的详解式； (2)解关于的不等式 ，其中. 12．（2023·安徽芜湖一中高一竞赛）已知如图在Rt△OAB中，.若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处.    (1)求点C的坐标； (2)若抛物线经过C、A两点，求此抛物线的详解式； (3)若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M.问：是否存在点P，使得？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由. 13．（2024·湖南邵阳竞赛）已知函数，． (1)若在上的值域为，求的值； (2)若关于的不等式只有一个正整数解，求的取值范围． 14．（2024·湖南邵阳竞赛）若二次函数满足，且. (1)求的详解式； (2)求函数在区间上的最大值； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 15．（2023·安徽高二竞赛）已知函数，且对一切，都有． (1)将分别表示成关于的函数，并求出的取值范围； (2)对于给定的，求在区间上的最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $