第3章 专题特训五 数形结合之实数在数轴上的表示&整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（浙教版2024）

第3章实数 专题特训五数形结合之实数在数轴上的表示，“答案与解析”见17 类型一实数在数轴上的表示 类型二利用数轴进行实数的比较与运算 1.如图，在数轴上，表示√23的点可能是( 3.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所 示，下列结论中，错误的是 () 5 (第1题) b 432101234 A.P B.Q (第3题) C.M D.N A.b>-5 B.Ib|>√5 2.如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点 C.a-b>0 D.ab<0 Q与数轴上的原点重合 4.实数a,b,c,d在数轴上的对应点 (1)若把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到 位置如图所示，则下列结论中，正 达数轴上点A的位置，则点A表示的数是 的是 ( 号4g2101281可 b 4 (2)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正 (第4题) 数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数， A.c>1 B.a<b 依次滚动情况记录如下（单位：周）：十2，一1， C.c<d D.√J-a<√d -5,+4,+3,-2. 5.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个 ①第几次滚动后，点Q距离原点最近？第几 单位长度到达点B,点A表示的数为一√2， 次滚动后，点Q距离原点最远？ 设点B表示的数为m.求： ②当圆片结束滚动时，点Q滚动的路程是多 (1)m的值， 少？此时点Q表示的数是多少？ (2)m-3+m+2的值 0 -4-3-2 234 B (第5题) (第2题) 51 拔尖特训·数学（浙教版）七年级上 第3章整合拔尖 感知识体系构建 定义一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫作a的平方根 平方根 个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数：零的平方根是零：负数没有平方根 算术平方根的概念，正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0 从有理数到 无理数的概念无限不循环小数叫作无理数 实数 有理数（正有理数、零、负有理数）和无理数（正无理数、负无理数）统称为 实 实数的概念实数 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大 定义一般地，一个数的立方等于a,这个数就叫作a的立方根 {立方根 个正数有一个正的立方根：一个负数有一个负的立方根：零的立方根是零 运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减若遇到括号，则先进行括号里的运算 实数的运算 用计算器进行实数的运算 91高频考点突破 考点一 平方根与算术平方根的计算 考点三 实数及其分类 典例1√⑧1的平方根是 ( 典例3选择合适的数填在相应的横线上： A.9 B.±9 C.3 D.±3 提示 -5√2,5,3.14,0，-1.232323332.（相邻 先根据算术平方根的意义求出√8I的值，然后 两个“2”之间依次多一个“3”)，25. 求出该值的平方根。 有理数： [变式]√(-13)的算术平方根是 无理数： 考点三⊙立方根的计算 正实数： 典例2下列结论中，正确的是 负实数： A.64的立方根是士4 变式]把下列各数分别填在相应的横线上： B一日没有立方根 15.0.-8,-31,只.0. .若a=a,则a=1 3-0.064. D.-125=-125 正实数： [变式]如图所示为一个简单的数值运算程序，当 分数： 输入x的值是一216时，输出y的值是 负实数： 输入x 开立方 →减-1输出y 无理数： 52 第3章实数 考点四无理数的估算 [变式]计算： 典例4(2024·绍兴柯桥期中)在量子物理的 )(-2×8-×-日 研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量. 已知某微观粒子的能量E可以用公式E= √a2十b表示.当a=2,b=9时，该微观粒子的能 量E的值在 A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间 一提示一 先计算出当a=2,b=9时，√a2十b的值，再估 (2)√5+5一5.022（结果精确到0.01）. 算出E的值的大小 [变式]已知a,b是两个连续整数，且a<一l6< b,则2a一3b= 考点五实数与数轴的关系 典例5如图，数轴上A,B两点表示的数分别 为2,5.1，则A,B两点之间表示整数的点共有 个 考点七运用数的开方解决生活中的实际问题 A B 0√2 5.1 典例7把一个长12cm、宽9cm、高2cm的长 (典例5图)》 方体铁块加工成一个正方体铁块后，其表面积有 [变式](2024·绍兴越城期末)如图，实数√2+1 何变化？试通过计算说明（假设加工过程中无任 在数轴上的对应点可能是 何损耗). -4-3-2-101234 考点六与实数有关的运算 典例6计算： (1)-3×2+√(-4)2+-64」 (2)4×,3-号×2（结果精确到0.01）. [变式]将一个底面半径为10cm的圆柱体容器 里的药液倒入一个底面是正方形的长方体容器 内，如果药液在两个容器里的高度一样，那么长 方体容器的底面边长是 (结果精确到 0.1cm). 53 拔尖特训·数学（浙教版）七年级上 综合素能提升 1.(2024·会华义乌期末)在实数，3.14,7， 7.若a2=16,一b=-2,则a十b的值是 8.在数轴上标出下列各数，并把它们用“<”连接 -0.88,/10,1.6262262226…(相邻两个“6” 之间依次增加一个“2”)中，无理数有（ 起来-(-.--210月.(1y.. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.下列各组数中，互为相反数的是 A.3和√（一3） B.|一√/1I|和一（一√I) C.--125和-√25 山-2和码 3.若a=7,b=√5，c=2,则a,b,c的大小关 系为 () A.b<c<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 4.如图，数轴上的点A,B,O,C,D分别表示 数-2，-1,0,1,2，则表示数2-√5的点P应 落在 ( 10.国际比赛的足球场的长在100m和110m A B O C D -2-1012 之间，宽在64m和75m之间.为了举办某 (第4题) 次运动会，某地建造了一个长方形足球场， A.线段AB上 B.线段BO上 其长是宽的1.5倍，面积是7560m.请你 C.线段OC上 D.线段CD上 判断这个足球场能否用来举办国际比赛，并 5.在小于1000的非零自然数中，算术 说明理由. 平方根与立方根都不是整数的有 () A.959个B.960个C.962个D.963个 6.被开方数a的小数点位置的移动和它的算术 平方根a的小数点位置的移动符合一定的 规律（如下表）. a…0.0000010.011100100001000000… √a…0.0010.1110 100 1000… 若√a=180,且3.24=1.8，则被开方数a 的值为 54专题特训五数形结合之 实数在数轴上的表示 1.C解析：因为√6<√23< w√25，所以4<√23<5.所以在数轴 上，表示J23的点可能是M. 2.(1)-2π. (2)①根据题意，得圆片第1次向右 滚动了2周，点Q距离原点2×(2π× 1)=4π， 第2次向左滚动了1周，点Q距离原 点2-1×(2π×1)=2π， 第3次向左滚动了5周，点Q距离原 点2-1-5|×(2π×1)=8π， 第4次向右滚动了4周，点Q距离原 点2-1一5+4×(2π×1)=0， 第5次向右滚动了3周，点Q距离原 点2-1-5+4+3×(2π×1)=6π， 第6次向左滚动了2周，点Q距离原 点|2一1一5+4+3一2×(2π× 1)=2π， 所以第4次滚动后，点Q距离原点最 近，第3次滚动后，点Q距离原点 最远 ②因为|+2|+1一1|+|一5|+ +4++3+-2=17, 所以点Q一共滚动了17周： 所以点Q滚动的路程是17×(2π× 1)=34元. 因为(+2)+(-1)+(-5)+(+4)+ (+3)+(-2)=1, 所以当圆片结束滚动时，相当于向右 滚动了1周，此时点Q表示的数是 1×2π=2π. 3.B解析：观察数轴可知一2< b<-1,2<a<3,所以|b|<2,a b>0,ab<0.所以选项C,D正确.又 因为-5<-2，√5>2，所以b> -√5，b|<√5.所以选项A正确，选 项B错误 4.C解析：因为0<c<1,所以0< √<1.故A错误.因为-5<a< -4,-3<b<-2,所以-8<a< -1.所以-2<a<-1.所以a> b.故B错误.因为0<c<1,d=4,所 以√a=2.所以c<√石.故C正确.因 为4<-a<5,所以√一a>2=√a. 故D错误. 5.(1)因为蚂蚁从点A沿数轴向右 爬行2个单位长度到达点B, 所以点B表示的数比点A表示的数 大2. 因为点A表示的数为一√2，点B表 示的数为m, 所以m=一√2+2. (2)1m-3|+m+2=|-√2+2 3-√2+2+2=1+√2-√2+4=5. 第3章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1D解析：因为√8T=9,9的 平方根是士3，所以√8I的平方根是 ±3 [变式]√3解析：√(-13)7= 13,13的算术平方根是√13. 典例2D解析：A项，正数的立方 根只有一个，64的立方根是4，故A 不符合题意：B项，负数也有立方根， 故B不符合题意：C项，a也可以为0， 故C不符合题意：D项，一125= 一125，故D符合题意. [变式]-5解析：把x=-216代 入，得y=-216-(-1)=-6+ 1=-5. 典例3-5,3.14,0√，， 一1.2323323332…（相邻两个“2”之 间依次多-个“3)，2西，受， 3.14,925 -5,-1.2323323332… (相邻两个“2”之间依次多一个“3”) [变式]16，至，，与 151 -314,5,-08 -5,-3.14, -35,9-0.064 年，，-河 典例4A解析：当a=2,b=9时， 17 E=√a+b=√22+9=√13.因为 √<√3<√16，所以3<√13<4， 即该微观粒子的能量E的值在3和 4之间. [变式]0解析：因为一27< -16<-8,所以-3<-16<-2. 因为a,b是两个连续整数，a< 3一16<b,所以a=-3,b=-2.所以 2a-3b=2×(-3)-3×(-2)= 一6+6=0. 典例54解析：因为1<2<4，所以 1√2<2.所以A,B两，点表示的数 之间的整数有2,3,4,5，共4个. [变式]D解析：因为√1√2< √4，所以1<2<2.所以2<2+1< 3.观察数轴上的点可知，实数√2十 1在数轴上的对应点可能是D. 典例6(1)原式=一9×2+4 4=-18. 1 (2)原式≈4×1.732-2×1.260= 6.928-0.630≈6.30. 变式)原式=(-8)×8-3 (3)=(-1)--0=-1+ 1=0. (2)原式≈2.236+1.710 5.022=-1.076≈-1.08. 典例7由题意可知，加工成的正方体 铁块的体积为12×9×2=216(cm3), 所以正方体铁块的棱长为216= 6(cm). 因为6×62=216(cm2), 所以加工后的正方体铁块的表面积为 216cm2. 又因为(12×9+9×2+12×2)×2= 300(cm), 所以原长方体铁块的表面积为 300cm2. 因为216<300 所以加工成一个正方体铁块后，其表 面积变小了. [变式]17.7cm解析：由题意可 知，长方体容器的底面积与圆柱体容 器的底面积相等，为π×102= 100π(cm2),所以长方体容器的底面 边长是√/100π≈17.7(cm). [综合素能提升] 1.B 2.C解析：√(-3)=√9=3,3和 √（一3）相等，不互为相反数，故A 不符合题意.因为一11|=√1 一（一√I)=√I,所以一√I|和 一（一√们）相等，不互为相反数.故B 不符合题意.因为一一125= -(-5)=5,-√25=-5，所以 一3一125和一√25互为相反数.故 C符合题意.一2和2不互为相反数， 故D不符合题意 3.C解析：因为<7<8，所以 1<7<2,即1<a<2.又因为2< √53，所以2<b<3.所以a<c<b. 4.B解析：因为2<√5<3，所以 -1<2-√5<0.所以表示数2-5的 点P应落在线段BO上 5.C解析：因为312=961,322= 1024,所以31<1000<32.所以在 小于1000的非零自然数中，算术平 方根是整数的有12,22，…，312，共 31个数.因为93=729,103=1000，所 以93<1000=103.所以在小于 1000的非零自然数中，立方根是整数 的有13,23，…，93，共9个数.因为 36=729,46=4096,所以36<1000< 4.所以在小于1000的非零自然数 中，算术平方根与立方根都是整数的 有16,2,3，共3个数.所以在小于 1000的非零自然数中，算术平方根与 立方根都不是整数的有999一(31+ 9-3)=962(个). 6.32400解析：观察题表可以发现： 如果被开方数的小数点向左或向右移 动2位，那么它的算术平方根的小数 点就相应地向左或向右移动1位.因 为a=180,且√3.24=1.8，所以 √/32400=180.所以a=32400. 7.12或4解析：因为a2=16, 一b=-2,所以a=±√16= ±4，-b=(-2)3=-8.所以a= ±4，b=8.所以a+b=4+8=12或 a+b=-4+8=4. 8.-(-3)=3,--2=-2, √F=2(-=1.=4 在数轴上表示各数如图所示 1 所以-64<-|-21<0<√ (-1)2<-(-3). 1 -64十20(-1)2-(-3) -4-3-2-10123 (第8题) 9原式=反-1-号×合-反 、1 10.这个足球场能用来举办国际比赛 理由：设足球场的宽为xm,则足球场 的长为1.5.xm. 由题意，得1.5x2=7560,所以x2= 5040. 因为702=4900,71=5041，x>0, 所以x=√5040≈71. 所以1.5.x≈107. 因为100<107<110,64<71<75， 所以这个足球场能用来举办国际 比赛 第4章代数式 4.1列代数式 1.D 2.A 3.C 4.ab-bx 1 5.(1)5u-3y (2)m-n)3 mn (3)6(2x+3y)-3. w(受) 6.D解析：a的2倍与b的差是 2a-b,故D错误.易知A,B,C正确. 18 76 解析：由题表知，新能源车每 千米的行驶费用为60X06-36元。 a a 87,3江解析：用总长减去三条横 2 向窗框的长，再除以2即可.根据题意 知，窗框的商是会m 9.由题意知，甲行走的总时间为 (m+n)h, 所以甲行走的总路程为5(m十)km. 所以两人相距[5(m十n)+3]km. 4.2代数式的值 1.C 2.C解析：因为当x=2时，代数式 a.x-2的值为4，所以2a-2=4.所以 a=3. 3.65解析：因为x一2y=一3，所以 原式=4×(-3)2一3×（一3）+20= 36+9+20=65, 41)当a=6=-号时，原式 .1 (3)-[3-(-]=4 9=-5. (2②)当a=分b=-号时，原式 1 (g)+2×是×()+ (》-}+空-4 5.(1)由题意，得园子的面积为(20- 2x+1)x=(21-2.x)xm2, (2)当x=5时，(21一2x)x=(21 2×5)×5=11×5=55. 所以园子的面积是55m2. 6.D解析：当a=5时，2a+3=13, 号-1=是，方a2-2a+10=号× 52-2×5+10=5, 7a2-100_ 5 7×5-100=15.故选项D中的代数 5 式的值最大 7B解析：把x=4代人(+D 2