第1，2章 数学与我们同行、有理数 整合拔尖&综合与实践 数字艺术-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（苏科版2024）

第2章有理数 第1,2章整合拔尖 知识体系构建 正有理数、负有理数及0 有理数 数轴 利用数轴比较有理数的大小 数与点 绝对值 的对应 相反数 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 异号两数相加，绝对值相等时，和为0：绝对值不 加法加法法则 等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的 绝对值减去较小的绝对值 个数与0相加，仍得这个数 交换律a十b=b十a 加法运算律 结合律，(a+b)+c=a十(b+c) 减法法则。减去一个数，等于加上这个数的相反数 减法 加减混合运算 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 乘法 乘法法则 0与任何数相乘都得0 交换律 aXb=bXa 运算律 结合律(aXb)Xc=aX(bXc)》 有理数的运算 分配律 (a+b)Xc=aXc+bXc 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数 两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并 除法法则 把绝对值相除 除法 0除以任何一个不等于0的数，都得0 乘除混合运算 正数的任何次幂都是正数：负数的奇数次幂是 乘方运算。负数，负数的偶数次幂是正数 乘方 科学记数法 先乘方，后乘除，再加减，如果有括号，先进行 有理数的混合运算 括号内的运算 45 拔尖特训·数学（苏科版）七年级上 9高频考点突破 考点一生活中的规律探索题 考点三数轴与有理数 典例1如图，有一串按一定规律 典例3如图，数轴上E,F,G,H四点表示 排列的珠子，珠子的颜色有灰色 四个连续整数，分别是e,f,g,h,且e十f十g十 和白色两种，这串珠子有一部分 h=一2，那么原，点的位置应该在 被一个长方体的盒子遮住了，则 (典例1图) E F G H 被盒子遮住的珠子有 (典例3图) ( A.点E处B.点F处C.点G处D.点H处 A.6颗 B.3颗 C.29颗D.27颗 提示 提示 根据数轴上两，点之间的距离公式可以得出h= 首先发现灰色、白色珠子排列的规律：白色珠子 e+3,g=e十2，f=e十1，再根据e+f+g+h=-2 都是一颗，灰色珠子的颗数是连续的自然数 即可求出e的值，从而求出f,g,h的值，从而确定原 变式]如图，根据图中数字的排列规律，在第⑩ 点的位置 个图中，a-b一的值是 变式]若A,B,P是数轴上不重合的三点，且 A少AAA 点A表示的数为一1，点B表示的数为3，点P 表示的数为x,当其中一点到另外两点的距离相 ② 10 等时，则x的值可以是 -512B.-514C.510 D.512 考点四绝对值、相反数及其性质 考点二正负数的意义 典例4若|a+1与lb+2互为相反数，则a+ 典例2某中学进行立定跳远测试，男生成绩的 b的值为 C 合格标准为1.85m,甲、乙、丙、丁四名男生的测 A.3 B.-3 C.1 D.-1 试成绩见下表（超出标准的记为正数，不足标准 提示 的记为负数)： 根据绝对值的非负性可得a,b的值，再代入所 男生 甲 求式子计算即可. 丙 与合格标准的 [变式]下列说法中，正确的是 +0.25 +0.45 -0.10 -0.25 差/m A.<x 则立定跳远的测试成绩最好的是 B.若|x一1|十2取得最小值，则x=0 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 C.若x>1>y>-1,则|x|<y 提示 D.若|x+1|≤0，则x=-1 解答这类问题时，需要同学们对正数和负数的 考点五 有理数的大小比较 意义有正确的认识，并弄清题意 典例5 如果a<0<b,且|a>|b,那么a+b, [变式]《九章算术》中的“方程术”中明确引进了 a一b,b-a,0的大小关系是 “负数”，用正、负数来表示具有相反意义的量 (用“<”连接). 若在一次数学测试中，以70分为基准，80分记 提示 作+10分，则60分应记作 ) 根据有理数的加、减法法则以及有理数比较大 A.-60分B.+60分C.+10分D.-10分 小的方法，即可解决问题」 46 第2章有理数 [变式]已知a,b是不为0的有理数，且a与b 的记为“一”)： 不相等，a<0,同时满足|b|-|a|=|a一b.请 第一 第二第三 第四第五 第六第七 将a,b,一a,一b这四个数按由小到大的顺序排 天 天 天 天 天 天 列： 路程/千米 -6-10-18+24+22+30+28 考点六有理数的混合运算 (1)这七天里行驶路程最多的一天比最少的一 典例6计算： 天多 千米. (1)25×4+(-25)×2-25×(-4》: (2)求小明家的新能源汽车这七天平均每天行 驶了多少千米， (3)已知油车每行驶100千米需耗油7升，油价 为8元/升，而新能源汽车每行驶100千米耗电 15千瓦·时，每千瓦·时电为0.6元.若按(2) 中所求的平均每天行驶的路程来算，估计小明家 (2)-2+8÷(-2)-2×(日-2》. 换成新能源汽车后每月（按30天计算）的行驶费 用比原来节省多少元 [变式]计算： X(-9)-36×后+ [变式]登山队员王叔叔以某营地为基准，向距 该营地500米的顶峰攀登，由于天气骤变，攀登 过程中不得不几次下撤躲避强风.记王叔叔向上 攀登时上升的高度为正数，向下撤退时下降的高 度为负数，这次登山的行进过程记录如下（单位： 米)：+260，-50，+90，-20，+80，-25，+105. (21号（层-8+）×24=(-5. (1)这次登山王叔叔有没有登上顶峰？若没有， 最终距顶峰还有多少米？ (2)在这次登山过程中，每上升或下降1米，平 均消耗8千卡能量，求王叔叔这次登山过程中共 消耗了多少能量 考点七有理数的实际应用 典例7近几年来，我国新能源汽车产销量都大 幅增加，小明家新换了一辆新能源汽车，他连续 七天记录了每天行驶的路程如下表（以50千米 为标准，多于50千米的记为“+”，不足50千米 47 拔尖特训·数学（苏科版）七年级上 综合素能提升 1.用边长相等的正方形和等边三角形按如图所 5.(2023·宜兴段考)点A在数轴上表示4，与 示的规律摆放，其中第1个图案中有5个正 点A距离为3的点B表示的数为 方形，第2个图案中有7个正方形，第3个图 在数轴上，到原点距离不大于2的所有整数 案中有9个正方形…按此规律排列下去， 有 则第2025个图案中正方形的个数是( 6.若(a一4)2+a+b-3=0,则b= 7.已知a,b为有理数，a|=3,|b|=5,且a十 b=一a一b,则a一b的值为 第1个 第2个 第3个 8.用(x,y)表示x,y两数中较大的一个数，用 (第1题) [x,y]表示x,y两数中较小的一个数，则 A.4048 B.4049 (-5,-0.5)-[-3,2]的值为 C.4051 D.4053 9.出租车司机刘师傅某天上午从A地出发，在 2.数轴上的点A,B,C,D分别表示数a,b,c, 东西方向笔直的公路上行驶营运，表中记录 d,已知点A在点B的左侧，点C在点B的 的是上午每次行驶的里程（单位：千米，规定 左侧，点D在点B,C之间，则下列式子中， 向东走为正，向西走为负；X表示空载，O表 可能成立的是 示载有乘客，且乘客都不相同)： A.a<b<c<d B.b<c<d<a 次 序 2 3 4 5 6 7 8 C.c<d<a<b D.c<d<b<a 里 程 -3 -15+19-1 +5 -12-6+12 3.(2024·北京)为助力数字经济发展，北京积 载 客 极推进多个公共算力中心的建设.北京数字 (1)刘师傅走完第8次营运后，他在A地的 经济算力中心日前已部署上架和调试的设备 什么方向，离A地有多少千米？ 的算力为4×107 Flops(Flops是计算机系统 (2)已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师 算力的一种度量单位)，整体投产后，累计实 傅开始营运前油箱里有8升油，若少于2升 现的算力将是日前已部署上架和调试的设备 则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上 的算力的5倍，达到m Flops,则m的值为 午中途是否可以不加油， ( (3)已知载客时3千米及以内收费15元，超 A.8×1016 B.2×1017 过3千米后，超出部分每千米收费2.8元， C.5×10 D.2×1018 问：刘师傅这天上午最高一次的营业额是多 4.一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些 少元？ 水（如图），根据图中的数据，可得瓶 子的容积是 cm3. 底面积为10cm (第4题) 48 综合与实践 数字艺术 1.“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即 表示它遇到了危险，在求救.其中，正确的有 人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我 ( 们现在熟悉的“进位制”.如图所示为一位古 。表示字母A;。O表示字母B； 。表示字母C: 人记录当天采摘果实的个数，在从右向左依 0OO表示字母D:●O。表示字母E;。●O表示字母F 次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图 。0表示字母G:… 示可知，这位古人当天采摘果实的个数是 (第3题) ( A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节 气历或中国阳历.有十天干与十二地支，如 (第1题) A.181 B.182 下表： C.183 D.184 天干甲乙丙丁戊已庚辛壬癸 2.我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计 4 67890123 数”的方法，一女子在从右向左依次排列的绳 地 支子丑寅卯辰已午未申西戌亥 子上打结，满七向左进一，用来记录采集到的 456789101112123 野果数量.下列图示中表示121颗野果的是 算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年 ( ) 份除以12的余数查出地支.如2008年，尾数 8对应的天干为戊，2008除以12余数为4,4 对应的地支为子，那么2008年就是戊子年 根据以上算法，2025年是 年 5.公元前2000年左右，古巴比伦人使 用的楔形文字中有两个符号（如图 C D ①②所示)，一个钉头形代表1，一个 3.“人有人言，灯有灯语”，灯语（灯光通信）是船 尖头形代表10.在古巴比伦的计数系统中， 只之间通信的一种通用化语言，在国际上的 人们使用的标记方法和我们当今使用的方法 使用十分广泛.利用灯光，以二进制的原理传 相同，最右边的数字代表个位，往左依次是十 递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相 位、百位.根据符号计数的方法，如图③所示 互沟通，例如：“o”表示亮红灯，“。”表示亮绿 的符号表示一个两位数，则这个两位数是 灯.两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯 来进行交流，并在启航前作如图所示的约定， 根据约定的规则，有下列说法：①“。OOo”表 示字母H;②若要表示26个英文字母，需要 10 ① ② 6盏灯；③某船先后发出“。O0。“。。。O0●” (第5题) 4911,11 7+597Pg29明 =1 1_98 9999 数学探究」 算“24” 1.A 2.答案不唯一，如[3十(-3)÷ (-7)]7=24 3.答案不唯一，如[10十4十(-6)]× 3=8×3=244-(-6)×10÷3= 4+20=2410-3×(-6)-4=10+ 18-4=24 4.答案不唯一，如(1)一12÷6× (-4)×3(2)-12÷(6÷3)× (-4)(3)[6÷3+(-4)]×(-12) 5.①②④解析：①2×3×(3+1)= 24,所以第①组牌数可以算出24. ②5×(5一1÷5)=24，所以第②组牌 数可以算出24.③因为2×2×2× 2=1624,所以用加、减、乘、除无法 算出24.④3×3×3-3=24，所以第 ④组牌数可以算出24.综上所述，① ②④可以算出24. 6.(1)取出的2张卡片上的数是 一3，一5，乘积的最大值为15. (2)取出的2张卡片上的数是-5,1， 商的最小值为一5. (3)答案不唯一，如取出的4张卡片 上的数是一3,1,3,4，算式为3×[1 (一3)+4]=24或1×4×[3 (-3)]=24. 第1,2章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1D解析：因为没被盒子遮住 的连续的灰色珠子，前面有1颗， 2颗，3颗，4颗，后面有2颗，9颗，所 以被盒子遮住的珠子有5+(1十6)+ (1+7)+(1+8)一2=27（颗）. [变式]B解析：观察题图，可知左 上角的数依次为一2,4，一8,16，…，所 以第⑦个图形中左上角的数可表示为 (一2)”.右上角的数比同一个图形中 左上角的数大2，所以第@个图形中 右上角的数可表示为（一2）”十2.下方 的数为同一个图形中左上角数的？， 所以第个图形中下方的数可表示为 2.当0=10时，a=(-2)10 （-2)” 1024,b=(-2)10+2=1026,c= (-2)10 2 =512,所以a一b-c= 1024-1026-512=-514. 典例2B解析：因为一0.25< -0.10<+0.25<+0.45,所以立定 跳远的测试成绩最好的是乙· [变式]D解析：以70分为基准， 大于70分为正数，则小于70分为负 数，即60分应记作-10分. 典例3C [变式]1或7或-5 典例4B解析：因为a十1|与b十 2互为相反数，所以a十1十b+ 2=0.所以a+1=0,b+2=0,解得 a=-1,b=-2.所以a十b=(-1)+ (-2)=-3. [变式]D 典例5a-b<a十b<0<b-a 解析：因为a<0<b,且a>b,所 Wa<a+b<0;a-b<a;b-a>0. 所以a-b<a+b<0<b-a. [变式]b<a<-a<-b解析：因 为a,b是不为0的有理数，a与b不 相等，a<0,且|b|-a=a-b|,所 以b<a<0.所以-b>-a>0.所以 将a,b,一a,一b这四个数按由小到 大的顺序排列为b<a<一a<一b. 典例6(D原式=25×(-合 (2)原式=-4+8÷(-8)-2× ()=-41+-4 [变式](1)一2. 典例7(1)48. (2)(-6)+(-10)+(-18)+ 14 (+24)+(+22)+(+30)+(+28)= 一34+104=70（千米），70÷7+50= 60(千米). 所以小明家的新能源汽车这七天平均 每天行驶了60千米。 (3)驾驶油车的费用：60×30÷100× 7×8=1008(元)， 驾驶新能源汽车的费用：60×30÷ 100×15×0.6=162(元)， 1008-162=846(元)， 所以估计小明家换成新能源汽车后每 月的行驶费用比原来节省846元 [变式](1)没有. 260-50+90-20+80-25+105= 440(米)，500-440=60（米）， 所以这次登山王叔叔没有登上顶峰， 最终距顶峰还有60米。 (2)1+260|+1-501+|+90|+ 1-20+1+80+-25++105= 630(米)，630×8=5040（千卡）， 所以王叔叔这次登山过程中共消耗 5040千卡能量， [综合素能提升] 1.D解析：由题图，可知第1个图案 中正方形的个数为5=1×2+3：第 2个图案中正方形的个数为7=2× 2十3：第3个图案中正方形的个数为 9=3×2+3,…,所以第1个图案中正 方形的个数为2m+3.当1=2025时， 21+3=2×2025+3=4053,即第 2025个图案中正方形的个数为 4053. 2.C解析：因为点A在点B的左 侧，所以a<b.因为点C在点B的左 侧，所以c<b.因为点D在点B,C之 间，所以c<db.所以可能成立的是 c<d<a<b 3.D 4.70解析：由题意，易得瓶子的容 积=10×5+10×(9-7)=70(cm). 5.7或1-2，-1,0,1,2 6.1解析：因为(a一4)2+a+b 3=0,(a-4)2≥0，a+b-3≥0， 所以a-4=0,a十b-3=0.所以a= 4,b=-1.所以b4=(一1)4=1 7.8或2解析：因为a,b为有理 数，a=3,b=5,所以a=士3，b= ±5.因为a+b=一a一b,所以a+ b0.所以a=士3，b=-5.当a=3, b=-5时，a-b=8;当a=-3,b= -5时，a一b=2.所以a-b的值为8 或2. 8.2.5解析：因为(x,y)表示x,y 两数中较大的一个数，-5<-0.5，所 以(-5，-0.5)=-0.5.因为[x,y] 表示x,y两数中较小的一个数， -3<2,所以[一3,2]=一3.所以 (-5,-0.5)-[-3,2]=-0.5- (-3)=-0.5+3=2.5. 9.(1)-3-15+19-1+5-12-6+ 12=一1（千米）， 所以刘师傅走完第8次营运后，他在 A地的西边，离A地有1千米 (2)刘师傅这天上午行驶的总里程 为-3+-151+1+19|+ 1-1++5+-12|+1-6+ +12=73(千米)，耗油量为0.06× 73=4.38(升)，8-4.38=3.62（升）， 3.62>2, 所以刘师傅这天上午中途可以不加油. (3)由表，知刘师傅这天上午第3次 的营业额最高，第3次的营业额为 15+(19-3)×2.8=59.8(元)， 所以刘师傅这天上午最高一次的营业 额是59.8元， 综合与实践数字艺术 1.C解析：题图中表示的果实个数 化为十进制为2×43+3×42+1× 4+3=183,所以采摘果实的个数 是183. 2.C解析：1×7×7+3×7+5=75， 故选项A不符合题意；2×7X7+3× 7+1=120,故选项B不符合题意：2× 7×7+3×7+2=121,故选项C符合 题意；3×7×7+2×7+1=162，故选 项D不符合题意. 3.C解析：因为·表示字母A,●O (m+2×3)个座位…所以第n排座 表示字母B,所以易得。表示二进制 位的个数为m+2(n一1). 中的1，O表示二进制中的0.所以 8.A “。000”表示二进制数1000，其对应 9.(23一6x)解析：高度为0千米处 的十进制数为1×23+0×2+0× 2十0=8.因为字母表中第8个字母 的气温大约为17+12×2=23（℃）， 为H,所以“。OOO”表示字母H,故① 所以高度x千米处的气温大约为 正确.因为26用二进制表示为11010， 23-x×12=(23-6.x)℃ 所以要表示26个英文字母，需要5盏 10.(x2+2x+18)解析：这间住宅 灯，故②错误.“。OO。”表示二进制 的建筑面积为x2+2x+3X2十4× 数10011，其对应的十进制数为1× 3=x2+2x+6+12=(x2+2x+ 2+0×23+0×22+1×2+1=19, 18)m2 第19个字母为S,所以“。00●。”表示 n(n+1) 字母S.“。●0。”表示二进制数1111，其 11. 2 解析：第1个图形表示 对应的十进制数为1×23+1×2+ 的三角形数为1，第2个图形表示的 1×2+1=15,第15个字母为0.所 三角形数为1十2=3，第3个图形表 以“。●●。”表示字母O.所以某船先后 示的三角形数为1+2十3=6，第4个 发出“●OO●●”“●●●●”“●OO0●”表示 图形表示的三角形数为1十2+3+ “SOS”.因为“SOS”表示求救信号，所 4=10…第n个图形表示的三角形 以表示它遇到了危险，在求救，故③正 数为1+2+3+4+…十(n一1)+ 确.综上所述，正确的有2个 n=(n+1) 4.乙已解析：2025年，尾数5对应 2 的天干为乙，2025除以12余数为9， 12.题图①：(a一x)b. 9对应的地支为已，那么2025年就是 题图②：R- 4R2. 乙已年 13.该户居民这个月应缴纳的电费为 5.25 [0.55x+0.35×(100-x)]元. 第3章代数式 14.D解析：第一步后，东东手中扑 3.1字母表示数 克牌的张数为a一2，亮亮的为a+2, 乐乐的为a;第二步后，东东手中扑克 1.C2.D3.(1)-x+(-8) 牌的张数为a一2，亮亮的为a+2+ (2)1-5(3)2a2-46 3=a十5，乐乐的为a一3：第三步后， (4)+b 东东手中扑克牌的张数为2(a一2)， a-b 4.(n+1)2-1 亮亮的为a十5-(a-2)=7,乐乐的 5.由题意，得该长方体盒子的底面长 为a一3.所以亮亮手中扑克牌张数的 为a一4，宽为b一4，高为2， 变化情况为a→a十2>a十5→7. 所以该长方体盒子的底面积为(a一 15.(1)25-24=32-16=24. 4)(b一4)，容积为2(a一4)(b一4). (2)2”+1-2”=2”, 6.D解析：由题意，可得每件亏损 (3)由(1)(2)，得2=2-2,22= a-a(1+20%)×0.8=a-0.96a= 23-22,23=24-23,…,2200= 0.04a(元). 2001-2000, 7.B解析：因为第1排有m个座 所以21+22+23+…+22000=(22 位，第2排有(m+2×1)个座位，第 2)+(23-22)+(24-23)+…+ 3排有(m十2X2)个座位，第4排有(2201-22m0)=2201-2. 15