6.3 角-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

拔尖特训·数学（人教版）七年级上 6.3 第1课时 基础进阶 1.有下列关于角的说法：①角是由两条有公共 端点的射线组成的图形；②角的边越长，角 越大；③在角的一边的延长线上取一点D; ④角可以看成是由一条射线绕着它的端点 旋转而形成的图形.其中，正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列关系式中，正确的是 ( A.45.5°=455 B.45.5°=45°50 C.45.5°<455 D.45.5>455 3.(2025·开封期末)如图，下列说法中，正确 的是 ( B 0 (第3题) A.图中共有两个角 B.∠AOB可以用∠O表示 C.∠1与∠BOC表示同一个角 D.∠BOC=∠O-∠a 4.(2025·晋中寿阳期末)如图，点B在点O的 北偏东60°方向，射线OB与射线OC所成的 角是115°，则射线0C的方向是() 北 B →东 0 (第4题) A北偏西35° B.北偏西55° C.北偏西60 D.西偏北55° 5.(1)54.36°= 0 (2)1182042= 0 112 角 角的概念 6.如图，请解答下列问题： (1)写出以B为顶点的角. (2)写出以D为顶点且小于平角的角. (3)图中共有多少个小于平角的角？ (第6题) 司素能攀升 金 7.(2025·青岛即墨期末)某同学周五下午6点 50分开始做数学作业，此时钟面上时针和分 针的夹角是 () A.85°B.95°C.105°D.1159 8.(2024·安庆期末)某同学晚上6时多开始做 作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是 120°，他做完作业后还是6时多，且时针和分 针的夹角还是120°，此同学做作业大约用了 ( A.40分钟 B.42分钟 C.44分钟 D.46分钟 9.(2025·成都青白江期末)1800= 10.如图①所示为一个4的圆（∠A0B 90).如图②，芳芳第1次在图① 画了一条线，将图①等分成2份；第 2次又画了两条线，将图①等分成4份；第 3次又画了四条线，将图①等分成8份… 按照此规律，第n(n是正整数)次可将图① 等分成 份.当n=5时，图①中每份 的度数是 (用度、分、秒表示). 第1次 第2次 第3次 ① (第10题) 11.(1)在角的内部作1条射线（如图①），那么 图中一共有几个角？ (2)在角的内部作2条射线（如图②），那么 图中一共有几个角？ (3)在角的内部作3条射线（如图③），那么 图中一共有几个角？ (4)在角的内部作n条射线，那么一共有几 个角？ ② (第11题) 第六章几何图形初步 爸思维拓展 12.(2025·松原宁江期末)下图中小 于平角的角有 个 0 一B (第12题) 13.如图，∠AOA1是一个平角 ∠A3OA2-∠A2OA1 ∠A4OA3-∠AOA2=∠AOA4 ∠A4OA3=·=∠A11OA10-∠A1oOAg= 3°，求∠A1OA1o的度数， 0 (第13题) 113 拔尖特训·数学（人教版）七年级上 第2课时 角的比较与运算 自基础进阶 6.如图，O为直线AB上一点，OD平分 1.(2025·深圳罗湖期末)如图，∠AOB=55°， ∠BOC,∠DOF=90°. 射线OC平分∠AOB,则∠COB的度数为 (1)若∠BOC=40°，求∠AOF的度数， ( (2)若∠COD=2∠EOF,则OE是图中哪个 A.27.30°B.2730'C.275”D.275 已知角的平分线？ (第6题) (第1题) (第2题)》 2.如图，若∠AOC=∠AOD-∠BOD,则下列 结论中，正确的是 ( A.OC平分∠AOB B.∠COB=2∠COD C.∠AOD=∠COB D.∠AOC=2∠BOD 幻素能攀升 3.(2024·益阳模拟)如图，两把三角尺的直角 7.如图，点A,O,B在同一条直线上，OC平分 顶点C重合，下列结论中，不一定成立的是 ∠DOB.若∠AOE=30°30'，∠DOC=6415', 则∠DOE的度数是 () B (第3题) (第7题)》 A.∠ACE+∠BCE=90° A.72°B.80°C.78°D.829 B.∠BCE=∠BCD 8.(2025·聊城阳谷期末)将一张长方形纸片 C.∠ACD+∠BCE=180° ABCD按如图所示的方式折叠，AE,AF为 D.∠ACE=∠BCD 折痕，点B,D折叠后的对应点分别为B', 4.已知∠BAC=80°，以AB为边在∠BAC的 D'.若∠EAF=41°，则∠B'AD'的度数为 内部作∠BAD,AD平分∠BAE,∠CAE· ∠BAD=2:1,则∠BAD的度数是 5.计算：(1)7524′-138°40÷4= (2)23°53′×2-17°43′= E (第8题) 114 9.如图，OB是∠AOC内部的一条射 线，OM是∠AOB的平分线，ON是 ∠AOC的平分线，OP是∠AON的 平分线，OQ是∠AOM的平分线，则∠POQ: ∠BOC等于 () A.1:2B.1:3C.2:5D.1:4 O -C 0 (第9题) (第10题) 10.如图，射线OD是∠AOC的平分线， ∠AOC=120°，且∠AOB=3∠BOD,那么 ∠BOC的度数是 11.如图，OC是∠AOB内部的一条射线，且 ∠AOC<∠BOC,OE是∠AOB的平分线， OD是∠AOC的平分线. (1)若∠AOB=108°，∠AOC=36°，则OC 是∠DOE的平分线吗？ (2)小明由(1)得出猜想：当∠AOB= 3∠AOC时，OC一定平分∠DOE.小明的 猜想正确吗？若正确，请说明理由；若不正 确，请求出当∠AOB和∠AOC满足什么条 件时，OC一定平分∠DOE,并说明理由. (第11题) 第六章几何图形初步 思维拓展 金 12.(2024·福州期末)如图①，点O在 直线AB上，∠COD=120°，OE平 分∠BOC,设∠AOC=a. (1)求∠DOE的度数（用含α的代数式 表示). (2)若将图①所示的∠COD绕点O按顺时 针方向旋转到如图②所示的位置，其他条件 不变 ①求∠AOE与∠BOD之间的数量关系. ②若OF是∠AOC内部的一条射线，且 ∠AOC+∠BOD-2∠AOF=90°，试说明 ∠AOF+2∠COE=105°. 0 ① (第12题) 115 拔尖特训·数学（人教版）七年级上 第3课时 自基础进阶 金 1.已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，且 ∠3=3∠1，则∠2的度数为 () A.30°B.45°C.60° D.75° 2.如图，O是直线AB上一点，OE平分∠AOB, ∠COD=90°，则图中互余的角有 ( A.5对 B.4对 C.3对 0 D.2对 (第2题) 3.(2024·菏泽期中)已知∠α与∠3互补，且 ∠α一∠3=30°，则∠a与∠3的度数依次为 () A.110°，70 B.105°，75° C.100°，70 D.110°，80 4.(2025·宿迁宿城期末)若一个角的补角比它 的余角的2倍多30°，则这个角的度数为 5.(2024·毫州期末)如图，O为直线AB上一 点，∠BOC=110°，∠COD=90°，OM平分 ∠AOC. (1)求∠MOD的度数. (2)若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的 度数. 0 D (第5题) 116 余角和补角 幻素能攀升 6.已知∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补 角，有下列结论：①∠3一∠2=90°；②∠3十 ∠2=270°-2∠1；③∠3-∠1=2∠2； ④∠3>∠1+∠2.其中，正确的是( ) A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 7.在同一平面内，点O在直线AD上，∠AOC 与∠AOB互补，OM,ON分别为∠AOC, ∠AOB的平分线.若∠MON=a(0°<a< 90),则∠AOC的度数为 () A.90°-a B.90°+a C46+号或45°-8 D.90°-a或90°+a 8.(2025·武汉期末)如图，C为直线 AB上一点，∠DCE为直角，CF平 分∠ACD,CH平分∠BCD,CG平 分∠BCE,各学习小组讨论后得到以下结论： ①∠ECF与∠DCH互补；②∠ACF ∠BCG=45°；③图中互余的角有7对； ④∠DCG+∠ACF=135°.其中，正确结论 的个数为 ( A.1B.2 C.3 D.4 D E (第8题) (第9题， 9.(2025·厦门思明期末)如图，将三 个大小不同的正方形的一个顶点重 合放置，则∠a,∠3，∠Y这三个角 之间的数量关系为 10.(2024·厦门期末)已知O是直线AB上一 点，∠BOC<180°，OD在∠BOC内，OE平 分∠BOC. (1)如图①，当∠AOC=40°，∠COD=60° 时，∠DOE的度数是 (2)OF平分∠BOD. ①如图②，试说明∠COD=2∠EOF. ②若∠COF与∠DOE互为补角，求∠COD 的度数 D E ③ (第10题) 思维拓展 11.(2025·郑州期末)在同一平面内，点O在直 线AD上，∠AOC+∠AOB=180°，OM, ON分别为∠AOC和∠AOB的平分线.若 ∠MON=a(0°<a<90),则∠AOC= 第六章几何图形初步 2.(2025·台州椒江期末)定义：若a一B=90°， 且90°<a<180°，则我们称B是a的差余 角.例如：若a=110°，则α的差余角3=20°. 如图①，点O在直线AB上，OC是AB上方 的一条射线，且∠BOC<90°. (1)若∠BOC是∠AOC的差余角，求 ∠BOC的度数. (2)将三角尺DOE(∠ODE=45)按图② 所示的方式放置，使得直角顶点与点O重 合，且OD平分∠BOC. ①判断∠AOC和∠AOE的数量关系，并说 明理由， ②图中∠AOD的差余角有哪些？请说明 理由 (3)将三角尺DOE(∠ODE=45°)自如图 ③所示的位置（三角尺的一边OD在OB 上)开始绕直角顶点O顺时针转动，当 ∠COE是∠AOE的差余角时，请求此时 ∠COE与∠BOD的数量关系 0 ② (第12题) 1176.3角 第1课时角的概念 1.B2.D3.C4.B5.(1)54 2136(2)118.345 6.(1)∠ABD,∠ABC,∠DBC. (2)∠ADB,∠BDC (3)题图中共有7个小于平角的角 7.B 8.C解析：设开始做作业时的时间 是6时x分.由题意，易得6x 0.5.x=180一120，解得x≈11.再设刚 做完作业时的时间是6时y分.由题 意，易得6y-0.5y=180+120,解得 y≈55.所以此同学做作业大约用了 55一11=44（分钟） 9.0.5 10.2”2°4845”解析：第1次在题 图①中画了一条线，将题图①等分成 2份；第2次又画了两条线，将题图① 等分成2=4（份）；第3次又画了四 条线，将题图①等分成2 8(份)…按照此规律，第(1是正 整数)次可将题图①等分成2”份.当 n=5时，题图①中每份的度数是 90×2=248'45 11.(1)在角的内部作1条射线，共有 3条射线，那么恶图中一共有必2 3(个)角. (2)在角的内部作2条射线，共有 4条射线，那么题图中一共有父 6(个)角 (3)在角的内部作3条射线，共有 5条射线，那么题图中一共有义 10(个)角. (4)在角的内部作n条射线，共有 (十2)条射线，那么一共有 (n+2)(m+1D个角. 2 12.9解析：题图中小于平角的角有 ∠AOE,∠AOC,∠AOD,∠DOB, ∠DOE,∠DOC,∠COB,∠COE, ∠EOB,共9个. 13.由题意，可得平角∠A1OA1被分 成10个小角. 设∠AzOA:=a,则∠AOA2=a+ 3°，∠AOA3=a+2X3°，… ∠A1OAn=a+9X3°. 因为a十a十3°+a十2X3°+…十a十 9×3°=180°，解得a=4.5°， 所以∠A11OA10=4.5°+9×3°= 31.5°. 第2课时角的比较与运算 1.B2.B3.B4.20 5.(1)40°44′(2)30°3 6.(1)因为OD平分∠BOC, 所以∠BOD= 1 40°=20°. 因为∠DOF=90°， 所以∠AOF=180°-∠DOF ∠BOD=180°-90°-20°=70°. (2)设∠EOF=a. 因为∠COD=2∠EOF 所以∠COD=∠BOD=2a. 因为∠DOF=90°， 所以∠EOD=∠DOF一∠EOF= 90°-a. 因为∠AOF=180°-∠DOF ∠BOD=90°-2a. 所以∠AOE=∠AOF+∠EOF= 90°-2a+a=90°-&. 所以∠AOE=∠EOD 所以OE是∠AOD的平分线： 7.D 8.8°解析：由折叠，可得∠BAE ∠B'AE,∠DAF=∠D'AF.因为四 边形ABCD是长方形，所以∠BAD= 90°.因为∠BAE+∠EAF+∠DAF= ∠BAD,∠EAF=41°，所以∠BAE+ ∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°- 41°=49°.因为∠EAB′+∠D'AF= ∠EAF+∠B'AD',所以∠B'AD'= ∠EAB'+∠D'AF-∠EAF= ∠BAE+∠DAF-∠EAF=49°- 41°=8°. 34 9.D解析：因为OM是∠AOB的平 分线，OQ是∠AOM的平分线，所以 ∠A0Q=号∠A0M=T∠A0B.因 为ON是∠AOC的平分线，OP是 ∠AON的平分线，所以∠AOP= 合∠A0N=}∠0c=}× (∠AOB+∠BOC).所以∠POQ= ∠AOP-∠A0Q=￥（∠A0B+ ∠OC)-∠A0B=∠B0C.所 以∠POQ:∠BOC=1:4. 10.75°解析：因为射线OD是 ∠AOC的平分线，∠AOC=120°，所 以∠A0D=∠COD=名∠A0C 60°.因为∠AOB=3∠BOD,所以 ∠BOD=号∠A0D=15.所以 ∠BOC=∠BOD+∠COD=75° 11.(1)因为OE是∠AOB的平分 线，∠AOB=108°， 所以∠AOE=∠BOE=号∠A0B 3×1o8-5t 又因为∠AOC=36°， 所以∠COE=∠AOE-∠AOC= 54°-36°=18°. 因为OD是∠AOC的平分线， 所以∠COD=∠A0D=号∠A0C 号×6=1x 所以∠COD=∠COE. 所以OC是∠DOE的平分线. (2)小明的猜想正确. 理由：设∠AOC=a,则∠AOB=3a. 因为OE平分∠AOB, 所以∠A0E-名∠A0B=8. 所以∠COE=∠AOE一∠AOC= 2a-a=2a. 因为OD是∠AOC的平分线， 所以∠cOD=号∠A0C= 2a. 所以∠COD=∠COE. 所以OC平分∠DOE. 所以当∠AOB=3∠AOC时，OC一 定平分∠DOE. 所以小明的猜想正确. 12.(1)因为∠AOC+∠BOC= 180°，∠AOC=a, 所以∠BOC=180°-a. 因为OE平分∠BOC, 所以∠C0E=2∠B0C=90°- 2g. 因为∠COD=120°， 所以∠DOE=∠COD-∠COE= 120°-(90°-2）=30+70 (2)①因为∠AOC=a,∠COE= 所以∠AOE=∠AO℃十∠COE=a十 90°-70=90+20 因为∠BOC=180°-a,∠COD= 120°， 所以∠BOD=∠COD-∠BOC= 120°-(180°-&)=a-60°. 所以a=∠BOD十60°. 因为∠A0E=90+24, 所以∠A0E=90+号（∠BOD+ 60). 所以∠AOE=2∠B0D+120C. ②设∠AOF=3. 因为∠AOC+∠BOD-2∠AOF= 90°， 所以a十a-60°-23=90°. 所以3=&-75°. 又因为∠COE=90°- 2c, 所以∠AOF+2∠COE=a-75°+ 2(90°-2a）=105 第3课时 余角和补角 1.B2.B3.B4.30° 5.(1)因为∠BOC=110°，∠COD= 90°， 所以∠BOC+∠COD=110°+ 90°=200° 因为∠AOB=180°， 所以∠AOD=20°，∠AOC=180° 110°=70°. 因为OM平分∠AOC, 所以∠AOM=;∠A0C=35. 所以∠MOD=∠AOM+∠AOD= 35°+20°=55°. (2)因为∠BOP与∠AOM互余， 所以∠BOP+∠AOM=90°. 因为∠AOM=35°， 所以∠BOP=90°-∠AOM=55°. 所以∠COP=∠BOC-∠BOP= 110°-55°=55° 6.D解析：因为∠1与∠2互为余 角，∠1与∠3互为补角，所以∠1十 ∠2=90°，∠1+∠3=180°.所以 ∠3-∠2=(180°-∠1)-(90° ∠1)=90°，故①正确.易知∠3+ ∠2=180°-∠1+90°-∠1=270° 2∠1，故②正确.因为∠3十∠1= 2(∠1+∠2)=180°，所以∠3-∠1= 2∠2.故③正确.因为∠3=∠1十 2∠2，所以∠3>∠1十∠2.故④正确. 综上所述，正确的是①②③④. 7.D解析：①如图①，当∠AOC< ∠AOB时，因为OM,ON分别为 ∠AOC,∠AOB的平分线，所以 ∠AOM=2∠AOC,∠AON= 2∠AOB.所以∠MON=∠AON ∠AOM=(∠AOB-∠A0C,.所 以∠AOB-∠AOC=2a.因为∠AOC 与∠AOB互补，以∠AOB=180° ∠AOC.所以180°-∠AOC ∠AOC=2a.所以∠AOC=90°-a. ②如图②，当∠AOC>∠AOB时，因 为OM,ON分别为∠AOC,∠AOB 35 的平分线，所以∠AOM=2∠A0C, ∠AON=2∠AOB.所以∠MON= ∠A0M-∠AON=3(ZA0C- ∠AOB).所以∠AOC-∠AOB=2a. 因为∠AOC与∠AOB互补，所以 ∠AOB=180°-∠AOC.所以 ∠AOC-(180°-∠AO℃)=2a.所以 ∠AOC=90°十a.综上所述，∠AOC 的度数为90°-a或90°+a(0°< a<90°). M A -D 0 ① M C 0 一D ② (第7题) 8.C解析：①因为CF平分 ∠ACD,所以∠DCF=号∠ACD.因 为CH平分∠BCD,所以∠DCH= ∠DCB.所以∠FCH=∠DCF+ 1 1 1 ∠DCH=2∠ACD+2 ∠DCB= 2(∠ACD+∠DCB=2×180 90°.又因为∠DCE=90°，所以 ∠FCH+∠DCE=180°.所以 ∠FCD+∠DCH+∠DCE= ∠ECF+∠DCH=180°.所以∠ECF 与∠DCH互补.故①正确.②因为 CH平分∠BCD,CG平分∠BCE,所 以∠HCB=号∠CD,∠BG 号∠BCE.所以∠HCB+∠BCG 3∠CD-∠E=☑D+ ∠BCE)=2∠DCE= 1 2X90°= 45°.所以∠HCB=45°-∠BCG.又因 为∠FCH=90°，所以∠ACF+ ∠HCB=90°.所以∠ACF+45° ∠BCG=90°.所以∠ACF-∠BCG= 90°-45°=45°.故②正确.③互余的 角有∠DCB与∠BCE,∠DCH与 ∠HCE,∠GCE与∠GCD,∠DCF 与∠DCH,∠FCD与∠HCB,∠ACF 与∠DCH,∠ACF与∠HCB,∠HCB 与∠HCE,∠BCG与∠DCG,共9对. 故③错误.④因为∠ACF=∠DCF, ∠FCH=90°，∠HCG=∠HCB+ ∠BCG=45°，所以∠DCG+∠ACF= ∠DCG+∠DCF=∠DCF+∠DCH+ ∠HCG=∠FCH+∠HCG=90°+ 45°=135°.故④正确.综上所述，正确 结论是①②④，共3个. 9.∠a-∠3+∠y=90°解析：如 图，由条件可知，∠a+∠1=∠1十 ∠3+∠2=∠2+∠y=90°，所以 ∠1=90°-∠a,∠2=90°-∠Y.所以 ∠3=90°-∠1-∠2=90°-90°+ ∠a-90°+∠y=∠a+∠y-90°.所 以∠a-∠B+∠y=90°. (第9题) 10.(1)10°.解析：因为O是直线 AB上一点，所以∠AOC+∠BOC= 180°.因为∠AOC=40°，所以 ∠BOC=180°-40°=140°.因为OE 平分∠BOC,所以∠COE= 2∠B0C=70°.因为∠C0D=60°，所 1 以∠DOE=∠COE-∠COD=70° 60°=10° (2)①因为OE平分∠BOC, 所以∠COE=∠BOE. 因为OF平分∠BOD, 所以∠DOF=∠BOF. 因为∠COD=∠COE+∠DOE, 所以∠COD=∠BOE+∠DOE= ∠DOE+∠DOF+∠BOF+ ∠DOE=∠DOE+∠DOF+ ∠DOF+∠DOE=2∠DOE+ 2∠DOF=2(∠DOE+∠DOF)= 2∠EOF. ②因为∠COF与∠DOE互为补角， 所以∠COF+∠DOE=180° 所以∠COD+∠DOF+∠DOE= 180°，则∠COD+∠EOF=180°. 所以2∠EOF+∠EOF=180°，则 3∠EOF=180°. 所以∠EOF=60° 所以∠COD=2∠EOF=120°. 11.90°+a或90°-a解析：当 ∠AOC和∠AOB在直线AD的两侧 时，如图①.因为OM,ON分别为 ∠AOC和∠AOB的平分线，所以 1 ∠AOM=2∠AOC,∠AON= 号∠AOB,所以∠MON=∠AOM中 ∠AON=3∠A0C+2∠A0B 2(∠A00+∠A0B)=g×150 90°.因为∠MON=a(0°<a<90),所 以此种情况不符合题意（舍去）.当 ∠AOC和∠AOB在直线AD的同 侧，且∠AOC<∠AOB时，如图②.因 为OM,ON分别为∠AOC和∠AOB 的平分线，所以∠AOM=2∠AOC, ∠AON=?∠AOB.所以∠MON= ∠AON-∠AOM=∠AOB- 3∠A0C=2(∠A0B-∠A0C) 2∠B0C=a.所以∠B0C=2a.因为 ∠AOC+∠AOB=180°，∠AOB+ ∠BOD=180°，所以∠AOC= ∠BOD.因为∠AOC+∠BOC+ ∠BOD=180°，所以2∠AOC= 180°-2a.所以∠AOC=90°-a.当 ∠AOC和∠AOB在直线AD的同 侧，且∠AOC>∠AOB时，如图③.因 为OM,ON分别为∠AOC和∠AOB 36 的平分线，所以∠AOM=2∠A0C. 1 ∠AON=2∠AOB.所以∠MON= ∠AOM-∠AON= 2∠A0C 2∠A0B=2(∠A0C-∠AOB) 2∠B0C=a.所以∠B0C=2a.因为 ∠AOC+∠AOB=180°，∠AOC+ ∠COD=180°，所以∠AOB= ∠COD.因为∠AOB+∠BOC+ ∠COD=180°，所以2∠COD= 180°-2a.所以∠COD=90°-a.所以 ∠AOC=180°-∠COD=180°- (90°一a)=90°十a.综上所述， ∠AOC=90°+a或90°-a. ① C 0 ② B、 C 0 -D ③ (第11题) 12.(1)因为∠BOC是∠AOC的差 余角， 所以∠AOC-∠BOC=90°. 所以∠AOC=∠BOC+90°， 因为∠AOC+∠BC=180°， 所以∠BOC+90°+∠BOC=180°. 所以∠BOC=45° (2)①∠AOC=2∠AOE. 理由： 因为∠DOE=90°，∠AOE十 ∠DOE+∠BOD=180°， 所以∠AOE+∠BOD=90°. 因为OD平分∠BOC, 所以∠BOD=2∠B0C 所以∠A0E+2∠B0C=90, 即2∠AOE+∠BOC=180°. 因为∠AOC+∠BOC=180°， 所以∠AOC=2∠AOE. ②∠AOD的差余角有∠AOE,∠COE. 理由： 由①知，∠AOC=2∠AOE, 所以∠AOE=∠COE. 因为∠AOD-∠AOE=∠EOD=90°， 所以∠AOD-∠COE=90°. 所以∠AOD的差余角有∠AOE, ∠COE. (3)如图①，当OE在O℃左侧时， 因为∠COE是∠AOE的差余角， 所以∠AOE-∠COE=90°. 所以∠AOE=∠COE+90°. 因为∠AOE+∠BOE=180°， 所以∠COE+90°+∠BOE=180°. 所以∠COE+∠BOE=90° 因为∠DOE=∠BOD+∠BOE=90°， 所以∠COE=∠BOD. 如图②，当OE在OC右侧时， 因为∠COE是∠AOE的差余角， 所以∠AOE-∠COE=∠AOC=90° 因为∠BOC<90°，∠BOC+ ∠AOC=180°， 所以∠AOC>90°，矛盾. 所以此种情况不存在. 如图③，当OE在AB下方时， 因为∠COE是∠AOE的差余角， 所以∠AOE-∠COE=90°. 所以∠AOE=∠COE+90°. 因为∠AOE+∠BOE=180°， 所以∠COE+90+∠BOE=180°. 所以∠COE+∠BOE=90°. 所以∠BOE=90°-∠COE. 因为∠DOE=90°， 所以∠BOD=90°+∠BOE. 所以∠BOD=90°+90°-∠COE. 所以∠BOD+∠COE=180°. 综上所述，∠COE=∠BOD或 ∠BOD+∠COE=180°」 ① 0 E D4 ③ (第12题) 专题特训十五角度计算 中的数学思想 1.D2.10 3.18°解析：设∠EDF=a.由折叠 的性质，得∠EDF=∠ADG=a, ∠BDC=∠BDE.因为DG平分 ∠ADB,所以∠ADG=∠BDG=a. 所以∠ADB=∠ADG+∠BDG= 2a,∠BDE=∠EDF+∠ADG+ ∠BDG=3a.所以∠BDC= ∠BDE=3a.所以∠ADC ∠ADB+∠BDC=2a+3a=5a.因为 四边形ABCD为长方形，所以 ∠ADC=90°.所以5a=90°，解得a= 18°，即∠EDF=18° 4.由题意，设∠AOB=4.x,∠BOC= 5.x,∠COD=3.x. 所以∠AOD=12x. 因为OM平分∠AOD, 所以∠A0M=2∠AOD=6x 由题意，得6x一4x=20°，解得x=10° 所以∠AOD=12x=120°，∠BOC= 5.x=50°. 所以∠MOC=∠BOC-∠BOM=30°. 5.(1)2.解析：因为∠COD=90°， 所以∠BOD+∠AO℃=90°.因为OE 平分∠AOD,所以∠AOE=∠DOE= 7∠AOD.又因为∠BOD=180° ∠AOD,所以∠COE=∠AOE ∠AOC=2 ∠AOD-(90° 1 ∠B0D)=2(180°-∠B0D) 37 90°+∠B0D=2∠B0D.所以 ∠BOD=2∠COE (2)因为∠COD=90°， 所以∠AOC+∠BOD=90°. 因为OC为∠AOE的平分线，OF平 分∠COD, 所以∠AOC=∠COE,∠COF= ∠0F-号∠c00=45 所以∠FOB十∠EOC=∠DOF+ ∠BOD+∠AOC=45°+90°=135°. (3)因为∠EOC=3∠EOF, 所以设∠EOF=x,则∠EOC=3.x. 所以∠COF=∠EOC+∠EOF=4x. 由(2)，得∠AOE=2∠COE=6.x, ∠COF=∠DOF=45°， 所以4.x=45°， 解得x=11.25° 所以∠AOE=6×11.25°=67.5°. 6.120° 7.52.5°解析：因为OE平分 ∠AOC,OF平分∠BOD,所以 ∠00E=7∠A0C.∠0F=2× ∠BOD.因为∠AOC+∠BOD= ∠AOD+∠COD+∠BOC+ ∠COD=360°-∠AOB+∠COD= 330°，所以∠COE+∠DOF=2X 1 (∠AOC+∠BOD)=165°.因为 ∠COD+∠EOF=∠COE+ ∠DOF,所以∠EOF=105°.因为ON 是∠EOF的平分线，所以∠EON= 号∠B0F=52.5 8.D解析：因为∠AOB= 3∠COD=60°，所以∠COD=20°. ①如图①，当OD在∠AOB的内部 时，设∠AOD=x,则∠AOC=x 20°，∠BOD=60°-x.所以∠COB= 80°-x.因为∠COB=3∠AOD,所以 80°一x=3x,解得x=20°.②如图 ②，当OD在∠AOB的外部时，设 ∠AOD=y,则∠COB=80°+y.因为 ∠COB=3∠AOD,所以80°+y= 3y,解得y=40°.综上所述，∠AOD