2.3 有理数的乘方-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

拔尖特训·数学（人教版）七年级上 2.3有理数的乘方 第1课时有理数的乘方 ☑基础进阶 3)-P÷多×-： 1.易错题(2025·石家庄平山期末)下列计算 的结果相等的一组是 () A.(-2)2与-22 B.(-1)3与-(-1)2 c() Da行与 2.(2025·成都锦江期末)下列数或式子中，在 数轴上所对应的点一定在原点右边的是( ) A.(-1)2025 R() C.-52 D.0 幻素能攀升 3计算：()°- 6.已知a,b是有理数，有下列判断：①a2+ 3 (b+1)2总是正数；②a2+b2+1总是正数； (2) ③9+(a-b)2的最小值为9；④1-(ab+ (3)-42×(-1)101= 1)2的最大值是0.其中，错误的个数是() 4.如果(x十1)2十1y-2026|=0,那么x' A.1 B.2 C.3 D.4 5.计算： 7.一根1m长的木棒，第1次截去它的}，第 (1)(-2)5-53. 2次截去剩余部分的，第3次再截去剩余部 分的，如此截下去，第6次后剩余的木棒的 长是 A(经)m R1-()门m c(分)°m 1-()门m (2)-(-)×1-161. 8.若34+34+34=3"，45+45+45+45=4”，则 m一n的值为 9.(2024·成都期末)《庄子》记载：“一尺之棰， 日取其半，万世不竭.”这句话的意思是一尺 长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不 完.若按这种方式截取一根长为1的木棍，则 第6天截取后木棍剩余部分的长为 38 第二章有理数的运算 10.已知(a×b)2=a2×b2,(aXb)3=a3Xb3,1 爸思维拓展 (aXb)=aXb,(aXb)5=a5Xb,.... 2025 X (1)猜想：(a×b)”= 12.(2025·安阳林州期末)计算 4 (2)用学过的知识，说明(1)中猜想成立的 16112的结果是 理由. A是 C.4 D.-4 (3)计算： ①(-12)× 13.如果a=N(a>0,a≠1，N>0) 那么b叫作以a为底N的对数，记 ②(-0.125)2025X22024X42023」 作1og.N=b,例如：因为53=125 所以1og125=3.因为112=121，所以 1og11121=2. (1)填空：log33= logo.5 16 (2)如果logm-4=2,求m的值. (3)若log327+log4x=log232,求2(x-1) 的值. 11.观察下列各式： 1+2=9=}×4×9=×2× 32; 1+2+3=36=×9X16=×3×4, 15+2+8+=100=}×16×25=1× 42X52… (1)计算：13+23+33+43+…+103. (2)试猜想13+23+33+43+…+n3的值. 39 拔尖特训·数学（人教版）七年级上 第2课时有理数的混合运算 自基础进阶 (8)(是)×-4)+23(-3》 1.下列各组运算中，值最小的是 A.-(-5-2)2 B.(-5)×(-2) C.(-5)2÷(-2)2D.(-5)2÷(-2) 2.(2025·西安经开区期末)如图所示为小宇用 计算机设计的一个程序计算框图.若输入α 的值为一1，则输出的值为 否 输入a 平方乘5减9 结果大于2 [g÷(-}°+52×a》-2 是 输出 (第2题) A.-4B.4 C.-71D.71 3.如果a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝 对值为2，那么la+b+2m2-3cd的值是 Am 幻素能攀升 4.若(x+3)2十(2y十1)4=0，则x3-(4y)5的 6.我们规定：x☒y=(x十2)2一y,如3☒5= 值为 (3+2)2-5=20,则1☒(-2)的值为() 5.易错题计算： A.4 B.7 C.8 D.11 (1)(2025·阳江阳东期末)一32十5× 7.(2025·张掖高台期末)如图所示为 (-g)-4÷(-80. 一张长20cm、宽10cm的长方形纸 片，第1次裁剪掉一半，第2次裁剪 掉剩下部分的一半…按照此方式裁剪下 去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是 ( (2)-22×(-3)÷( )°-20×（ A(200×20)em 47 5+10: B2wx-】m 20cm (第7题) C.(200x)em D.2ox 40 第二章有理数的运算 8.(2024·甘肃)定义一种新运算“￥”，规定运 位思维拓展 算法则为m*n=m”一mn(m,n均为整数， 11.阅读材料： 且m≠0).例如：23=23一2×3=2，则 求1+2+22+23+24十…+22025 (—2)*2= 的值 9.(2025·通辽期末)已知a,b互为相反数，c, 解：设S=1+2+22+23+24+…+2225①. d互为倒数，m的绝对值是2，求，a+b十 将等式两边同时乘2，得2S=2+22+23十 2m2+1 24+…十22025+22026②. 4m-3cdd的值. 由②一①，得2S-S=22026-1,即S= 22026-1. 所以1+2+22+23十24十…+22025= 22026-1. 请你仿照此方法计算： (1)1+2+22+23+…+29= (2)1+7+72+73+74+…+7”(n为正 整数) (3)1+2×2+3×22+4×23+.+9×28+ 10.嘉嘉在电脑中设置了一个有理数的运算程 10×2°. 序：输入数“a”加“★”键，再输入“b”,就可以 得到运算a★b=2-a2|÷b+1. (1)计算：(-3)★2. (2)小明用嘉嘉设置的程序计算(1)中的题 目时，不小心将“一3”输入成了“3”，请你通 过计算说明，小明得到的运算结果与(1)中 的结果是否相同 (3)淇淇使用嘉嘉设置的运算程序时，屏幕 显示：该操作无法进行.你能指出淇淇在什 么地方出错了吗？ 41 拔尖特训·数学（人教版）七年级上 第3课时科学记数法 自基础进阶 在农村的义务教育经费保障机制.将“1582亿” 1.(2025·昆明五华期末)滇池亦称昆明湖、昆 用科学记数法表示为 () 明池、滇南泽、滇海，是全国第六大淡水湖，也 A.158.2×109 B.15.82×1010 是云南省面积最大的高原湖泊，有“高原明 C.1.582×101 D.1.582×1012 珠”之称.滇池的蓄水量约为1290000000立 6.如图所示为琳琳作业中的一道题目，“○”处 方米.数据1290000000用科学记数法可以 发生破损，只知道此处都是0，琳琳查阅后发 表示为 ( 现这道题目的答案为2，则破损处“0”的个 A.0.129×1010 B.1.29×109 数为 C.12.9×109 D.1.29×1010 已知60（○=ax10”, 2.一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工 求an的值 具，其技术底座有着多达1.75×101个模型 (第6题) A.2 B.3 C.4 D.5 参数.数据1.75×10Ⅱ的位数为 7.(2024·上海改编)科学家研发了一种新的蓝 A.11 B.12 光唱片，其容量是普通唱片容量的8000倍. C.13 D.14 已知一张普通唱片的容量约为25GB,则一张 3.我国的陆地面积大约为960万平方千米.数 蓝光唱片的容量约为 GB(用科学记 据960万用科学记数法可表示为 数法表示). 4.光在真空中传播的速度约为300000000米/秒 8.勤俭节约是中华民族千百年来的传统美德， 太阳光到达地球的时间约为500秒，试求出 中华儿女应该秉承良好传统，积极践行文明 太阳与地球之间的距离约为多少千米（用科 健康、绿色环保的生活方式.若某小区有 学记数法表示). 1000户人家，每户一天节约1.6千瓦时电， 该小区一年(365天)大约可以节约多少千瓦 时电（用科学记数法表示）？ 幻素能攀升 5.(2024·南通)2024年5月，财政部下达1582亿元 资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重 42 第二章有理数的运算 第4课时近似数 “答案与解析”见P11 ☑基础进阶 《素能攀升 1.下列每个情景中的两个数，都一定为准确数 5.某种鲸的体重约为1.36×105kg,关于这个 的是 () 近似数，下列说法正确的是 () A.小明花10元钱买了2千克香蕉 A.精确到百位 B.精确到0.01 B.小亮的体重为65千克，身高为1.72米 C.精确到千分位 D.精确到千位 C.买5个铅球，共重15千克 6.近似数5.60万精确到 () D.某教学楼共有5层，每层的楼梯都是 A.十分位 B.百分位 22级 C.百位 D.千位 2.(2025·昆明五华期末)下列说法中，正确7.(2025·济宁梁山期末)用四舍五入法对 的是 ( ) 0.0572取近似数，精确到千分位的结果是 A.6.610精确到千分位 B.1.8和1.80的精确度相同 8.用四舍五入法取近似数：2.175万≈ C.用四舍五入法对3.14159取近似数，精确 万（精确到千位） 到百分位是3.1 9.工人小王加工了两根轴承，当他把 D.用四舍五入法对0.12349取近似数，精 轴承交给质检员验收时，质检员说 确到0.01是0.124 “不合格，作废！”小王不服气地说 3.“保留两位小数”“精确到小数点后第二位” “图纸要求精确到2.60m,一根为2.56m,另 “精确到百分位”“精确到0.01”，这些说法的 一根为2.62m,怎么不合格？” 含义 (填“相同”或“不相同”).按照精 (1)合格轴承的范围是多少？ 确度确定的近似数的末位数字，若是零，则这 (2)你认为是小王加工的轴承不合格，还是 个零 (填“能”或“不能”)随便省去. 质检员判断错误？ 4.(1)请分别指出下列各数的精确度， 0.016,1680,1.20 (2)测得某两个星球之间的距离约为 377985654.32m,请按下列要求取数 377985654.32的近似值（用科学记数法表示）. ①精确到千位. ②精确到千万位. ③精确到亿位. 432)原式的例数为（+）： （)-(兮日+)×(-0 -8+4-9=-13, m以()(}专+)= 12.②③解析：对于①，当a=b=0 时，号无意义.故①错误，不符合题 意.对于②，因为力>0，所以a,6同 号.因为a十b<0,所以a<0,b<0. 所以a+3b<0.所以a+3b|=-a 3b.故②正确，符合题意.对于③， 若a>b,则有四种情况.1°如图 ①，此时a>b>0,所以a+b>0,a b>0.所以(a十b)(a-b)>0.2如图 ②，此时-a<b<0<a,所以a+b> 0,a-b>0.所以(a十b)(a-b)>0. 3°如图③，此时a<b<0,所以a十b< 0,a-b<0.所以(a十b)(a-b)>0. 4°如图④，此时a<0<b<-a,所以 a十b<0,a一b<0.所以(a+b)(a b)>0.综上所述，若|a>|b1,则 (a+b)(a-b)>0.故③正确，符合题 意.因此，正确的有②③ 0 b a ① -a b 0 ② ③ a 0 b-a ④ (第12题) 13.(1)题图①：三个角上的三个数的 积为1×(-1)×2=-2，三个数的和 为1十（一1）+2=2，积与和的商为 -2÷2=-1. 题图②：三个角上的三个数的积为 (-3)×(-4)×(-5)=-60,三个数 的和为(-3)+(-4)+（一5）=-12， 积与和的商为（一60）÷（一12）=5. 题图③：三个角上的三个数的积为 (-2)×(-5)×17=170,三个数的和 为(-2)+(-5)+17=10，积与和的 商为170÷10=17. (2)x=[5×(-8)×(-9]÷[5+ (-8)+(-9)]=-30. 专题特训三乘法运算律的 应用 1.(1)10. (2)-1. )是 (4)-100. 2.(1)-2. (2)69号. 82 (4)-134. )48 (6)原式=(5+)×(16+) (5+)×16+(5+)×8 75×16+0×16+75×8+ 32 2 25 =1200+ 2+48+2 1261. 3.)原式=号××(6月 )×()=-号×器 ()×品=-3×（号× 号×2)=-3×(1-号）=-8× ()=4 (2)原式=(-100+3)×(-69)+ ×(-8别)×(-8)=6900-3+ ×别×8=690-3+ 81 2 6937.5. (③)因为原式的倒数为（号+号 8)÷()=(号+ 9 -）×(-8-号×(-8)+ ×(-84)-×(-84)-× 3 5 (-84)=-56一36+15+21=-56， 所以原式=一56 1 4.(1)25. (2)-2.4. 3原式=-14×（号+号）-035× (号+5）=-14-0.35=-14.35. )原式=2号×品×14 7 告×品=品×eg-14-) 13×(-13)=-7. (5)原式=0.7×(19号+号) 14×(2+3.25)=0.7×20-14× 6=14-84=-70. (6)原式=13×(3.85+6.15)+ 079×(品+0)=13×10+0.79× 1=130.79. 2.3有理数的乘方 第1课时有理数的乘方 1.B 易错警示 对乘方的意义理解不透彻 (1)乘方运算中，底数是负数 或分数时，底数要加括号」 (2)将底数与指数相乘是最容 易犯的错误。 2.B3.(1)-32 1 (2)-2 (3)164.1 5.(1)-157. 8翠 6.B解析：a2+(b+1)2总是非负 数，故①错误.a2+b2+1总是正数， 故②正确.9十(a-b)的最小值为9， 故③正确.1-(ab十1)2的最大值是 1,故④错误.综上所述，错误的个数 是2. 7.A解析：第1次截去后剩余的木 棒长1×(1-)-m),第2次裁 去后剩余的木棒长是×(1-) (径）m,第3次截去后剩余的木棒 长()）‘×(1-)=()）m… 以此类推，第n次截去后剩余的木棒 长（任）'m所以第6次后剩余的木 棒的长是（经）”m 8.一1解析：因为34+3+3=3× 3=35=3”,所以m=5.因为45十 4°+45+45=4×45=46=4"，所以 n=6.所以m一n=-1. 9.6年解析：由题意可知，第1天截 取后木棍剩余部分的长为1一号 之，第2天裁取后木根剩余都分的长 为站号×分=日}=}- 第3天截取后木棍剩余部分的长为 -×-安×(1-) 1 22 ,…,第n天截取后木棍剩余部分 1 的长为2所以第6天截取后木棍剩 余部分的长为2一64 11 10.(1)a”Xb”. (2)理由：(a×b)= (aXb)×(a×b)X…×(a×b) n个 (aXa…Xe)X(bXbX…Xb)= n个 n个 anx6". )0原式=(×号)- (-1)1000=1. ②原式=一 42023=- (g)×() ×2 22023X42023=- ×2x(日×2× 12023 1 32 11.(1)原式=4×10×(10+1)2= 4×100×121=3025. (2)原式= 4n2(n十1)3。 12B解析：（←） X161012= () ×(42)112.因为42表示 两个4相乘，所以易知(4)112表示 2024个4相乘，即(42)1012=42024.所 以原式=（）×= 025 1 ()×=4×(日)× =-×[()×4] ×1= 1 13.(1)1;4. (2)因为1og|m-4=2, 所以|m-4|=25,解得m=29或 m=-21. (3)因为33=27,25=32， 所以1og327=3,log232=5. 所以log27+log.x=log32可化为 3十10g4x=5. 所以log1x=2. 所以x=16. 所以2(.x-1)=2×(16-1)=30. 第2课时有理数的混合运算 1.A2.D3.54.5 5.(1)-16.5. (2)14. (3)2. (4)-41. 10 易错警示 对有理数混合运算的运算顺序 理解不透彻 进行有理数的混合运算时，应 按以下顺序：先乘方，再乘除，最后 加减：同级运算，按从左到右的顺 序进行.当计算中有除法时，切忌 轻易使用结合律 6.D解析：因为x☒y=(.x十2)2 y,所以1☒(-2)=(1+2)2 (-2)=32+2=9+2=11. 7.A解析：长方形的最初的面积为 S=20×10=200(cm).第1次裁剪 1 后剩余的面积为S=2S,第2次裁 剪后剩余的面积为5：=（侵）s }S,第3次裁剪后利余的面积为 s=() S,…,第6次裁剪后剩余 的面积为5-（）°s=20× (2分）°=(200x2)m. 8.8 9.因为a,b互为相反数，c,d互为倒 数，m的绝对值是2， 所以a+b=0,cd=1,m=±2. 当m=2时，2m21十4m=3cd=0十 8-3=5. lat+4m-3cd= 当m=-2时，2n2+1 0-8-3=-11. 10.(1)(-3)★2=2-(-3)2÷ 2+1=2-9÷2+1=7÷2+1= 7 9 2+1=2 (2)3★2=|2-32|÷2+1=|2 7 9 91÷2+1=7÷2+1=2+1=2, 由(1)知，（一3）★2的结果是号， 所以小明得到的运算结果与(1)中的 结果相同. (3)淇淇输入的第二个数为0，b是除 数，除数不能为0，没有意义，故该操 作无法进行。 11.(1)20-1. (2)设S=1+7+7+73+74+…+ 7"①. 将等式两边同时乘7，得7S=7+7+ 73+74+75+…+7”+7m+1②. 由②-①，得7S-S=7+1-1,即 S=71-1 6 所以1+7+72十73+7十…十 7=71-1 6 (3)设S=1+2×2+3×2+4× 23++9×28+10×2①. 将等式两边同时乘2，得2S=2+2× 22+3×23+4×2+…+9×2+ 10×21°②. 由①-②，得S-2S=1+2+22+ 23+…+2-10X20 由(1)，得1+2十22+23+…十2= 210-1. 所以-S=2°-1-10×2°，即S= 9×20+1. 所以1十2×2十3×22+4×2十…十 9×28+10×2=9×210+1. 第3课时科学记数法 1.B2.B3.9.6×10 4.300000000×500 150000000000(米)， 150000000000米= 150000000千米=1.5×108千米. 所以太阳与地球之间的距离约为 1.5×108千米 5.C6.B7.2×10 8.1.6×1000×365=1600×365= 584000=5.84×10°（千瓦时） 所以该小区一年(365天)大约可以节 约5.84×10千瓦时电 第4课时近似数 1.D2.A3.相同不能 4.(1)0.016精确到千分位，1680精 确到个位，1.20精确到百分位. (2)①377985654.32≈3.77986×10 ②377985654.32≈3.8×10 ③377985654.32≈4×103. 5.D 6.C解析：因为5.60万=56000，所 以近似数5.60万精确到百位， 7.0.057解析：用四舍五入法对 0.0572取近似数，精确到千分位 是0.057. 8.2.2 9.(1)合格轴承的范围是大于或等 于2.595m,小于2.605m (2)由(1)知，小王加工的2.56m与 2.62m的轴承不合格， 专题特训四有理数 混合运算的常见题型 1.(1)0. (3)125. (4)-3600 (5)-90. (6)-29 31 2.(1)-2+7-9+10+4-5-8= 一3（千米）， 所以最后一次投递包裹结束时快递员 在公司P的西边，距离公司P3千米， (2)五 (3)-21++7+1-91+ 1+10+1+4|+-5+1-8|= 45(千米)， 所以0.08×45=3.6（升），7.2× 3.6=25.92(元). 所以该快递员投递完所有包裹需要花 汽油费25.92元. 3.A解析：1×(-3)÷2=- 3 2 -() (-3》÷2=-g< 8 一2，满足题意，输出结果，所以输出的 结果是一号。 4.(1)-1(2)120 5.2×(+5)+(一7)=3<150，继续 运行； 11 3×(+5)+(-7)=15-7=8<150, 继续运行； 8×(+5)+(-7)=40-7=33<150, 继续运行； 33×(+5)+(-7)=165-7=158> 150,输出. 所以这个程序最终输出的结果 为158. 6.(1)当x=-2时a={[-(-2)]× 6+[(-2)2+2X(-2)]×3}×3 =(12+ [2×6+(4-4)×3]X3 0×合=4 当x=-1时，b={[-(-1)]×6+ [(-1D+2×(-1D]×3)×g=[1× 6+1-2)×3]×号=(6-3)× 1 3 =1; 当x=0时，c=[0×6+(02+2×0)× 1 3]× 1 ·=(0+0×3)× =0X 0. 3 填表（二）如下： 输入 -3 -2-10 输出9410… (2)x2. 专题特训五有关数轴的探索 L.C解析：因为C是线段AB的一 个三等分点，AB=3一（一6）=9，所以 易得AC=3或6.所以点C表示的数 是0或一3.当点C表示的数为0时， 点A表示的数是6；当点C表示的数 为一3时，点A'表示的数是0. 2.一5解析：根据题意，得折痕与数 轴的交点表示的数为(1一3)÷2 一1.因为A,B两点之间的距离为8 且折叠后重合，所以点A,B关于一1 的对应点对称.又因为点A在点B的 左侧，所以点A表示的数为一1一8÷ 2=-1-4=-5.