第21章一元二次方程易错精选题-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第21章一元二次方程易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．设方程的两根分别是，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．有1人感染了流感，经过两轮传染后共有25人被感染，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，如果不采取防护措施，则三轮传染后会有（　　）人感染流感． A．50 B．75 C．125 D．65 6．某县大力治理生态环境，发展生态旅游，吸引了全国各地的游客．2023年暑假，该县接待游客35万人次，2025年增长至86万人次．设这两年暑假，该县接待旅游人次的年平均增长率为，则可列方程（　　） A． B． C． D． 7．随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计共投入研发资金364万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+ A．1 B． C． D．1或 二、填空题 9．一元二次方程 的根为   ． 10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 11．已知a，b是方程的两个根，则的值为 12．已知a是方程的解，则代数式的值为 ． 13．把一元二次方程化成的形式，则的值为 ． 14．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为 ．（参考数据：） 15．如图，某农家乐老板计划在一块长，宽的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 ． 16．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 三、解答题 17．用公式法解方程：． 18．用因式分解法解方程：． 19．用配方法解方程：． 20．先阅读例题，再解答问题： 例：解方程． 解：当时，，解得（不合题意，舍去），； 当时，．解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上例解法解方程：． 21．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 22．某水果商场经销一种水果，原价每千克50元． (1)若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出1000千克，经调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克，现该商场要求每天盈利12000元，那么每千克应涨价多少元？ 23．已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． (3)已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第21章一元二次方程易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C A C C A A 1．A 【分析】本题考查一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程；一般形式为：．先将各个方程化简成一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、方程，化简后为：，是关于的一元二次方程，符合题意； B、方程不是整式方程，因此不是关于的一元二次方程，不符合题意； C、方程，必须限定二次项系数不为0，即，因此不一定是关于的一元二次方程，不符合题意； D、方程，化简后为：，不是关于的一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2．A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：因为方程的两根分别是， 所以． 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义．将已知根代入方程中，即可得到一个关于未知系数的方程，进而求解得出系数的值．这是利用方程根的定义求解参数的基本方法． 将已知根代入方程，求出m的值． 【详解】解：因为方程的一个根是1， 所以将代入方程可得： ，解得 故选：C． 4．A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意，得到根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均每人传染了人，根据题意列出方程：求解即可；找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了人， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 则第三轮传染后有（人）； 故选：C ． 6．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握年平均增长率的计算方法是解题的关键．根据年平均增长率的概念，先求出2024年的游客人次，再求出2025年的游客人次，使其等于86万人次，从而列出方程． 【详解】解：由题意可得． 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设年平均增长率为x，可得出2024、2025年投入研发资金，结合到2025年累计三年共投入研发资金364万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得， ． 故选：A． 8．A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设这个数为x，根据先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设这个数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 这个数为1， 故选A． 9． ， 【分析】本题主要考查解一元二次方程—配方法，两边都加上一次项系数一半的平方，再写成完全平方式，继而开方可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴，， 故答案为：，． 10． 【分析】根据方程的根的判别式计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 11．5 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：因为a，b是方程的两个根， 所以，， 则， 所以 故答案为： 12．2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意可得，整理得到，再整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵a是方程的解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2024． 13．8 【分析】根据得故，类比，得到，解答即可． 本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方是解题的关键． 【详解】解：根据得， 故， 类比， 得到， 故． 故答案为：8． 14． 【分析】本题通过设每天“遗忘”的百分比为，依据“两天不练丢一半”这一条件建立一元二次方程，求解方程并结合实际意义确定的值．本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据等量关系列一元二次方程并求解是解题的关键． 【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为，由题意得 ． 解得，（，不符合题意，舍去 ）． ∵ ， ∴ 每天“遗忘”的百分比约为． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，平移的性质，设垂钓通道的宽度为，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为，宽为，根据题意列出方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：设垂钓通道的宽度为，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为，宽为， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，，不合题意，舍去， ∴， ∴垂钓通道的宽度为， 故答案为：． 16．秒或秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设经过秒钟，的面积等于，由题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设经过秒钟，的面积等于，由题意得， ， ，， ∴经过秒或秒时，的面积等于， 故答案为：秒或秒． 17． 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ ∴ 18． 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴ 19．， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 即， ∴， ∴， ． 20．或 【分析】本题考查了解含有绝对值符号的一元二次方程，根据绝对值的性质，可化简方程，根据因式分解法解方程，可得答案． 【详解】解：当时，， ∴， 解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）； 当时，， ∴， 解得，． 综上所述，原方程的解为或． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 实数的取值范围为． （2），是关于的一元二次方程的两实数根， ，． ， ， ， ，即， 解得：或， 当时，方程变为， ，不符合题意，舍去， 当时，方程变为， ，， ， ． 22．(1) (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，具体涉及以下知识点：增长率/下降率问题模型，销售利润问题分析，考查了对实际问题的综合分析能力． （1）根据原价和两次降价后的价格，利用降价公式建立方程求解降价百分率； （2）依据每千克的盈利、销售量与涨价的关系，构建盈利方程来确定涨价金额． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x． 第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元． 已知两次降价后每千克32元，可得方程． 解得 当时，； 当时，（舍去）． 所以每次下降的百分率是． （2）解：设每千克应涨价y元． 每千克盈利变为元，日销售量变为千克． 要保证每天盈利12000元，可列方程． ， 解得，． 因为每千克涨价不能超过8元，所以． 每千克应涨价5元． 23．(1)证明见解析 (2) (3)，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，勾股定理的应用． （1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出可知方程总有实数根． （2）根据根与系数的关系得，再由勾股定理得到，即可解得k的值，利用取舍k的值，即可得到的周长． （3）依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设是方程①和方程②的一个相同的实根，可得：．设是方程③和方程④的一个相同的实根，可得，可得．再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ， 无论k为任意实数值方程，总有实数根． （2）解：∵斜边长，另两边长b，c恰好是方程的两个根， ∴， ∵b、c为直角边，斜边长， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ， 舍去， ∴， ∴的周长， （3）解：依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④． 设是方程①和方程②的一个相同的实根，则，两方程相减， 解得：． 设是方程③和方程④的一个相同的实根，则，两方程相减， ∴解得， ∴． 又方程①的两根之积等于1， ∴也是方程①的根，则． 又， 两方程相减，得． 若，则方程①无实根， ∴， ∴． ∴， ∴， 由④得：． 又， 解得：，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $