2.6.2 圆与圆的位置关系导学案-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

2.6.2　圆与圆的位置关系 【学习目标】 1.理解圆与圆的几种位置关系的性质及判定.(直观想象) 2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.在之前，我们有研究过直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系，那么圆与圆的位置关系又有几种呢? 2.如何判断出两圆的位置关系? 3.已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，那么两圆外切. (　　) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交. (　　) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程. (　　) (4)过圆O：x2+y2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2. (　　) 2.圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系为(　　). A.相离　　　　　　　　B.相交 C.外切 D.内切 3.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是　　　　.  【合作探究】 探究1　圆与圆的位置关系 某地12月24日拍到的日环食的全过程如图所示. 可以用两个圆来表示上述变化过程. 根据上图，结合平面几何，判断圆与圆的位置关系有几种.能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系? 问题：判断两圆的位置关系有什么方法? 1.圆与圆的位置关系 圆与圆之间存在以下三种位置关系： (1)两圆相交，有两个公共点； (2)两圆相切，包括内切与外切，只有一个公共点； (3)两圆相离，包含外离与内含，没有公共点. 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判定方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的 关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| 0≤d<|r1-r2| (2)代数法：设两圆的一般方程分别为C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2个 1个 0个 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 例1　两圆C1：x2+y2-2x-3=0，C2：x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系是(　　). A.外离 B.相切 C.相交 D.内含 【方法总结】判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法. (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数判断两圆的位置关系. 若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则m=(　　). A.21 B.19 C.9 D.-11 探究2　两圆相切问题 例2　求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3，-)的圆的方程. 【方法总结】处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切和外切两种情况讨论. (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切)或两圆半径之和(外切). 若圆x2+y2=m与圆x2+y2+6x-8y-11=0内切，则m=　　　　.  探究3　相交弦及圆系方程问题 例3　已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. 【方法总结】 1.若圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. 2.公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. (3)已知圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1). 已知两圆C1：x2+y2+2y-3=0和C2：x2+y2-4x-2y+1=0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的弦长. 【随堂检测】 1.圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+(y-3)2=1的内公切线有且仅有(　　). A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 2.若圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　). A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0 3.已知圆x2+y2+2x-4y-5=0与圆x2+y2+2x-1=0相交于A，B两点，则公共弦AB的长度是　　　　.  4.已知以C(4，-3)为圆心的圆与圆O：x2+y2=1相切，求圆C的方程. 参考答案 2.6.2　圆与圆的位置关系 自主预习 预学忆思 1.按交点个数可分为三种位置关系. 2.通过两圆的交点个数或圆心距与两圆半径的大小关系判断.具体如下： 设两圆的圆心距为l，圆C1的半径为r1，圆C2的半径为r2，则判断圆C1与圆C2的位置关系的依据有以下几点： ①当l>r1+r2时，圆C1与圆C2外离； ②当l=r1+r2时，圆C1与圆C2外切； ③当|r1-r2|<l<r1+r2时，圆C1与圆C2相交； ④当l=|r1-r2|时，圆C1与圆C2内切； ⑤当l<|r1-r2|时，圆C1与圆C2内含. 3.联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程.当Δ>0时，两圆相交；当Δ=0时，两圆外切或内切；当Δ<0时，两圆外离或内含. 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.B　【解析】由题意得圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径r1=1；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径r2=2.因为1=r2-r1<|O1O2|=<r1+r2=3，所以两圆相交. 3.x+3y=0　【解析】圆(x-1)2+(y-3)2=20化为一般式为x2+y2-2x-6y-10=0，　① 又圆x2+y2=10，即x2+y2-10=0，　② 由①-②得x+3y=0，即为直线AB的方程. 合作探究 探究1　情境设置 问题：判断两圆的位置关系，我们可以类比直线与圆的位置关系的判定，目前我们只有初中学过的几何法，利用圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系判断. 新知运用 例1　C　【解析】(法一：几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x-1)2+y2=4，(x-2)2+(y+1)2=2，所以两圆的圆心分别为C1(1，0)，C2(2，-1)，半径分别为r1=2，r2=，则|C1C2|==，r1+r2=2+，r1-r2=2-，故r1-r2<|C1C2|<r1+r2，即两圆相交. (法二：代数法)由解得即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交. 巩固训练　C　【解析】因为x2+y2-6x-8y+m=0可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m， 所以25-m>0，得m<25，且圆C2的圆心为(3，4)，半径为. 由圆与圆外切，可得=1+，解得m=9.故选C. 探究2 例2　【解析】圆的标准方程为(x-1)2+y2=1， 则圆心为C(1，0)，半径为1. 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). 由题意，可得 解得或 即所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36. 巩固训练　1或121　【解析】圆x2+y2=m的圆心坐标为(0，0)，半径r1=， 圆x2+y2+6x-8y-11=0的圆心坐标为(-3，4)，半径r2=6.因为两圆内切，且圆心距d=5， 所以|6-|=5， 解得m=1或m=121. 探究3 例3　【解析】(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A，B两点的坐标是方程组的解. ①-②，得x-y+4=0. ∵A，B两点的坐标都满足此方程， ∴x-y+4=0为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆C1的圆心为(-3，0)，半径r=， ∴点C1到直线AB的距离d==， ∴|AB|=2=2=5， 即两圆的公共弦长为5. (2)(法一)解方程组得两圆的交点为A(-1，3)，B(-6，-2). 设所求圆的圆心为(a，b)，由于圆心在直线x-y-4=0上，故b=a-4， 则=，解得a=， 故圆心为，-，半径为. 故圆的方程为x-2+y+2=， 即x2+y2-x+7y-32=0. (法二)设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1)， 其圆心为-，-，代入x-y-4=0， 解得λ=-7. 故所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0. 巩固训练　【解析】(1)由消去y，整理得x2-2x=0，　① 因为Δ=(-2)2-4×1×0=4>0， 所以两圆相交. (2)将两圆方程作差得x+y-1=0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x+y-1=0， 由①得x1=0，x2=2，代入上式得y1=1，y2=-1， 所以两圆的交点坐标分别为(0，1)，(2，-1)， 由两点间的距离公式得=2， 所以所求弦长为2. 随堂检测 1.B　【解析】因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以两圆的内公切线的条数为2. 2.C　【解析】两圆的圆心分别为(2，-3)，(3，0)，又线段AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心坐标代入选项，即可排除A，B，D.故选C. 3.2　【解析】由题意知，AB所在的直线方程为(x2+y2+2x-4y-5)-(x2+y2+2x-1)=0，即y=-1. 因为圆x2+y2+2x-1=0的圆心为P(-1，0)，半径r=， 所以圆心P(-1，0)到直线y=-1的距离为1， 所以|AB|=2=2. 4.【解析】设圆C的半径为r， 圆心距d==5， 当圆C与圆O外切时，r+1=5，即r=4， 当圆C与圆O内切时，r-1=5，即r=6， ∴圆C的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36. 学科网（北京）股份有限公司 $