1.3.1等比数列及其通项公式导学案-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

1.3.1　等比数列及其通项公式

【学习目标】

1.能够通过实际问题理解等比数列、公比的定义，掌握等比中项的概念并会应用.(数学抽象、逻辑推理)

2.掌握等比数列的通项公式并会应用.(逻辑推理、数学运算)

【自主预习】

1.阅读教材第24页案例中的4个数列，类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律?你发现了什么规律?

 

 

 

 

 

2.等比数列的定义是什么?

 

 

 

 

3.等比数列的公比q能否为零?

 

 

 

 

4.若c是a，b的等比中项，则c2=ab，反之成立吗?

 

 

 

1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若an+1=qan，n∈N+且q≠0，则{an}是等比数列. (　　)

(2)在等比数列{an}中，an=a1qn，n∈N+. (　　)

(3)常数列一定是等比数列. (　　)

(4)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列. (　　)

2.已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为(　　).

A.an=2×3n+1

B.an=3×2n+1

C.an=2×3n-1

D.an=3×2n-1

3.下列数列为等比数列的是(　　).

A.2，22，3×22，…

B.，…

C.S-1，(S-1)2，(S-1)3，…

D.0，0，0，…

4.已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=　　　　. 

【合作探究】

探究1　等比数列的概念

(1)《孙子算经》中载有“出门望堤”问题：“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何?”

(2)《算学宝鉴》中有这样一个问题：“一文(钱)日增一倍，倍至三十日，问计几何?”

(3)“诸葛统兵”问题：“诸葛统领八员将，每将又分八个营.每营里面排八阵，每阵先锋有八人.每人旗头俱八个，每个旗头八队成.每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”

问题1：分别写出这三个问题所构成的数列.

问题2：类比等差数列的探究，观察这三个数列，你能发现它们的共同特点吗?

 

 

 

 

 

 

等比数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).

例1　判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比.

(1)1，，…；

(2)10，10，10，10，10，…；

(3)，2，3，4，…；

(4)1，0，1，0，1，0，…；

(5)1，-4，16，-64，256，…；

(6)-1，1，2，4，8，….

 

 

 

 

【方法总结】如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0(对于含参数的数列则需要分类讨论).

(多选题)以下数列中，不能判定是等比数列的有(　　).

A.数列1，2，6，18，…