1.2.2等差数列与一次函数导学案-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

1.2.2　等差数列与一次函数

【学习目标】

1.熟悉等差数列的相关性质，并能够灵活应用该知识进行运算.(逻辑推理、数学运算)

2.理解公差不为0的等差数列的通项公式就是一个定义域为全体正整数的一次函数.(数学抽象、直观想象)

3.通过函数的引入增强运用等差数列公式解决问题的能力.(逻辑推理、数学运算)

4.掌握等差数列的判定方法.(数学抽象、逻辑推理)

【自主预习】

1.等差数列中的奇数项、偶数项是否分别构成等差数列?若构成等差数列，则公差是多少?

 

 

 

 

2.等差数列去掉前面若干项后，剩下的项是否还构成等差数列?

 

 

 

 

3.在等差数列{an}中，若m，n，p，q，…成等差数列，则am，an，ap，aq，…也成等差数列吗?若成等差数列，则公差是多少?

 

 

 

 

4.由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得，an=dn+(a1-d)，那么这个等差数列

的图象与一次函数y=dx+(a1-d)(其中d≠0)图象之间有什么关系?

 

 

 

 

5.在等差数列{an}中，若an=3n+18，你能知道该数列的单调性吗?如何判断?

 

 

 

 

1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在等差数列{an}中，必有a10=a1+a9. (　　)

(2)若等差数列{an}的公差d>0，则{|an|}是递增数列. (　　)

(3)若等差数列{an}的公差d<0，则{an+nd}是递减数列. (　　)

(4)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…也是等差数列.              (　　)

2.在等差数列{an}中，a10=18，a2=2，则公差d=(　　).

A.-1　　　　B.2

C.4　　　　 D.6

3.若数列{an}是等差数列，且an=an2+n，则实数a=　　　　. 

4.在等差数列-5，-3，-2，-，…的每相邻两项间插入一个数，使之成为一个新的等差数列{an}，则新数列的通项公式为an=　　　　. 

【合作探究】

探究1　 等差数列与一次函数的关系

问题1：等差数列的图象是直线吗?

问题2：直线y=dx+(a1-d)的单调性如何判断?等差数列{an}的单调性又如何判断?

 

 

等差数列与一次函数的关系

(1)对于一般的等差数列{an}，其通项公式为an=a1+(n-1)d，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到y=dx+(a1-d).

(2)当d≠0时，y是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d)；当d=0时，y=a1(a1为常数).这两种情形的函数图象都是直线.

(3)等差数列的图象由相应函数图象上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成.

当d>0时，直线y=dx+(a1-d)从左至右上升，等差数列{an}递增；

当d<0时，直线y=dx+(a1-d)从左至右下降，等差数列{an}递减；

当d=0时，y=a1为水平方向的直线，数列{an}为常数列.

例1　已知(3，5)，(7，13)是等差数列{an}的图象上的两点.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)画出数列{an}的图象；

(3)判断数列{an}的单调性.

 

 

 

 

【方法总结】(1)等差数列的图象是一些孤立的点，这些点在一条直线上.(2)单调性可以根据公差的符号判断.

已知(5，11)，(8，5)是等差数列{an}的图象上的两点.

(1)求等差数列{an}的通项公式；

(2)画出等差数列{an}的图象；

(3)判断等差数列{an}的单调性.