1.2.1等差数列及其通项公式导学案-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

1.2.1　等差数列及其通项公式 【学习目标】 1.理解等差数列、等差中项的概念.(数学抽象) 2.掌握等差数列的通项公式，能利用通项公式解决等差数列的一些计算问题.(数学运算) 【自主预习】 1.等差数列是如何定义的? 2.观察所给的两个数，在两个数之间插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列? (1)2，4；(2)-1，5；(3)a，b；(4)0，0. 3.由等差数列的通项公式可以看出，要求等差数列{an}的通项公式，需要哪几个条件? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列. (　　) (2)若一个数列的前4项分别为1，2，3，4，则{an}(n>4)一定是等差数列. (　　) (3)在等差数列{an}中，a1，n，d，an任意给出三个，可求剩下的一个. (　　) 2.下列数列不是等差数列的是(　　). A.6，6，6，6，6 B.-2，-1，0，1，2 C.5，8，11，14 D.0，1，3，6，10 3.已知实数m是1和5的等差中项，则实数m=(　　). A. B.± C.3 D.±3 4.已知在等差数列{an}中，首项a1=4，公差d=-2，则通项公式为an=　　　　.  【合作探究】 探究1　等差数列的概念 ①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682，1758，1834，1910，1986. ②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位，常用的确定鞋号的脚长值按从大到小的顺序可排列为：275，270，265，260，255，250，…. ③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班里5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 问题：以上数列有什么共同特征?你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗? 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 微点评：(1)等差数列的定义中特别强调“从第2项起”，如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列. (2)等差数列的定义中特别强调作差的顺序，即从第2项起，每一项与它的前一项作差，而不是与后一项作差，切不可将减数与被减数弄颠倒. (3)一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的差尽管都是常数，这个数列也不一定是等差数列，当常数不同时，就不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”. (4)公差可以是正数、负数、0.常数列都是等差数列，公差为0. 例1　判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d. ①1，3，5，7，9，…； ②9，6，3，0，-3，…； ③1，3，4，5，6，…； ④7，7，7，7，7，…； ⑤1，，…. 【方法总结】利用定义法判定等差数列的方法：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列. (多选题)下列数列中，是等差数列的是(　　). A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2 探究2　等差数列的通项公式 问题：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗? 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d. 例2　在等差数列{an}中， (1)已知a1=2，d=3，n=10，求an； (2)已知a1=3，an=21，d=2，求n； (3)已知a1=12，a6=27，求d； (4)已知d=-，a7=8，求a1和an. 【方法总结】等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可. (2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项公式求出第四个参数，这一求未知量的过程，我们通常称为“知三求一”. (3)利用等差数列的通项公式不仅可以求出该数列中的任意指定项，也可以判断某个数是否为该数列中的项. 在等差数列{an}中，a1+a5=8，a4=7. (1)求数列的第10项. (2)112是数列{an}的第几项? (3)在80到110之间有多少项? 探究3　等差中项 问题：根据等差数列的定义，如果1，x，3这三个数成等差数列，你能求出x的值吗? 在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M叫作a与b的等差中项，并且2M=a+b. 微点评：(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一； (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即M=. 例3　(1)若a=，b=，则a，b的等差中项为(　　). A. B. C. D. (2)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　　). A.2 B.3 C.6 D.9 【方法总结】若a，A，b成等差数列，则A=；反之，由A=也可得到a，A，b成等差数列.因此A是a，b的等差中项⇔A=. 在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 【随堂检测】 1.已知等差数列{an}的通项公式为an=3-2n，则它的公差d为(　　). A.2 B.3 C.-2 D.-3 2.一个等差数列的前4项依次是a，x，b，2x(b≠0，x≠0)，则=(　　). A. B. C. D. 3.在等差数列{an}中，a3=0，a7-2a4=-1，则公差d=(　　). A.-2 B.- C. D.2 4.已知等差数列1，-1，-3，-5，…，-89，则它的项数是　　　　.  参考答案 1.2.1　等差数列及其通项公式 自主预习 预学忆思 1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列. 2.(1)3；(2)2；(3)；(4)0. 3.只要知道等差数列的首项a1和公差d，代入公式an=a1+(n-1)d即可. 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)√ 2.D　【解析】A中给出的是常数列，是等差数列，公差为0； B中给出的数列是等差数列，公差为1； C中给出的数列是等差数列，公差为3； D中给出的数列中，第2项减去第1项等于1，第3项减去第2项等于2，故此数列不是等差数列. 3.C　【解析】由题意知，2m=1+5=6，解得m=3. 4.6-2n　【解析】∵a1=4，d=-2，∴an=4+(n-1)×(-2)=6-2n. 合作探究 探究1　情境设置 问题：对于①，我们发现1 758-1 682=76，1 834-1 758=76，1 910-1 834=76，1 986-1 910=76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1 986+76=2 062；对于②有270-275=-5，…；对于③，10-10=0，有同样的取值规律. 新知运用 例1　【解析】①是，a1=1，d=2；②是，a1=9，d=-3；③不是；④是，a1=7，d=0；⑤不是. 巩固训练　ABD　【解析】A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列； C中，因为24-25≠23-24≠22-23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列. 探究2　情境设置 问题：设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an-an-1=d(n∈N+，且n≥2)， 思路一：an=an-1+d，故有a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，…， 归纳可得，an=a1+(n-1)d(n∈N+，且n≥2). 又当n=1时，上式显然成立， 所以an=a1+(n-1)d. 思路二：a2-a1=d， a3-a2=d， a4-a3=d， …… an-an-1=d(n≥2)， 左右两边分别相加可得，an-a1=(n-1)d，即an=a1+(n-1)d(n≥2). 又当n=1时，上式显然成立， 所以an=a1+(n-1)d. 新知运用 例2　【解析】(1)an=a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29. (2)由an=a1+(n-1)d，得3+2(n-1)=21，解得n=10. (3)由a6=a1+5d，得12+5d=27，解得d=3. (4)由a7=a1+6d，得a1-2=8，解得a1=10， 所以an=a1+(n-1)d=10-(n-1)=-n+. 巩固训练　【解析】设等差数列{an}的公差为d， 则解得 (1)a10=a1+9d=-2+27=25. (2)an=-2+(n-1)×3=3n-5， 令112=3n-5，解得n=39， 所以112是数列{an}的第39项. (3)令80<3n-5<110， 解得28<n<38， 所以n的取值为29，30，…，38，共10项. 探究3　情境设置 问题：由定义可知x-1=3-x，即2x=1+3，解得x=2. 新知运用 例3　(1)A　(2)B　【解析】(1)由题意知a，b的等差中项为+=(-++)=. (2)因为m和2n的等差中项为4，所以m+2n=8.又因为2m和n的等差中项为5，所以2m+n=10. 由解得 所以m和n的等差中项为=3. 巩固训练　【解析】由题意知，-1，a，b，c，7成等差数列， 即b是-1与7的等差中项， 则b==3， 又a是-1与b的等差中项， 则a===1. 又c是b与7的等差中项， 则c===5. 因此该数列为-1，1，3，5，7. 随堂检测 1.C　【解析】由等差数列的定义，得d=-2. 2.C　【解析】∵b是x，2x的等差中项，∴b==， 又∵x是a，b的等差中项，∴2x=a+b，∴a=， ∴=. 3.B　【解析】由题意得 解得 4.46　【解析】由题意知d=-1-1=-2，设an=-89，则-89=a1+(n-1)d=1-2(n-1)，解得n=46. 学科网（北京）股份有限公司 $