第三章 圆锥曲线（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 上册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套云南专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查了椭圆的概念、椭圆的几何性质、双曲线的概念、双曲线的几何性质等常见考点。 第三章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知椭圆，则椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．双曲线的焦距为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 3．设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 4．设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在 5．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 6．焦点在轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 7．蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线 的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C： (a>0)的蒙日圆，a=（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是（　　） A．圆 B．椭圆 C．射线 D．线段 9．若双曲线的渐近线方程为，其中一个焦点是，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 10．已知平面直角坐标系中，椭圆：（）的左顶点和上顶点分别为，过椭圆左焦点且平行于直线的直线交轴于点.若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．焦点在y轴上，长轴长为2，焦距为2的椭圆的标准方程是（    ） A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1 12．已知椭圆的左、右焦点为，，上、下顶点分别，，若四边形为正方形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，其中为上顶点，且，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在该椭圆上，且，则点到轴的距离为 A． B． C． D． 15．已知抛物线的焦点F恰为双曲线的右焦点，且两曲线交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．设P是双曲线在第一象限内的任意一点，若是双曲线左、右两个焦点，则等于 . 17．在平面直角坐标系中，双曲线的焦距为 .若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则实数的值为 . 18．抛物线上的一点P到y轴的距离为，则点P到焦点的距离为 . 19．已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是 . 20．已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，求抛物线C的方程. 22．已知双曲线C：的离心率为，点是双曲线的一个顶点． (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长 23． 已知抛物线方程为，在轴上截距为的直线与抛物线交于两点，为坐标原点．若，求直线的方程． 24．已知抛物线上的一点到焦点的距离与到轴的距离之差是2. (1)求抛物线的标准方程； (2)若为抛物线的焦点弦，且，点为的中点，求点的横坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套云南专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查了椭圆的概念、椭圆的几何性质、双曲线的概念、双曲线的几何性质等常见考点。 第三章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知椭圆，则椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的方程得出的值，再由求出，写出焦点坐标即可. 【详解】已知椭圆，焦点在轴上， 且， 则，焦点坐标为. 故选：C. 2．双曲线的焦距为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程确定的值，再根据求出的值，即可求出焦距. 【详解】已知双曲线， 其中， 所以， 则双曲线的焦距为. 故选：C. 3．设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可求. 【详解】 是椭圆 上的动点， 根据椭圆的定义到该椭圆的两个焦点的距离之和为， ，得. 故选：C. 4．设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在 【答案】B 【分析】由判断出正确答案. 【详解】依题意，、是两个定点，P是一个动点， 且满足，所以动点P的轨迹是双曲线的一支. 故选：B 5．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出两双曲线的渐近线方程，利用双曲线有相同的渐近线列方程求解即可. 【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程为． 对于双曲线，所以，解得， 所以双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为， 结合题意知，解得． 故选：B. 6．焦点在轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的右焦点到短轴端点距离可得，由此确定的值，再由到左顶点的距离为3，得出，最后由的关系求出的值，即可得出椭圆方程. 【详解】因为椭圆的右焦点到短轴端点距离为2， 所以，即，则 由椭圆的右焦点到左顶点的距离为3， 所以，即，所以， 因为椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程是. 故选：A. 7．蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线 的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C： (a>0)的蒙日圆，a=（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由题意可得椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，设特殊值法，求出两条切线的交点坐标，代入蒙日圆的方程可得的值． 【详解】因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为，，则两条切线分别是，，这两条切线相互垂直，且两条直线的交点为，而在蒙日圆上，所以＝，解得＝. 故选：A 【点睛】本小题主要考查利用给定的定理进行计算，考查椭圆的切线方程，属于基础题. 8．平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是（　　） A．圆 B．椭圆 C．射线 D．线段 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义以及平面内点与两定点距离的关系来判断点的轨迹. 【详解】选项A：圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，与题目中所给条件不符，所以A选项错误. 选项B：椭圆是平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹， 当距离之和等于时，不满足椭圆的定义，所以B选项错误. 选项C：射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，与题目中所给条件没有直接关联，所以C选项错误. 选项D：设两个定点为，平面内一点满足. 因为只有当在线段上时，才有， 否则根据三角形的性质，所以点的轨迹就是线段，所以D选项正确. 故选：D. 9．若双曲线的渐近线方程为，其中一个焦点是，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合双曲线渐近线方程，列出方程组求出的值即可得解. 【详解】因为双曲线的一个焦点为，所以双曲线的焦点在轴上，且， 则渐近线方程为， 所以，解得， 双曲线方程为， 故选：. 10．已知平面直角坐标系中，椭圆：（）的左顶点和上顶点分别为，过椭圆左焦点且平行于直线的直线交轴于点.若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求直线的斜率，再求过左焦点且平行于直线的直线方程，求出点的坐标后，由关系式得出关于的方程，化简即可. 【详解】由椭圆：的方程可得： ，其中， 则， 过椭圆左焦点且平行于直线的直线方程为：， 将代入该直线方程，可得点的坐标为， 若，则，得. 故选：D. 11．焦点在y轴上，长轴长为2，焦距为2的椭圆的标准方程是（    ） A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1 【答案】A 【分析】根据焦点位置设椭圆方程，再根据长轴长和焦距求，进而求出标准方程. 【详解】椭圆焦点在y轴上时，设椭圆方程为， 由长轴长可得：， 由焦距可得：， 则， 则椭圆的标准方程是. 故选：. 12．已知椭圆的左、右焦点为，，上、下顶点分别，，若四边形为正方形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据椭圆的性质得出四边形各顶点的坐标，再结合正方形的性质得到、、的关系，最后根据椭圆离心率公式求解离心率. 【详解】因为椭圆， 所以，，其中，，， 因为四边形为正方形，所以（为坐标原点）， 可得，，则， 又，得到， 即离心率. 故选：B. 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，其中为上顶点，且，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，易得点的坐标，结合向量的坐标表示，可得点A的坐标，代入椭圆方程，结合，即可化简求解． 【详解】因为椭圆的左、右焦点分别为，， 所以， 又为上顶点，所以， 因为， 设点坐标为， 所以，， 所以，解得， 所以， 将点代入椭圆方程得， 即，，因为， ． 故选：B． 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在该椭圆上，且，则点到轴的距离为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设M（x，y），根据点在椭圆上以及平面向量数量积的坐标运算列方程求解即可. 【详解】设M（x，y），则椭圆…①， ∵椭圆的焦点分别是F1，F2， ∴F1 ， =3…② 由①②得x2= ，∴点M到y轴的距离为 故选：B 15．已知抛物线的焦点F恰为双曲线的右焦点，且两曲线交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线和双曲线的性质即可求解. 【详解】抛物线的焦点， 故双曲线的右焦点为， 设两曲线的交点为A、B， 根据图形的性质可知，两曲线交点的连线AB垂直于x轴， 故AB为双曲线的通径，则有， 又因为在双曲线上，故， 设， ， 故选：B 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．设P是双曲线在第一象限内的任意一点，若是双曲线左、右两个焦点，则等于 . 【答案】10 【详解】根据双曲线的定义且P在第一象限，所以|PF1|−|PF2|=2a=10 17．在平面直角坐标系中，双曲线的焦距为 .若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则实数的值为 . 【答案】 4 4 【分析】利用及抛物线的焦点横坐标为计算即可. 【详解】由已知，，故，所以焦距为，又双曲线右焦点为， 所以有，. 故答案为：（1）4；（2）4. 【点睛】本题考查抛物线、双曲线的定义及应用，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 18．抛物线上的一点P到y轴的距离为，则点P到焦点的距离为 . 【答案】 【分析】由抛物线方程求出准线方程，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】因为抛物线方程为， 所以准线方程为， 又点P到y轴的距离为， 故点P到准线的距离为， 所以点P到焦点的距离为. 故答案为： 19．已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将抛物线上的点离点A的距离用两点距离的平方表示出来，再研究二次函数的最值． 【详解】设点P（x，y）为抛物线上的任意一点，则点P离点A（0，a）的距离的平方为 |AP|2=x2+（y﹣a）2 =x2+y2﹣2ay+a2， ∵x2=2y， ∴|AP|2=2y+y2﹣2ay+a2（y≥0） =y2+2（1﹣a）y+a2（y≥0）， ∴对称轴为a﹣1， ∵离点A（0，a）最近的点恰好是顶点， ∴a﹣1≤0解得a≤1， 又a＞0， ∴0＜a≤1， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数在给定区间的最值的求法：弄清对称轴与区间的关系，在y=0时取到最小值，函数在定义域内递增，对称轴在区间左边． 20．已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 . 【答案】或 【分析】分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合根的判别式得到方程，求出答案. 【详解】当过的直线斜率不存在时，方程为，与相切，满足要求， 当过的直线斜率存在时，设切线方程为，联立得， ， 令，解得， 故，即. 故答案为：或 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，求抛物线C的方程. 【答案】 【分析】求出双曲线的焦点坐标，即抛物线的焦点坐标，即可得解. 【详解】因为双曲线的焦点为. 设抛物线方程为，则，所以， 所以抛物线方程为x. 22．已知双曲线C：的离心率为，点是双曲线的一个顶点． (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知双曲线的顶点和离心率，即可求出，即可得出双曲线方程； （2）先根据题意求出直线方程，求A，B两点的距离，即是求直线与双曲线截得的弦长. 【详解】（1）因为双曲线C：的离心率为， 点是双曲线的一个顶点， 所以，解得， 又因为， 所以双曲线的方程为：. （2）双曲线右焦点为，， 所以直线l的方程为. 联立, 设， 则， 根据双曲线的弦长公式得. 23．已知抛物线方程为，在轴上截距为的直线与抛物线交于两点，为坐标原点．若，求直线的方程． 【答案】 【分析】将直线方程代入抛物线方程，利用OM⊥ON，转化为x1x2+y1y2＝0，从而可求k的值，进而可求直线l的方程． 【详解】依题意，直线l的斜率k是存在的， 设直线l的方程为y＝kx+2，由，得ky2﹣2y+4＝0， ∵直线l与抛物线相交于两点，∴ ，解得k＜且k≠0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1y2＝，从而x1x2＝， ∵OM⊥ON，∴ ， ， 即x1x2+y1y2＝0，，解得k＝﹣1符合题意， 综上，直线l的方程为y＝﹣x+2. 24．已知抛物线上的一点到焦点的距离与到轴的距离之差是2. (1)求抛物线的标准方程； (2)若为抛物线的焦点弦，且，点为的中点，求点的横坐标. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）由抛物线的定义可得出关于的等式，求出值，即可得出抛物线的标准方程. （2）设，，由抛物线定义与题目条件求出，即可求出点的横坐标. 【详解】（1）设. 准线. 由抛物线定义，到焦点距离等于到准线距离等于. 到轴距离等于. 由题意知. 故抛物线的标准方程为. （2）设，，焦点. 为抛物线的焦点弦. . ，. . . . 故点的横坐标为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $