第四章 立体几何（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 上册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套云南专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查了平面、直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等常见考点。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知是两个平面，是两条直线，则下列命题错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据线面平行、线面垂直的性质定理即可判断. 【详解】解：对A：如果，则直线与平面没有交点，即，故A正确； 对B：如果，那么，故B正确； 对C：如果，那么，故C正确； 对D：如果，那么、或在平面内，故D错误. 故选：D 2．如图所示，设 分别是长方体的棱，，，的中点，则平面与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【答案】A 【分析】根据线面平行判定定理，证明平面和平面，再由面面平行判定定理证明平面平面即可求解. 【详解】因为分别是的中点， 且在长方体中且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形 所以. 因为平面，平面， 所以平面. 同理，平面. 又因为，平面，平面， 所以平面平面. 故选：A. 3．已知两条不同的直线与平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由图形中线面平行、线面垂直的性质判断即可. 【详解】A选项，若，则可能平行、相交或异面，故A选项错误； B选项，若，当共面时，可能，故B选项错误； C选项，若，则或，故C选项错误； D选项，由线面垂直的性质，若，则，故D选项错误. 故选：D. 4．如图，在长方体中，是上一点，，，，是上一点，且平面，是棱与平面的交点，则的长为 A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】过做交于，连， 在长方体中， 即确定平面， 平面平面，平面， 四边形是平行四边形， ， 延长交延长线于，连交于， ， . 故选：B. 【点睛】解本题的关键是利用线面平行的性质研究线线、线面的位置关系.寻找线线平行的一般办法有：一、利用中位线定理，二、利用平形四边形的性质，三、利用两直线都垂直于同一平面，四、利用线面平行的性质等；寻找线面平行的一般方法有：一、由线线平行得线面平行；二、由面面平行得线线平行. 5．已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，且与所成的角和与所成的角相等，则 【答案】C 【分析】利用线面的位置关系，结合空间想象即可得解. 【详解】若，，，则与有可能平行，故A错误； 若，，则可能在内，故B错误； 若，，则，又，则，故C正确； 若，且与所成的角和与所成的角相等，则与有可能相交，故D错误. 故选：C. 6．已知直线和，平面，且，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】由题，， 当时，根据线面平行的判定定理可得，充分性成立； 当时，，，则和可能异面，不一定平行，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 7．设是两条不同的直线，是三个不同的平面.下列命题中正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，则与相交或平行，故A错误； 若，则或，故B错误； 若，则或，故C错误； 若，则，故D错误； 故选：D 8．在正方体中，面对角线和所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将异面直线通过平行直线平移成相交直线，再根据正方体的性质即可得解. 【详解】连接与， 因为在正方体中，， 所以和所成的角即为和所成的角， 又，，为正方体的面对角线，且， 所以为等边三角形，即， 所以面对角线和所成的角为. 故选：C. 9．已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据面面垂直的性质与线面垂直的性质，结合充分、必要条件的定义即可求解． 【详解】由题意知，， 若，当时，有；当时，与可能相交、平行、垂直． 若，由，得． 故“”是“”是必要不充分条件． 故选：B. 10．已知是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是（   ） A．若，垂直于同一平面，则与可能相交 B．若平行于同一平面，则m与n可能异面 C．若不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 D．若，不平行，则在内不存在与平行的直线 【答案】D 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面之间的关系逐项分析即可. 【详解】若，垂直于同一平面，则与平行或相交，故A正确， 若平行于同一平面，则m与n可能平行，相交或异面，故B正确， 根据垂直于同一个平面的两条直线平行可知， 若不平行，则m与n不可能垂直于同一平面，故C正确， 若，相交时，如图，在内存在与平行的直线，故D错误， 故选：D. 11．在正方体中，两异面直线与所成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线所成角的定义，利用与的平行关系，转化为和之间的夹角，构造等边三角形即可求解. 【详解】如图，在正方体中，连接，， ，且 ，四边形是平行四边形，， 或其补角即为异面直线与所成的角. 设正方体的棱长为，则， 是等边三角形，， 异面直线与所成的角为 故选：B. 12．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（       ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线面角的定义，结合线面垂直的判定定理求得为与平面所成的角，再利用勾股定理即可得解. 【详解】如图，取的中点，连接.    因为三棱柱为直三棱柱，则平面. 又平面，所以. 由题意得，为等腰直角三角形，且为斜边的中点，则. 因为，且两直线在平面内，所以平面. 则为与平面所成的角. 又平面，所以，则是直角三角形. 在等腰直角三角形中，，则. 在直三棱柱中，则. 所以在直角中，. 故选：C. 13．如图，四棱锥的底面为正方形，平面，、分别是、的中点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】A 【分析】利用线线平行证线面平行，利用线面垂直证线线垂直，利用线线垂直证线面垂直即可. 【详解】作的中点，连接，    因为是的中点，是的中点，则为的中位线， 则，， 因为底面为正方形，是的中点，则， 所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以不平行，所以不平行，A错误； 因为平面，底面，则，B正确； 因为，平面，平面，则平面，C正确； 因为平面，底面，则， 又底面为正方形，则， 因为平面，平面，且， 所以平面，D正确； 故选：A. 14．已知在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正四面体的棱长为，取的中点，连结，，则，是与所成的角，由此能求出直线与所成角的余弦值. 【详解】如图，设正四面体的棱长为，取的中点，连接， 是的中点，，， 是直线与所成的角（或其补角）， 设的中点为，则， 在中，， ， 直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 15．菱形 的边长为 ，，沿对角线 折成一个四面体，使得平面 平面 ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，根据二面角的定义，可知，根据等边三角形的性质及四面体外接球的结构特征，可判断球心在平面内的射影是的重心，可设， 结合勾股定理，即可列出等式，继而求出球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】 如图，取的中点E，连接， 因为菱形 的边长为 ，， 所以都是等边三角形， 所以, 所以是二面角的平面角， 因为平面 平面 ， 所以，即, 因为, 所以，, 设经过这个四面体所有顶点的球，球心为O, 则球心在平面内的射影是的外心，也是重心， 所以, 过作于E,则, 设球的半径为R，，则， 所以, 即， 所以，解得， 所以球的半径， 所以球的表面积. 故选：A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．在如图所示的正方体中，垂直于平面的平面有 .（写出两个，多写不加分，写错扣分）    【答案】平面，平面（答案不唯一） 【分析】证明出线面垂直，得到面面垂直，得到答案. 【详解】连接， 因为四边形为正方形，所以⊥， 因为⊥平面，平面， 所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以平面⊥平面， 同理平面， 所以平面⊥平面， 故垂直于平面的平面有平面，平面    故答案为：平面，平面(答案不唯一) 17．棱长为的正方体中，二面角的正切值为 ． 【答案】 【分析】取中点O，连接，证明即为所求二面角的平面角，在中求解即得. 【详解】 如图，取中点O，连接， ∵正方形，∴， 又易知，为的中点，所以， ∴即为所求二面角的平面角， 因为平面，平面， ∴，∵， 在中，． 故答案为：. 18．在正方体中，直线与所成角的度数为 . 【答案】 【分析】连接和，根据正方体的结构特征，得到，推出为直线与所成角，进而得出结果. 【详解】连接和，如图： 在正方体中， 所以直线与所成角为， 因为均为正方体面的对角线， 所以，即三角形为等边三角形， 所以， 即直线与所成角的度数为. 故答案为： 19．已知直线a和平面，若，则a与的位置关系为 ． 【答案】或 【分析】由直线与平面的位置关系判断． 【详解】由题意平面与垂直，直线与平面垂直， 则直线在平面内，或者与平面平行. 故答案为：或. 20．已知长方体，.在所有的面对角线所在直线中，与平面所成的角为的面对角线可以是直线 .（写出符合题意的一条直线即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用长方体的性质，结合已知线段的长度可得面对角线，即它们与面的夹角均为，可确定符合要求的直线. 【详解】 如图，连接， ∵长方体中，， ∴面对角线， 则有， ∵均与平面垂直， ∴与面所成的角分别为. 故答案为：（答案不唯一）. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．指出下列命题是否正确，并说明理由： (1)如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行； (2)过直线外一点有无数个平面与这条直线平行； (3)过平面外一点有无数条直线与这个平面平行． 【答案】(1)错误，理由见详解. (2)正确，理由见详解. (3)正确，理由见详解. 【分析】（1）由线面的位置关系可判断. （2）由线面平行的判定定理可判断. （3）由面面平行的性质定理可判断. 【详解】（1）如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行或相交，错误. （2）过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 过这条直线有无数个平面与这条直线平行，正确. （3）过平面外一点有无数条直线与这个平面平行， 且这无数条直线在同一平面内，正确. 22．判断下列命题的真假. （1）如果两个平面不相交，那么它们就没有公共点； （2）如果一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行； （3）如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； （4）分别在两个平行平面内的两条直线平行. 【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题. 【解析】根据平面与平面的位置关系，可判断（1）真假；根据面面平行的判定定理，可判断（2）真假；由面面平行的定义，可判断（3）真假；根据直线的位置关系，可判断（4）的真假. 【详解】（1）两平面位置关系是相交或平行，（1）为真命题； （2）若一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面， 那么这两个平面可能相交，（2）为假命题； （3）一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面， 则必有两条相交的直线平行另一个平面， 由面面平行的判定定理可得，（3）为真命题； （4）分别在两个平行平面内的两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，（4）为假命题. 综上：（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题. 【点睛】本题考查平面与平面位置关系以及面面平行的判定，考查直线与直线的位置关系，属于基础题. 23．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧棱平面，且，求： (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据题意，结合线面垂直的判定定理和性质定理及菱形的性质，易证是二面角的平面角，结合解直角三角形，即可求解； （2）根据题意，结合棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】（1） 如图，连接，交于O，连接， 因为底面是边长为2的菱形， 所以, 因为平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 所以是二面角的平面角， 因为， 因为， 所以, 所以， 在中，， 所以， 即二面角的大小为； （2）由题意，,, 所以， 所以三棱锥的体积. 24．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3). 【分析】（1）根据线面平行判定定理求证. （2）先根据已知找到二面角的平面角，再求值. （3）先根据已知条件，找到线面所成角，再求值. 【详解】（1） 证明：如图所示，设与相交于点，连接，则为的中点， 因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为正三棱柱，所以平面， ∵平面， ∴， 又因为是正三角形，是中点， ∴， 又∵，平面， ∴平面， ∵平面， ∴， 所以就是二面角的平面角， 因为，， 所以，且， 则， 即二面角的大小是. （3）由（2）可知平面， ∵平面， 所以平面平面， 作于， ∵，平面 ∴， ∵，且平面， ∴平面， 连接，则就是直线与平面所成的角， 在中，，， 所以， 在矩形中，， 所以. 即直线与平面所成角的正弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套云南专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查了平面、直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等常见考点。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知是两个平面，是两条直线，则下列命题错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．如图所示，设 分别是长方体的棱，，，的中点，则平面与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 3．已知两条不同的直线与平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图，在长方体中，是上一点，，，，是上一点，且平面，是棱与平面的交点，则的长为 A．1 B． C． D． 5．已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，且与所成的角和与所成的角相等，则 6．已知直线和，平面，且，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设是两条不同的直线，是三个不同的平面.下列命题中正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．在正方体中，面对角线和所成的角为（    ） A． B． C． D． 9．已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是（   ） A．若，垂直于同一平面，则与可能相交 B．若平行于同一平面，则m与n可能异面 C．若不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 D．若，不平行，则在内不存在与平行的直线 11．在正方体中，两异面直线与所成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 12．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（       ）    A． B． C． D． 13．如图，四棱锥的底面为正方形，平面，、分别是、的中点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 14．已知在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 15．菱形 的边长为 ，，沿对角线 折成一个四面体，使得平面 平面 ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．在如图所示的正方体中，垂直于平面的平面有 .（写出两个，多写不加分，写错扣分）    17．棱长为的正方体中，二面角的正切值为 ． 18．在正方体中，直线与所成角的度数为 . 19．已知直线a和平面，若，则a与的位置关系为 ． 20．已知长方体，.在所有的面对角线所在直线中，与平面所成的角为的面对角线可以是直线 .（写出符合题意的一条直线即可） 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．指出下列命题是否正确，并说明理由： (1)如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行； (2)过直线外一点有无数个平面与这条直线平行； (3)过平面外一点有无数条直线与这个平面平行． 22．判断下列命题的真假. （1）如果两个平面不相交，那么它们就没有公共点； （2）如果一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行； （3）如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； （4）分别在两个平行平面内的两条直线平行. 23．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧棱平面，且，求： (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积． 24．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $