第一章有理数章节小结与复习（知识点梳理+考点解析+达标检测）2025-2026学年人教版数学七年级上册大单元教学分层优化练

该初中数学导学案围绕“有理数”单元设计，以数轴为纽带串联概念理解、性质探究与应用拓展，通过知识点归纳、考点分类解析和达标检测三阶递进结构，构建从基础到综合的完整学习路径。每课时任务环环相扣，如从数轴表示到相反数几何意义，再到绝对值化简与大小比较，层层深入，帮助学生建立清晰的知识网络，实现系统性复习。 亮点在于融合“数学眼光”“数学思维”“数学语言”三大核心素养，设计“数轴上的点与数的关系探究”“多重符号化简规律发现”等真实情境任务，引导学生用符号意识抽象数量关系，用推理能力分析数的属性，用数据观念解释实际问题。例如在例7中通过动点运动问题，让学生在动态变化中理解数轴距离与代数表达的对应关系，促进深度学习。整套学案既提供可操作的学习支架，又设置分层挑战题型，有效支持学生单元整体建构，也为教师开展大单元教学提供科学、实用的教学蓝图。

2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 第一章有理数章节小结与复习（知识点梳理+考点解析+达标检测） 第一部分：知识点归纳 1.整数和分数统称为有理数 2.分类： 1．按照性质分类： 2．按照符号分类： 3．按小数分类： 注意：正数和0统称为非负数；负数和零统称为非正数 1．数轴： （1）概念：在数学中,可以用一条直线上的点表示数,它规定了原点、正方向和单位长度,这条直线叫做数轴； （2）三要素： ①原点：在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点； ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向,从原点向左（或向下）为负方向； ③单位长度：直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3……；从原点向左,用类似的方法,依次表示 2．数轴上的点与有理数的关系 （1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。 （2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如,数轴上的点π不是有理数） 3．利用数轴表示两数大小 ①在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大； ②正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数； ③两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。 4．可以表示什么数 （1）,表示是正数；反之,是正数,则； （2）,表示是负数；反之,是负数,则 （3）,表示是0；反之,是0,则 １．相反数的概念：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意以下几点： ⑴相反数是成对出现的； ⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 ２．相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是0； ⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0； ⑷互为相反数的非零两数商为负1，即a，b互为相反数，则=1（a0，b0））。 ３．相反数的几何意义:在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 ４．相反数的求法 ⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“”即可求得（如：5的相反数是5）； ⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“”，然后化简（如；5a+b的相反数是（5a+b），化简得5ab）； ⑶求前面带“”的单个数，也应先用括号括起来再添“”，然后化简（如：5的相反数是（5），化简得5）。 ５．相反数的表示方法：一般地，数a的相反数是a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。 当a>0时，a<0（正数的相反数是负数）；当a<0时，a>0（负数的相反数是正数）； 当a=0时，a=0，（0的相反数是0）。 ６．多重符号的化简 多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“”号的个数决定最后化简结果；即：“”的个数是奇数时，结果为负，“”的个数是偶数时，结果为正。 １．绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 ２．绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0。 可用字母表示为：①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=a；③如果a=0，那么|a|=0。 可归纳为①：a≥0，<═>|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数）。 ②a≤0，<═>|a|=a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数）。 ３．绝对值的性质 （1）任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即： ⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0．即：a=0<═>|a|=0； ⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0．即：|a|≥0； ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a； ⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a； ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|； ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=|b； ⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。 （非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0） ４．绝对值的化简 ①当a≥0时，|a|=a；②当a≤0时，|a|=||a ５．已知一个数的绝对值，求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。 （1）利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； （2）利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数； （3）若a>b，b>c，则a>c； （4）作差法，ab>0←→a>b；ab<0←→a<b；ab=0←→a=b； （5）大数|小数＞0，小数|大数＜0． 第二部分：考点分类解析 例1．在，0，，中，正数的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】．已知下列各数：，，3.14，0，，，6，，其中负数有（　　）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】．下列数中，属于负数的是（　　）． A． B．0 C．3 D． 【变式1-3】．在中，负数共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．下列四组量中，不具有相反意义的是（　　） A．海拔“上升米”与“下降米” B．温度计上“零上”与“零下” C．盈利元与亏本元 D．长米与重千克 【变式2-1】．世界上最早记载负数的是中国古代的数学著作《九章算术》，负数可以用来表示具有相反意义的量．规定盈利为正，如盈利 30 元，记作 +30 元，那么－50 元表示（ ） A．支出 50 元 B．收入 50 元 C．盈利 50 元 D．亏损 50 元 【变式2-2】．下列各组量中具有相反意义的量是（　　） A．胜3局与输2局 B．身高增加3厘米与体重减轻 C．气温升高与气温为 D．向右走6米与向西走5米 ． 【变式2-3】．我国的珠穆朗玛峰高于海平面，可记为，2020年11月10日，我国自主研发的载人潜水器“奋斗者”号，在西太平洋马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度为，则坐底深度为可记为（　　） A． B． C． D． 例3．下列数字中有理数共有（　　）个 ，，，，，，，（每两个1之间依次增加一个0） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3-1】．在、、、、0、、中，非负数共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-2】．下列说法正确的是(　　) A．0不是正数，不是负数，也不是整数 B．正整数与负整数包括所有的整数 C．-0.6是分数，负数，也是有理数 D．没有最小的有理数，也没有最小的自然数 【变式3-3】．在15，，0，5，，2，，316%这几个数中，非负数的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 例4．下列说法正确的是（　　） A．零既是正数，又是负数 B．零是最小的整数 C．零是绝对值最小的有理数 D．零是最大的负数 【变式4-1】．下列说法正确的是（　　） A．一定是负数 B．一个数不是正数就是负数 C．0是负数 D．在正数前面加“”号，就成了负数 【变式4-2】．下列说法正确的是（　　） A．0是最小的整数 B．任何数的绝对值都是正数 C．是负数 D．绝对值等于它本身的数是正数和0 【变式4-3】． 小丽说： “一个数，如果不是正数， 必定就是负数。”你认为她说的对吗?为什么? 例5．将下列各数填在相应的横线上： 正分数：{ }； 正整数：{ }； 整数：{ }； 有理数：{ }. 【变式5-1】．把下列各数的序号填入相应的类别中. ①-314；②；③|-4|；④0.618；⑤0；⑥；⑦-1；⑧6%；⑨+2. 自然数： ； 正分数： ； 负整数： ； 负有理数： . 【变式5-2】．把下列各数分别填入相应的集合内 ，，0，，12，，，，． 负有理数集合{ } 正分数集合{ } 非负整数集合{ } 【变式5-3】．把下列各数分别填入它所在的集合里： ，，，，，，，， （1）正数集合{ ……}； （2）整数集合{ ……}； （3）分数集合{ ……}； （4）非负整数集合{ ……}． 例6．下列各图中所画数轴正确的是（　　） A． B． C． D． ． 【变式6-1】．如图所示，所画数轴完全正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-2】．下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点。其中正确的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 【变式6-3】．如图所画数轴正确的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例7．画一条数轴，并把，，，表示在数轴上，并用“”连接起来． 【变式7-1】．如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有A，B，C三个点，其中A到B的距离为3，B到C的距离为8． （1）若以B为原点，则数轴上点A所表示的数是______，点C所表示的数是______． （2）记A，B，C所对应的数的和为m，原点到B的距离为2，求m的值． 【变式7-2】．在数轴上把下列各数表示出来，并用“<”连接起来： ，，，0，， ． 【变式7-3】．如图，数轴上一点A表示的数是，点B表示的数是1，数轴上一动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着数轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒． （1）当时，点P表示的数是 ． （2）当点P和原点O之间的距离是2个单位长度时，求t的值． （3）点P出发的同时，另一个动点Q从数轴上某一点C出发，沿某一个方向匀速运动，它们恰好同时到达点B．且当时，点P、Q之间的距离是3个单位长度，则点C表示的数为 ．（直接写出答案） 例8．下列各对数中，互为相反数的是(　　) A．3与 B．0.2与 C．4与|-4| D．-1与+2 【变式8-1】．如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为M，P，N，Q.若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【变式8-2】．的相反数是　 　． 【变式8-3】．若代数式的值与的值互为相反数，则的值为　 　． 例9．下列说法错误的是（　　） A．的相反数是 B．的相反数是 C．的相反数是 D．的相反数是 【变式9-1】．下列各数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式9-2】．根据相反数的意义化简下列各数： （1）-(+36)； （2）-(-5)； （3） （4）-(+14.8)。 【变式9-3】下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 例10．若一个数的绝对值等于-7的绝对值，则这个数是　 　. 【变式10-1】．绝对值大于2小于5的负整数是　 　． 【变式10-2】．有理数，a，3，b在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最小的是　 　． 【变式10-3】．的绝对值是　 　． 例11． 化简： （1）|3-x|. （2）|x+1|+|x+2|. 【变式11-1】．的相反数为（　　） A．2 B． C． D． 【变式11-2】．，则的关系是（　　） A．的绝对值相等 B．异号 C．的和是非负数 D．同号或其中至少一个为零 【变式11-3】．如果，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例12．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式12-1】．已知，则的值为　 　． 【变式12-2】．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．1 D． 【变式12-3】．若，则的值为（　　） A．3 B． C． D．0 例13．下列有理数大小比较正确的是（　　） A． B．﹣9.1＞﹣9.099 C．﹣8＝|﹣8| D．﹣|﹣3.2|＜﹣（+3.2） 【变式13-1】．把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数，并把这些数由小到大用“＜”连接起来． ， ，，，0，． 【变式13-2】．比较下面两个数的大小（用“” “” “” ） （1）1 ；（2） ；（3） ． 【变式13-3】比较大小： （填“”或“”）． 第三部分：达标检测 一、单选题（每小题3丰富，共24分） 1．在，0，，2这四个数中，是负数的是( ) A. B.0 C. D.2 2．0是( ) A.最小的有理数 B.最小的整数 C.最小的自然数 D.最小的正整数 3．给出下列各数：-3，0， 5，，+3.1，，2024，-2025.其中是负数的有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 4．下列说法正确的是( ) A.正分数和负分数统称为分数 B.正整数和负整数统称为整数 C.零既可以是正整数，也可以是负整数 D.一个有理数不是整数就是负数 5．一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是( ) A.14 B.13 C.12 D.11 6．下列各组数中互为相反数的是( ) A.2与 B.2与 C.与 D.与 7．已知，，则b的值是( ) A. B. C.0 D. 8．下列四个式子：①；②；③；④.正确的是( ) A.③④ B.①③ C.①② D.②③ 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．,0,,,,,106,,中,负分数有______个. 10．若点A从原点开始，先向右移动1个单位长度，再向左移动3个单位长度，这时该点所表示的数是_________. 11．数轴上表示整数的点称为整数点,某数轴的单位长度为,若在这条数轴上任意画一条长的线段,则线段覆盖住的整数点的个数是______. 12．若，则的值是________. 13．如图所示是计算机程序计算,若开始输入,则最后输出的结果是______. 三、解答题（每小题，共56分） 14．国庆期间，某地方举行特技飞行表演，其中一架飞机从地面起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升2.5千米 下降1千米 上升2千米 下降2.5千米 记作 　 　 　 （1）完成表格； （2）飞机完成上述四个表演动作后，飞机高度是多少千米？ （3）如果飞机每上升1千米需消耗5升燃油，平均每下降1千米需消耗3升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ 15．将下列各数在给出的数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来． 0，，，，，． 16．如图，数轴上每一小段的长度为1，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为 a、b、c、d， （1）若a与d互为相反数，则c=　 　. （2）若|b|>d，则c　 　0（填“大于”或“小于”）； a、b、c、d中，可能互为相反数的是　 　. 17．已知下列各数，按要求完成各题： ，，0，，6，． （1）负数集合：{ } （2）把上面各数表示在数轴上，并用“”把它们连接起来． 18．把下列各数填在相应的大括号里：23，，，0，，，，； 整数：{ …}； 负分数：{ …}； 正有理数：{ …}． 19． 已知下列有理数：，4． （1）在给定的数轴上表示这些数． （2）这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数． 20．我们知道，表示数a在数轴上对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a、b表示，那么A、B两点之间的距离为.利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是　 　，数轴上表示1和两点之间的距离是　 　； （2）数轴上表示x和的两点A、B之间的距离为　 　，如果，那么x的值为　 　； （3）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且， ①数轴上点B表示的数为　 　； ②动点P从原点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒.当t为多少时，A、P两点之间的距离为2. 相反数的概念 考点8 多重符号的化简 考点9 绝对值的概念 考点10 绝对值的性质 考点11 绝对值的非负性 考点12 有理数的大小比较 考点13 知识点2 数轴 知识点3 相反数 知识点4 绝对值 有理数大小比较 知识点5 知识点1 有理数的分类 正数和负数 考点1 考点2 相反意义的量 有理数的概念 考点3 0的再认识 考点4 有理数的分类 考点5 数轴的定义 考点6 数轴的应用 考点7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 第一章有理数章节小结与复习（知识点梳理+考点解析+达标检测）（解析版） 第一部分：知识点归纳 1.整数和分数统称为有理数 2.分类： 1．按照性质分类： 2．按照符号分类： 3．按小数分类： 注意：正数和0统称为非负数；负数和零统称为非正数 1．数轴： （1）概念：在数学中,可以用一条直线上的点表示数,它规定了原点、正方向和单位长度,这条直线叫做数轴； （2）三要素： ①原点：在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点； ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向,从原点向左（或向下）为负方向； ③单位长度：直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3……；从原点向左,用类似的方法,依次表示 2．数轴上的点与有理数的关系 （1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。 （2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如,数轴上的点π不是有理数） 3．利用数轴表示两数大小 ①在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大； ②正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数； ③两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。 4．可以表示什么数 （1）,表示是正数；反之,是正数,则； （2）,表示是负数；反之,是负数,则 （3）,表示是0；反之,是0,则 １．相反数的概念：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意以下几点： ⑴相反数是成对出现的； ⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 ２．相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是0； ⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0； ⑷互为相反数的非零两数商为负1，即a，b互为相反数，则=1（a0，b0））。 ３．相反数的几何意义:在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 ４．相反数的求法 ⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“”即可求得（如：5的相反数是5）； ⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“”，然后化简（如；5a+b的相反数是（5a+b），化简得5ab）； ⑶求前面带“”的单个数，也应先用括号括起来再添“”，然后化简（如：5的相反数是（5），化简得5）。 ５．相反数的表示方法：一般地，数a的相反数是a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。 当a>0时，a<0（正数的相反数是负数）；当a<0时，a>0（负数的相反数是正数）； 当a=0时，a=0，（0的相反数是0）。 ６．多重符号的化简 多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“”号的个数决定最后化简结果；即：“”的个数是奇数时，结果为负，“”的个数是偶数时，结果为正。 １．绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 ２．绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0。 可用字母表示为：①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=a；③如果a=0，那么|a|=0。 可归纳为①：a≥0，<═>|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数）。 ②a≤0，<═>|a|=a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数）。 ３．绝对值的性质 （1）任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即： ⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0．即：a=0<═>|a|=0； ⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0．即：|a|≥0； ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a； ⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a； ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|； ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=|b； ⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。 （非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0） ４．绝对值的化简 ①当a≥0时，|a|=a；②当a≤0时，|a|=||a ５．已知一个数的绝对值，求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。 （1）利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； （2）利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数； （3）若a>b，b>c，则a>c； （4）作差法，ab>0←→a>b；ab<0←→a<b；ab=0←→a=b； （5）大数|小数＞0，小数|大数＜0． 第二部分：考点分类解析 例1．在，0，，中，正数的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】正数、负数的概念与分类 【解析】【解答】解：在，0，，中，正数是，，共2个， 故选：B． 【分析】根据正数的定义依次辨析即可. 【变式1-1】．已知下列各数：，，3.14，0，，，6，，其中负数有（　　）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】正数、负数的概念与分类 【解析】【解答】解： ∵是负数；是负数； 3.14是正数；0既不是正数也不是负数；-0.2是负数；，它是正数；6是正数；是正数， ∴，，是负数． 故答案为：B． 【分析】先分别对各个数判断，再得出负数的个数． 【变式1-2】．下列数中，属于负数的是（　　）． A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【知识点】正数、负数的概念与分类 【解析】【解答】解：依题意，， ∴属于负数的是， 故选：D 【分析】本题考查了负数的定义，把小于0的数为负数，据此进行作答，即可求解． 【变式1-3】．在中，负数共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】正数、负数的概念与分类 【解析】【解答】负数有：，，共3个， 故选：C． 【分析】根据负数的定义即可判断． 例2．下列四组量中，不具有相反意义的是（　　） A．海拔“上升米”与“下降米” B．温度计上“零上”与“零下” C．盈利元与亏本元 D．长米与重千克 【答案】D 【知识点】具有相反意义的量 【解析】【解答】解：A、上升与下降具有相反意义，故选项A不符合题意； B、零上与零下具有相反意义，故选项B不符合题意； C、盈利与亏本具有相反意义，故选项C不符合题意； D、长度与质量不具有相反意义，故选项D符合题意. 故答案为：D. 【分析】所谓相反意义的量，就是必须是同一属性的量，且它们的意义相反，据此逐项判断得出答案. 【变式2-1】．世界上最早记载负数的是中国古代的数学著作《九章算术》，负数可以用来表示具有相反意义的量．规定盈利为正，如盈利 30 元，记作 +30 元，那么－50 元表示（ ） A．支出 50 元 B．收入 50 元 C．盈利 50 元 D．亏损 50 元 【答案】D 【知识点】用正数、负数表示相反意义的量 【解析】【解答】解：根据负数可以用来表示具有相反意义的量因为盈利30元，记作+30元， ∴-50元表示亏损50元， 故答案为：D. 【分析】根据正数和负数可以表示具有相反意义的量，规定盈利为正，那么亏损就为负. 【变式2-2】．下列各组量中具有相反意义的量是（　　） A．胜3局与输2局 B．身高增加3厘米与体重减轻 C．气温升高与气温为 D．向右走6米与向西走5米 【答案】A 【知识点】具有相反意义的量 【解析】【解答】解：在四个选项中，只有“胜3局与输2局”是具有相反意义的量； 故选：A． 【分析】 相反意义的量是指属性相同，所表示的意义相反的一组量． 【变式2-3】．我国的珠穆朗玛峰高于海平面，可记为，2020年11月10日，我国自主研发的载人潜水器“奋斗者”号，在西太平洋马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度为，则坐底深度为可记为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正数、负数的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量 【解析】【解答】解：由题意知，坐底深度为可记为， 故答案为：B． 【分析】 根据用正负数表示相反意义的量：海平面上记为“”，则海平面下记为“”，由此解答即可． 例3．下列数字中有理数共有（　　）个 ，，，，，，，（每两个1之间依次增加一个0） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】有理数的分类 【解析】【解答】解：有理数有：，，，，，，是有理数，共6个 故答案为：C． 【分析】 本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．有理数：整数和分数统称为有理数；根据题目中的数据可知：是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；是负整数，属于有理数；3.14是小数，属于有理数；-0.0105是负数，属于有理数；π是无限不循环小数，不是有理数；-0.2是负数，属于有理数；0.1010010001……（每两个1之间依次增加一个0）是无限不循环小数，不是有理数，由此可判断出答案． 【变式3-1】．在、、、、0、、中，非负数共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【知识点】有理数的乘方法则；有理数的分类；有理数中的“非”数问题；求有理数的绝对值的方法 【解析】【解答】解：，，，，， 非负数有：、、、0、，共5个． 故答案为：D． 【分析】根据有理数的乘方，绝对值等计算求解，再根据非负数判断即可. 【变式3-2】．下列说法正确的是(　　) A．0不是正数，不是负数，也不是整数 B．正整数与负整数包括所有的整数 C．-0.6是分数，负数，也是有理数 D．没有最小的有理数，也没有最小的自然数 【答案】C 【知识点】有理数的分类；有理数中的“非”数问题 【解析】【解答】解：A、0不是正数也不是负数，0是正数与负数的分界点，正整数、零和负整数统称整数，故A错误； B、正整数、零和负整数统称整数，正整数和负整数不包括所有整数，故B错误； C、-0.6是分数，负数，有理数，故C正确； D、0是最小的自然数，故D错误. 故答案为：C. 【分析】正整数、负整数与零统称整数；正分数、负分数统称分数；分数和整数统称有理数；正整数与零叫自然数；0不是正数也不是负数，0是正数与负数的分界点；没有最大和最小的有理数，据此逐项判断得出答案. 【变式3-3】．在15，，0，5，，2，，316%这几个数中，非负数的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【知识点】有理数的分类；有理数中的“非”数问题 【解析】【解答】 解： 这几个数中，非负数有15，0，5，2，316%，共5个； 故答案为：B. 【分析】 根据非负数的定义，即非负数为大于或等于零的数，判断即可解答. 例4．下列说法正确的是（　　） A．零既是正数，又是负数 B．零是最小的整数 C．零是绝对值最小的有理数 D．零是最大的负数 【答案】C 【知识点】“0”的意义 【解析】【解答】解：A、零不是正数，也不是负数，故A错误； B、零是最小的非负整数，故B错误； C、零是绝对值最小的有理数，故C正确； D、零是最大的非正数，故D错误． 故选：C． 【分析】“0既不是正数也不是负数，0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 【变式4-1】．下列说法正确的是（　　） A．一定是负数 B．一个数不是正数就是负数 C．0是负数 D．在正数前面加“”号，就成了负数 【答案】D 【知识点】正数、负数的概念与分类；“0”的意义；用正数、负数表示相反意义的量 【解析】【解答】解：A、可以表示正数、负数和0， 可以是负数、正数和0，故A不符合题意； B、一个数可以为正数，也可以为0，也可以是负数，故B不符合题意； C、既不是正数也不是负数，故C不符合题意； D、在正数的前面加“”号，就成了负数，故D符合题意； 故答案为：D． 【分析】根据正负数的定义对各个选项中的说法逐一进行判断即可． 【变式4-2】．下列说法正确的是（　　） A．0是最小的整数 B．任何数的绝对值都是正数 C．是负数 D．绝对值等于它本身的数是正数和0 【答案】D 【知识点】“0”的意义；有理数的概念；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义 【解析】【解答】解：A、 0是最小的整数，错误； B、 任何数的绝对值都是正数，错误； C、是负数，错误； D、绝对值等于它本身的数是正数和0，正确。 故答案为：D． 【分析】选项A，0不是最小的整数，例如，负数比0小，原说法错误；选项B，任何数（0除外）的绝对值都是正数，因为0的绝对值是0，原说法错误；选项C，不一定是负数，错误，例如时，是正数，原说法错误。 【变式4-3】． 小丽说： “一个数，如果不是正数， 必定就是负数。”你认为她说的对吗?为什么? 【答案】错误。0既不是正数、也不是负数，所以小丽说的不对 【知识点】实数的概念与分类；“0”的意义 【解析】【分析】在数轴上以0为分界点，0左侧是负数、右侧是正数。因此一个数有三种情况，即正数、负数、0。而0既不是正数、也不是负数. 例5．将下列各数填在相应的横线上： 正分数：{ }； 正整数：{ }； 整数：{ }； 有理数：{ }. 【答案】解：正分数：{0.75，，9%}； 正整数：{ +6，+8 }； 整数：{ +6，-3.0，+8}； 有理数：{ +6，0.75，-.3.0，-1.2，+8，，-，9% }. 【知识点】有理数的分类 【解析】【分析】有理数可分为整数和分数，也可分为正数、0和负数。 【变式5-1】．把下列各数的序号填入相应的类别中. ①-314；②；③|-4|；④0.618；⑤0；⑥；⑦-1；⑧6%；⑨+2. 自然数： ； 正分数： ； 负整数： ； 负有理数： . 【答案】自然数： ③⑤⑨； 正分数： ④⑥⑧； 负整数： ①⑦； 负有理数： ①②⑦. 【知识点】有理数的分类 【解析】【解答】解： |-4| =4， 6% =0.06，观察数可得： 自然数为：|-4|；0 ；+2.； 正分数为：0.618；；6%； 负整数为：-314；-1； 负有理数为：-314；；-1； 【分析】本题先对绝对值和百分数进行变形；然后进行分类即可。 自然数就是非负整数；正分数就是既是正数又是分数的数；负整数就是既是负数又是整数的数；负有理数就是既是负数又是有理数的数。 【变式5-2】．把下列各数分别填入相应的集合内 ，，0，，12，，，，． 负有理数集合{ } 正分数集合{ } 非负整数集合{ } 【答案】，，，；，；0，12 【知识点】有理数的分类；有理数中的“非”数问题 【解析】【解答】解： -2是一个负整数，因此属于负有理数集合， -47是一个负整数，也属于负有理数集合， 0是一个非负整数，属于非负整数集合， -π是一个负无理数，不在题目要求的集合内， 12是一个正整数，也是非负整数，属于非负整数集合， 0.62是一个正有限小数，属于正分数集合， -2.2是一个负有限小数，属于负有理数集合， -是一个负分数，同样属于负有理数集合， 是一个正分数，属于正分数集合， 负有理数集合{，，，}； 正分数集合{，}； 非负整数集合{ 0，12 }． 故答案为：，，，；，；0，12. 【分析】有理数分为正有理数、零和负有理数；负有理数分为负整数与负分数（有限小数与无限循环小数也可以化为分数）；正分数就是大于零的分数；非负整数就是正整数和零，据此逐一判断得出答案. 【变式5-3】．把下列各数分别填入它所在的集合里： ，，，，，，，， （1）正数集合{ ……}； （2）整数集合{ ……}； （3）分数集合{ ……}； （4）非负整数集合{ ……}． 【答案】（1）解：， 正数集合：{，，，，……}； （2）解：整数集合{2024，，，，，……}； （3）解：分数集合{，，，，……}； （4）解：非负整数集合{，，……}． 【知识点】有理数的分类；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法 【解析】【分析】（1）根据正数均大于零，据此判断，即可求解； （2）根据除了小数和分数，其余都为整数，据此判断，即可求解； （3）根据分数的定义，其中分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例，据此判断，即可求解； （4）根据正整数和0为非负整数，据此判断，即可求解． （1）解：， 正数集合：{，，，，……}； （2）解：整数集合{2024，，，，，……}； （3）解：分数集合{，，，，……}； （4）解：非负整数集合{，，……}． 例6．下列各图中所画数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法 【解析】【解答】解：A、没有单位长度，故A不符合题意； B、没有正方向，故B不符合题意； C、数轴的左侧负数顺序错误，故C不符合题意； D、满足数轴的三要素，故D符合题意； 故选：D 【分析】本题考查了数轴的定义与数轴的三要素，其中数轴的三要素：正方向，原点，单位长度，根据数轴的三要素，进行逐项分析，即可作答． 【变式6-1】．如图所示，所画数轴完全正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】数轴的三要素及其画法 【解析】【解答】 解：(1)单位长度不一致，不符合题意； （2）负数的标记方向不对，不符合题意； （3）单位长度不一致，不符合题意； （4）符合题意； 故只有（4）符合题意； 故答案为：A. 【分析】根据数轴的定义： 是规定了原点、正方向和单位长度的直线，由此逐一判断即可解答. 【变式6-2】．下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点。其中正确的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法；有理数在数轴上的表示 【解析】【解答】解：①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数，故原说法错误； ③有理数在数轴上可以表示出来，故原说法错误； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确. 故答案为：D． 【分析】根据数轴的定义，可判断①； 根据数轴上的点与数的关系，可判断②； 数轴上的点可以表示与之对应的所有的有理数，可判断③； 根据数轴与有理数的关系，可判断④. 【变式6-3】．如图所画数轴正确的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】数轴的三要素及其画法 【解析】【解答】解：①∵单位长度不统一，∴①错误； ②∵不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，∴②错误； ③∵不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，∴③错误； ④∵符合数轴的特点，∴④正确． 综上，正确的是④，共1个， 故答案为：B． 【分析】利用数轴的三要素（①正方向、②原点、③单位长度）逐个分析判断即可. 例7．画一条数轴，并把，，，表示在数轴上，并用“”连接起来． 【答案】解：在数轴上表示如图， 根据数轴上右边的数总比左边的大， ∴． 【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的大小比较-数轴比较法 【解析】【分析】本题考查了有理数的大小比较，在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。这意味着，如果一个数在数轴上的位置在另一个数的右侧，那么这个数就大于另一个数，在数轴上表示出各数，再从左到右用“”把它们连接起来，即可得到答案． 【变式7-1】．如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有A，B，C三个点，其中A到B的距离为3，B到C的距离为8． （1）若以B为原点，则数轴上点A所表示的数是______，点C所表示的数是______． （2）记A，B，C所对应的数的和为m，原点到B的距离为2，求m的值． 【答案】（1），8； （2）解：当原点在点B右侧时， ∵原点到点B的距离为2， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数是，点C表示的数是， ∴； 当原点在点B左侧时， ∵原点到点B的距离为2， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数是，点C表示的数是， ∴； 综上所述，m的值为或11． 【知识点】有理数的减法法则；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；有理数的加法法则 【解析】【解答】（1）解：∵A到B的距离为3，B到C的距离为8， ∴当以点B为原点，点A表示的数是，点C表示的数是； 故答案为：，8； 【分析】（1）根据数轴上两点距离计算公式（数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值）求解即可； （2）分原点在点B右侧和左侧两种情况，分别根据数轴上两点距离计算公式（数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值）求出点A，点B，点C表示的数，然后求和即可得到答案． （1）解：∵A到B的距离为3，B到C的距离为8， ∴当以点B为原点，点A表示的数是，点C表示的数是； 故答案为：，8； （2）解：当原点在点B右侧时， ∵原点到点B的距离为2， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数是，点C表示的数是， ∴； 当原点在点B左侧时， ∵原点到点B的距离为2， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数是，点C表示的数是， ∴； 综上所述，m的值为或11． 【变式7-2】．在数轴上把下列各数表示出来，并用“<”连接起来： ，，，0，， 【答案】解：，，， 在数轴上画出表示各数的点，如图， 故：． 【知识点】有理数的乘方法则；有理数在数轴上的表示；求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-数轴比较法 【解析】【分析】先分别求出有理数的绝对值、的相反数、的10次幂，再把所有数字表示在同一数轴上，最后再用“<”连接起来即可． 【变式7-3】．如图，数轴上一点A表示的数是，点B表示的数是1，数轴上一动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着数轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒． （1）当时，点P表示的数是 ． （2）当点P和原点O之间的距离是2个单位长度时，求t的值． （3）点P出发的同时，另一个动点Q从数轴上某一点C出发，沿某一个方向匀速运动，它们恰好同时到达点B．且当时，点P、Q之间的距离是3个单位长度，则点C表示的数为 ．（直接写出答案） 【答案】（1） （2）解：根据题意，得点表示的数为， 点和原点之间的距离是2个单位长度， ， 或， 解得：或； （3）或 【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；数轴的点常规运动模型；分类讨论 【解析】【解答】解：（1）当时，点表示的数为：， 故答案为：； （3）设点表示的数为， 点和点同时到达点，且点运动到点的时间为（秒）， 点的运动速度为每秒个单位， 当时，点表示的数为， 点之间的距离是3个单位长度， ∴当点在点左侧时，，， 解得：或（舍去）； 当点在点右侧时，， 解得：或（舍去）； 综上所述，点表示的数为或． 【分析】（1）根据点表示的数=点表示的数点的速度×运动时间，即可得到答案； （2）先求出点表示的数，然后由数轴上两点之间的距离公式列方程并解之即可； （3）设点表示的数为，先求出点运动到点的时间，从而得出点的运动速度，然后求出当时，点表示的数，最后再根据点之间的距离分两种情况讨论：当点在点左侧时或当点在点右侧时，分别列方程并解之即可. （1）解：当时，点P表示的数是， 故答案为：； （2）解：由题意可知，点P表示的数是， 点P和原点O之间的距离是2个单位长度 ， 或， 解得：或； （3）解：设点C表示的数为， 点P和点Q同时到达点B，且点P运动到点B的时间为秒， 点Q的运动速度为每秒个单位， 当时，点P表示的数是， 点P、Q之间的距离是3个单位长度， 当点在点左侧时，， ， 解得：或（舍）； 当点在点右侧时， ， 解得：或（舍）； 即点C表示的数为或． 例8．下列各对数中，互为相反数的是(　　) A．3与 B．0.2与 C．4与|-4| D．-1与+2 【答案】B 【知识点】判断两个数互为相反数；化简含绝对值有理数 【解析】【解答】解：A：3与互为倒数，不是相反数； B：，正确； C：，不是相反数； D：，不是相反数。 故答案为：B . 【分析】判断一对相反数的依据就是看这两个数字的和是否为0。 【变式8-1】．如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为M，P，N，Q.若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】C 【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；相反数的意义与性质；数形结合 【解析】【解答】解：∵点M，N表示的有理数互为相反数， ∴原点的位置在线段MN的中点， ∴表示绝对值最小的数的点是点P. 故答案为：C. 【分析】根据相反数的几何意义可知点M，N位于原点两侧，且到原点距离相等，由此可确定原点的位置，即可解答. 【变式8-2】．的相反数是　 　． 【答案】 【知识点】相反数的意义与性质 【解析】【解答】解：的相反数是； 故答案为： 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可解答． 【变式8-3】．若代数式的值与的值互为相反数，则的值为　 　． 【答案】 【知识点】解一元一次方程；判断两个数互为相反数 【解析】【解答】解：∵3a+1与3(a-1)互为相反数 ∴3a+1+3(a-1)=0 ∴6a-2=0 【分析】本题考查相反数的性质和解一元一次方程，首先熟知互为相反的两个数相加为0，根据题意可列出3a+1+3(a-1)=0，其次解这个一元一次方程即可得出答案. 例9．下列说法错误的是（　　） A．的相反数是 B．的相反数是 C．的相反数是 D．的相反数是 【答案】D 【知识点】相反数的意义与性质；化简多重符号有理数 【解析】【解答】解：A、∵的相反数是，不符合题意，∴A错误； B、∵的相反数是4，不符合题意，∴B错误； C、∵的相反数是，不符合题意，∴C错误； D、∵的相反数是，符合题意，∴D正确； 故答案为：D． 【分析】先利用多重符号的化简方法化简，再利用相反数的定义（①符号相反；②绝对值相同的两个数互为相反数）分析求解即可. 【变式9-1】．下列各数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】相反数的意义与性质；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法 【解析】【解答】解：A．和不是互为相反数，故该选项不符合题意； B．和是互为相反数，故该选项符合题意； C．和不是互为相反数，故该选项不符合题意； D．和不是互为相反数，故该选项不符合题意； 故答案为：B 【分析】先化简各数，然后根据相反数的定义，即可求出答案. 【变式9-2】．根据相反数的意义化简下列各数： （1）-(+36)； （2）-(-5)； （3） （4）-(+14.8)。 【答案】（1）解： -(+36) =-36 （2）解： -(-5) =5 （3）解： （4）解： -(+14.8) =-14.8 【知识点】求有理数的相反数的方法 【解析】【分析】在进行化简的时候，一个数前面加上负号，即这个数的相反数，因此可以总结规律为：“负负得正”，即两个负号结果就是正数，如果一正一负，那么结果就是负数。 （1）题36的相反数，即“一正一负”，结果就是负数； （2）题-5的相反数，两个负号，结果就是正数； （3）题的相反数 两个负号，结果就是正数； （4）题+14.8的相反数，一正一负”，结果就是负数. 【变式9-3】下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A．，本选项化简错误； B．，本选项化简正确； C．，本选项化简错误； D．，本选项化简错误． 故选：B 例10．若一个数的绝对值等于-7的绝对值，则这个数是　 　. 【答案】7或-7 【知识点】绝对值的概念与意义 【解析】【解答】解：设这个数度为x，因为，所以 故答案为： . 【分析】因为一对相反数的绝对值相等，而－7的绝对值是它的相反数7，所以这个数是7或－7. 【变式10-1】．绝对值大于2小于5的负整数是　 　． 【答案】-3，-4 【知识点】绝对值的概念与意义 【解析】【解答】解：设此数为x．由题意可得2＜|x|＜5，又∵x＜0， ∴x=-3，-4， 故答案为：-3，-4． 【分析】先根据题意得到2＜|x|＜5，再根据x是负整数，得出结果即可. 【变式10-2】．有理数，a，3，b在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最小的是　 　． 【答案】a 【知识点】绝对值的概念与意义；有理数的大小比较-数轴比较法 【解析】【解答】解：观察数轴可知：a在数轴上的对应点距离小于3，b在数轴上的对应点距离大于3，距离原点都为3， ∴， ∴绝对值最小的a， 故答案为：a． 【分析】要找出绝对值最小的数，需依据绝对值的几何意义（数轴上数对应的点到原点的距离），通过观察数轴上各数对应点与原点的距离来判断. 【变式10-3】．的绝对值是　 　． 【答案】2025​​​​​​​ 【知识点】求有理数的绝对值的方法 【解析】【解答】解： 故答案为：． 【分析】根据绝对值的定义即可求出答案. 例11． 化简： （1）|3-x|. （2）|x+1|+|x+2|. 【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 【知识点】化简含绝对值有理数 【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质分类讨论即可求出答案. （2）根据绝对值的性质分类讨论即可求出答案. 【变式11-1】．的相反数为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求有理数的相反数的方法；化简含绝对值有理数 【解析】【解答】解：由题意可得： ，相反数为-2 故答案为：B 【分析】先根据绝对值的性质可得，再根据相反数的定义即可求出答案. 【变式11-2】．，则的关系是（　　） A．的绝对值相等 B．异号 C．的和是非负数 D．同号或其中至少一个为零 【答案】D 【知识点】绝对值的概念与意义；有理数的加法法则 【解析】【解答】解：∵， ∴，满足的关系是，同号或，有一个为0或同时为0， 故答案为：D． 【分析】根据绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，及有理数加法的法则即可得出答案． 【变式11-3】．如果，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值的概念与意义 【解析】【解答】解：因为，， 所以， 所以， 故答案为：C． 【分析】根据绝对值的性质，可直接得出答案。 例12．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值的非负性；有理数的加法法则 【解析】【解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：B． 【分析】根据绝对值的非负性，由几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，可求出x、y的值，最后再根据有理数加法法则算出x与y的和即可. 【变式12-1】．已知，则的值为　 　． 【答案】 【知识点】有理数的减法法则；绝对值的非负性 【解析】【解答】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 【分析】根据绝对值的非负性可得，，计算可得x和y的值，再相减即可得到答案. 【变式12-2】．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】绝对值的非负性；有理数的加法法则 【解析】【解答】解：∵与互为相反数， ∴ ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 【分析】本题主要考查了非负数的性质，以及相反数的意义，根据题意，得到，由绝对值的非负性，求得，再将其代入代数式，进行计算，即可得到答案. 【变式12-3】．若，则的值为（　　） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【知识点】绝对值的非负性 【解析】【解答】解：∵，且，， ∴， 解得： ∴. 故答案为：A． 【分析】根据绝对值的非负性可得关于a、b的方程，解方程求出a、b的值，再把a、b的值代入所求代数式计算即可求解． 例13．下列有理数大小比较正确的是（　　） A． B．﹣9.1＞﹣9.099 C．﹣8＝|﹣8| D．﹣|﹣3.2|＜﹣（+3.2） 【答案】A 【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较 【解析】【解答】解：A、∵|﹣ |＝ ，|- |＝ ， ＜ ， ∴- ＞- ，故本选项符合题意； B、∵|﹣9.1|＝9.1，|﹣9.099|＝9.099，9.1＞9.099， ∴﹣9.1＜﹣9.099，故本选项不合题意； C、∵|﹣8|＝8＞0，﹣8＜0， ∴﹣8＜|﹣8|，故本选项不合题意； D、∵﹣|﹣3.2|＝﹣3.2，﹣（+3.2）＝﹣3.2， ∴﹣|﹣3.2|＝﹣（+3.2），故本选项不合题意. 故答案为：A. 【分析】首先根据绝对值的性质及相反数的定义，将需要化简的数进行化简，进而根据有理数的大小比较方法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小即可得到答案. 【变式13-1】．把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数，并把这些数由小到大用“＜”连接起来． ， ，，，0，． 【答案】解：；；；； 补充数轴如图． 由数轴可知，． 【知识点】有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数；有理数的大小比较-数轴比较法 【解析】【分析】先化简，再将各数在数轴上表示出来，最后利用数轴上右边的数大于左边的数分析求解即可. 【变式13-2】．比较下面两个数的大小（用“” “” “” ） （1）1 ；（2） ；（3） ． 【详解】解：（1）∵1 为正数，为负数， ∴； （2） ∵， ∴； （3）． 【变式13-3】比较大小： （填“”或“”）． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 第三部分：达标检测 一、单选题（每小题3丰富，共24分） 1．在，0，，2这四个数中，是负数的是( ) A. B.0 C. D.2 答案：A 解析： 2．0是( ) A.最小的有理数 B.最小的整数 C.最小的自然数 D.最小的正整数 答案：C 解析:没有最小的有理数,故A选项错误; 没有最小的整数,故B选项错误; 0是最小的自然数,故C选项正确; 1是最小的正整数,故D选项错误; 故选C. 3．给出下列各数：-3，0， 5，，+3.1，，2024，-2025.其中是负数的有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 答案：A 解析：在-3，0，5，，+3.1，，2024，-2025中，是负数的有-3，，-2025，共3个， 故选：A. 4．下列说法正确的是( ) A.正分数和负分数统称为分数 B.正整数和负整数统称为整数 C.零既可以是正整数，也可以是负整数 D.一个有理数不是整数就是负数 答案：A 解析：A.正分数和负分数统称为分数，说法正确，本选项符合题意； B.正整数、负整数和零统称为整数，原说法错误，本选项不符合题意； C.零既不是正整数，也不是负整数，原说法错误，本选项不符合题意； D.零既不是正数，也不是负数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：A. 5．一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是( ) A.14 B.13 C.12 D.11 答案：B 解析：依题意，墨迹在的范围内， ∵要求是整数， ∴满足的数：-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，共有13个， 故选：B. 6．下列各组数中互为相反数的是( ) A.2与 B.2与 C.与 D.与 答案：A 解析：A、2与是相反数,符合题意； B、2与不是相反数,不符合题意； C、与不是相反数,不符合题意； D、与不是相反数,不符合题意； 故选：A. 7．已知，，则b的值是( ) A. B. C.0 D. 答案：B 解析：因为，，所以.所以.故选B. 8．下列四个式子：①；②；③；④.正确的是( ) A.③④ B.①③ C.①② D.②③ 答案：D 解析：①，根据有理数的大小关系，得，①不正确；②，，根据有理数的大小关系，得，即，②正确；③，根据有理数的大小关系，得，即，③正确； ④，，根据有理数的大小关系，得，即，④不正确.综上，正确的有②③.故选D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．,0,,,,,106,,中,负分数有______个. 答案：4 解析：负分数有,,,,共4个. 故答案为：4. 10．若点A从原点开始，先向右移动1个单位长度，再向左移动3个单位长度，这时该点所表示的数是_________. 答案： 解析：点A从原点开始，向右移动1个单位长度，此时该点所表示的数是1，再向左移动3个单位长度，此时该点所表示的数是. 11．数轴上表示整数的点称为整数点,某数轴的单位长度为,若在这条数轴上任意画一条长的线段,则线段覆盖住的整数点的个数是______. 答案：或 解析：①当线段起点在整点时,覆盖个数； ②当线段起点不在整点,即在两个整点之间时,覆盖个数； ∴线段覆盖住的整数点的个数是或, 故答案为：或. 12．若，则的值是________. 答案： 解析：因为，， ， 所以， 解得：， ， 故答案：. 13．如图所示是计算机程序计算,若开始输入,则最后输出的结果是______. 答案： 解析：, , ∴输出的结果为, 三、解答题（每小题，共56分） 14．国庆期间，某地方举行特技飞行表演，其中一架飞机从地面起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升2.5千米 下降1千米 上升2千米 下降2.5千米 记作 　 　 　 （1）完成表格； （2）飞机完成上述四个表演动作后，飞机高度是多少千米？ （3）如果飞机每上升1千米需消耗5升燃油，平均每下降1千米需消耗3升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ 【答案】（1）解：因为上升和下降是一对具有相反意义的量，且上升2.5千米记作， 所以完成表格如下： 高度变化 上升2.5千米 下降1千米 上升2千米 下降2.5千米 记作 （2）解： （千米）， 答：飞机完成上述四个表演动作后，飞机高度是1千米． （3）解： （升）， 答：这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了33升燃油． 【知识点】有理数混合运算的实际应用；正数、负数的实际应用 【解析】【分析】（1）根据正负数的意义，把上升看走正数，下降看成负数，即可完成表格； （2）根据有理数的运算法则，将表格中记作的四个数字相加，即可得到 四个表演动作后飞机高度 ； （3）根据上升和下降消耗燃油的情况，列出运算式，结合有理数的乘法与加法法则，进行计算求值，即可得到答案． （1）解：因为上升和下降是一对具有相反意义的量，且上升2.5千米记作， 所以完成表格如下： 高度变化 上升2.5千米 下降1千米 上升2千米 下降2.5千米 记作 （2）解： （千米）， 答：飞机完成上述四个表演动作后，飞机高度是1千米． （3）解： （升）， 答：这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了33升燃油． 15．将下列各数在给出的数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来． 0，，，，，． 【答案】解：把各数表示在数轴上，如图所示： 用“”连接为：． 【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的大小比较-数轴比较法 【解析】【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，以及数轴比较有理数的大小，根据数轴上点特点：正数是指大于零的数，它们在数轴上位于原点（0）的右侧，负数是指小于零的数，它们在数轴上位于原点（0）的左侧，正数和负数常用来表示具有相反意义的量，把各数表示在数轴上，并用“”连接即可得到答案． 16．如图，数轴上每一小段的长度为1，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为 a、b、c、d， （1）若a与d互为相反数，则c=　 　. （2）若|b|>d，则c　 　0（填“大于”或“小于”）； a、b、c、d中，可能互为相反数的是　 　. 【答案】（1）-1 （2）小于；c与d 【知识点】相反数的意义与性质；有理数的大小比较-数轴比较法；判断数轴上未知数的数量关系 【解析】【解答】解：(1)由题意可得： ∴a在数轴上表示- ，d在数轴上表示4， 故答案为： ∴c小于0， ∴a、b、c、d中， 可能互为相反数的是c与d， 故答案为：小于；c与d. 【分析】(1)根据相反数的定义以及观察数轴即可求解； (2)根据绝对值、相反数的定义，即可求解. 17．已知下列各数，按要求完成各题： ，，0，，6，． （1）负数集合：{ } （2）把上面各数表示在数轴上，并用“”把它们连接起来． 【答案】（1）解：，，∴负数有，； （2）解：如图所示，即为所求． ∴． 【知识点】有理数的分类；求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-数轴比较法 【解析】【分析】（1）先化简绝对值和多重符号，再根据复数的定义，即负数是小于0的数，进行求解，即可得到答案； （2）根据数轴的定义，先在数轴上表示出各数，结合数轴上右边的数总比左边的数大，进行求解，即可得到答案． （1）解：，， ∴负数有，； （2）解：如图所示，即为所求． ∴． 18．把下列各数填在相应的大括号里：23，，，0，，，，； 整数：{ …}； 负分数：{ …}； 正有理数：{ …}． 【答案】23，，，0；，，；23，； 【知识点】有理数的分类；求有理数的绝对值的方法 【解析】【解答】解：， 整数：{23，，，0…}； 负分数：{，，…}； 正有理数：{23，…}． 【分析】整数包括正整数，负整数，0；负分数包括：负分数，负小数；正有理数包括：正整数，正分数；由此求解即可． 19． 已知下列有理数：，4． （1）在给定的数轴上表示这些数． （2）这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数． 【答案】（1）解：在数轴上表示各数如图所示： （2）解：存在，与是互为相反数．它们之间的整数是、0、1． 【知识点】有理数在数轴上的表示；判断两个数互为相反数 【解析】【解答】（1）如题所示： 【分析】（1）将各数分别在数轴上表示出来即可； （2）利用相反数的定义分析求解，再利用数轴分析求出符合条件的整数即可. 20．我们知道，表示数a在数轴上对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a、b表示，那么A、B两点之间的距离为.利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是　 　，数轴上表示1和两点之间的距离是　 　； （2）数轴上表示x和的两点A、B之间的距离为　 　，如果，那么x的值为　 　； （3）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且， ①数轴上点B表示的数为　 　； ②动点P从原点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒.当t为多少时，A、P两点之间的距离为2. 【答案】（1）2；5 （2）|x+3|；0或-6 （3）解：① 30或-14②∵ A表示的数为8 ， A、P两点之间的距离为2∴ 点P 表示的数为：6或10，当点P 表示的数为6时， 秒，当点P 表示的数为10时， 秒，∴当t为时，A、P 两点之间的距离为2. 【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；数轴的点常规运动模型 【解析】【解答】 解： (1) 和的两点之间的距离是|-3-（-5）|=2， 1和两点之间的距离是|1-（-4）|=5， 故答案为：2；5 （2） 表示x和的两点A、B之间的距离为|-3-x|=|x+3|， ∵， ∴|x+3|=3， ∴x=0或-6， 故答案为：|x+3|，0或-6 (3) ①∵点A表示的数为8 ，， ∴|x-8|=22， ∴x=30或-14， 故答案为：30或-14， 【分析】 (1) 根据题干A、B两点之间的距离为 ，计算即可解答； （2）根据题干A、B两点之间的距离为 可得表示x和的两点A、B之间的距离为|-3-x|；根据已知条件转化可得|x+3|=3，计算即可解答； (3) ① 根据已知条件转化为|x-8|=22，计算即可； ② 类比 (1) （2）的计算方法，A表示的数为8 ，A、P两点之间的距离为2可得点P 表示的数为6或10，再利用时间等于路程除以速度，计算即可解答. 相反数的概念 考点8 多重符号的化简 考点9 绝对值的概念 考点10 绝对值的性质 考点11 绝对值的非负性 考点12 有理数的大小比较 考点13 知识点2 数轴 知识点3 相反数 知识点4 绝对值 有理数大小比较 知识点5 知识点1 有理数的分类 正数和负数 考点1 考点2 相反意义的量 有理数的概念 考点3 0的再认识 考点4 有理数的分类 考点5 数轴的定义 考点6 数轴的应用 考点7 学科网（北京）股份有限公司 $