21.3实际问题与一元二次方程 同步练习卷-2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.3实际问题与一元二次方程 一、单选题 1．分式方程的解是（  ） A． B． C． D． 2．据国家统计局公布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》，我国原油产量从2021年到2023年增长了，设这两年的平均增长率为x，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．哈尔滨第六十九中学建设的校区篮球场是一个面积为608平方米的矩形活动场地，它的长比宽多13米，设场地的宽为x米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 5．2024年12月8日，在四川成都举行的国际乒联混合团体世界杯比赛中中国队卫冕冠军．本次比赛一共有支队伍参赛，在第一轮的比赛中组委会把支队伍平均分成4组，每组内以循环赛的形式展开角逐，即组内的x个队相互之间都要安排一场比赛，第一轮一共安排了24场比赛，则x满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 6．我校有一块正方形的空地需要美化，现向各个年级的同学征集设计方案．某同学设计图如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草．若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为3m，种植花草的区域的面积为，设水池半径为，可列出方程（    ） A． B． C． D． 7．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等，停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9.已知矩形的周长为，面积为，则它的对角线长为          ． 10.一个两位数，其个位上的数字比十位上的数字少，且个位上的数字与十位上的数字的乘积等于若设个位上的数字为，则可列出方程为          ． 11.某商场将进货价为元的某种服装以元售出，平均每天可售件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件应降价          元． 12.如图，在一边靠墙墙足够长的空地上，修建一个面积为的矩形仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．若设栅栏的长为，则可列方程为          ． 13．某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个口风琴的定价应该是 元． 三、解答题 14．一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数． 15．诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 16．一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.2元，每天可多售出40千克． （1）若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售是多少千克（用含x的代数式表示）？ （2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出230千克，那么水果店需将每千克的售价降低多少元？ 17．某合作社从2022年到2024年种植“红美人”，2022年“红美人”平均亩产量为，引进先进的种植技术后，“红美人”产量提高，2024年平均亩产量达到． (1)若2022年到2024年“红美人”平均亩产量的年增长率相同，求“红美人”平均亩产量的年增长率． (2)已知该合作社目前“红美人”种植面积为10亩，每亩的种植成本为3万元，为扩大生产，该合作社决定2025年增加“红美人”种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少万元，在保持种植成本不变的前提下，则2025年该合作社应增加种植面积多少亩？ 参考答案 1．C 【分析】本题考查解分式方程，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 当时，，则是原方程的增根，原方程的解为， 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用2023年原油产量年原油产量这两年的平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得： 即 故选： 3．C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程；根据矩形的面积公式得到方程是解决本题的基本思路．根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设场地的宽为x米，则长为米， 根据题意得， 故选：C． 4．B 【点睛】此题考查一元二次方程和勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理． 设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺，门对角线长为x尺． 根据勾股定理得． 故选B． 5．B 6．D 7．C 8．A 9.  10.  11.  12.  13． 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，利用单利润销售的数量获得的利润列出方程解答即可． 【详解】解：设每个口风琴的定价应该是元， ， 解得：，， ∵尽可能多地让利给消费者， ∴， 故答案为：． 14．【答案】两位数为92或29 【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据个位数字与十位数字的平方和为85，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设个位数字为 x，则十位数字为， ， 解得， 当时，两位数为92， 当时，两位数为29． 答：两位数为92或29． 15．【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人. 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人. 16．【答案】（1）每天的销售是千克； （2）水果店需将每千克的售价降低1元． 【分析】（1）销售量＝原来销售量＋上升的销售量，据此列式即可； （2）根据销售量×每千克利润＝总利润列出方程求解即可． 【详解】（1）每天的销售量是（千克）； （2）设这种水果每斤售价降低x元， 根据题意得 解得 当时，销售量是， 当时，销售量是（斤）， ∵每天至少售出230斤， ∴． 答：水果店需将每千克的售价降低1元． 17．(1)平均亩产量的年增长率 (2)该合作社应增加种植面积20亩 【分析】本题整体考查了一元二次方程在实际问题中的应用，涵盖增长率问题和成本问题．解题的关键是根据题目中的等量关系，合理设未知数并列出一元二次方程，进而求解得到符合实际意义的答案． （1）设年增长率为x，表示出 2024年亩产量，列方程求解． （2）设增加面积y亩，表示出增加后的面积和每亩成本，列方程求解． 【详解】（1）解：设年增长率为x． 2022年平均亩产量为，2023年则为，2024年为． ∴． 化简得， 开方得 舍去负根，得，即年增长率为． 答：“红美人”平均亩产量的年增长率为． （2）设增加种植面积y亩． 原来种植10亩，成本为万元． 增加后种植面积为亩，每亩成本为万元． 由种植成本不变，列方程：． 展开并整理得， 因式分解得． 解得（舍去）或，即应增加20亩． 答：2025年该合作社应增加种植面积20亩． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $