6.3.2 角的比较与运算 课件-2025-2026学年人教版(2024)七年级数学上册

6.3.2 角的比较与运算 第六章 几何图形初步 人教版初中数学/七年级上册 授课教师：XXX 日期：XXX 1 数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是垂直的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握圆周角定理的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决条件概率相关问题时，函数化是必不可少的步骤。 学习目标 1.类比两条线段长短的比较方法，学习角的大小比较、角的加与减、角平分线，体会类比等思维方法. 2.理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能用符号语言进行相关表述，并能解决简单的问题. 3.会进行涉及度、分、秒方面的相关计算. 预习反馈 (打“√”或“×”) (1)角的大小与它们的度数大小是一致的.( ) (2)若∠A+∠B>∠C，那么∠A一定大于∠C.( ) (3)用一副三角板可画出15°的角.( ) (4)平分一个角的射线叫做角的平分线.( ) × √ × √ 数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是垂直的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握圆周角定理的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决条件概率相关问题时，函数化是必不可少的步骤。 新课导入 你还记得怎样比较线段的长短吗？ 度量法 叠合法 用刻度尺分别测量出它们的长度来比较. 把其中一条线段移到另一条线段上，使它们的一个端点重合，然后进行比较. 新知探究 与线段长短的比较类似，可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小；（度量法） 70° 75° 5 数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是垂直的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握圆周角定理的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决条件概率相关问题时，函数化是必不可少的步骤。 新知探究 也可以把它们的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小.（叠合法） 70° 75° 6 新知探究 你能结合下图，描述比较∠AOB与∠A'O'B'大小的方法和结果吗? O ( O′) A ( A′) B′ B A ( A′) O ( O′) B ( B′) A ( A′) O ( O′) B B′ (1) (2) (3) ∠AOB______∠A′O′B′ ＜ ∠AOB ∠A′O′B′ ∠AOB ∠A′O′B′ = ＞ 7 数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是垂直的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握圆周角定理的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决条件概率相关问题时，函数化是必不可少的步骤。 新知探究 一个角的另一边落在另一个角的内部时，这个角比另一个角小； 落在另一个角的外部时，这个角比另一个角大； 当两个角的另一边重合时，两个角相等. 叠合法比较方法： 8 新知探究 思考 类比两条线段的和与差，你能结合下图说明什么是两个角的和与差吗？ 图中共有 个角.分别是： . 3 ∠AOC， ∠AOB， ∠BOC， B C O A 9 数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是垂直的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握圆周角定理的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决条件概率相关问题时，函数化是必不可少的步骤。 新知探究 ① 观察下图可知，∠AOB和∠BOC有一条公共边OB，∠AOC可以看作是由∠AOB和∠BOC拼合组成的，也就是说：∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作： . ∠AOC= ∠ AOB+ ∠ BOC B C O A ② 由图也可知，∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作：_________________________. 类似地，∠AOC－∠AOB=________. ∠AOB= ∠AOC- ∠BOC ∠BOC 新知探究 探究 参考下图，借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算，可以画出哪些度数的角? 15° 75° 用一副三角尺还可以画出30°，45°，60°，90°，105°，120°，135°，150°，165°的角。 数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是垂直的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握圆周角定理的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决条件概率相关问题时，函数化是必不可少的步骤。 典例解析 例2.如图，O是直线AB上一点，∠AOC=53°17′，求∠BOC 的度数. 分析：AB是直线，∠AOB是平角.∠BOC与∠AOC的和是∠AOB. 解：由题意可知， ∠AOB是平角， ∠AOB = ∠AOC+∠BOC. 所以∠BOC =∠AOB - ∠AOC =180°-53°17′ =126°43′. A O B C 典例解析 注意： 进行角度的加、减运算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减. 分、秒相加时逢60要进位； 相减时，如不够减要借1作60. 本题中应借1°，先将180°化为 179°60'再进行减法运算. 13 数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是垂直的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握圆周角定理的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决条件概率相关问题时，函数化是必不可少的步骤。 巩固练习 1.在∠A0B的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在( ) A.∠AOB>∠AOC B.∠AOC=∠BOC C.∠BOC>∠AOC D.∠AOC>∠BOC 2.如图，∠AOF是平角，请你比较∠A0B，∠A0C，∠AOD，∠AOE四个角的大小. A 解：观察图形即可判断四个角的大小， 即∠ AOB< ∠ AOC< ∠ AOD< ∠ AOE O A B C D E F 14 考点解析 例.观察图形并回答下列问题： (1)∠AOC是哪两个角的和？ ∠DOB是哪两个角的和？ (2)∠AOB是哪两个角的差？ 解：(1) ∠AOC是∠AOB与∠BOC的和， ∠DOB是∠COD与∠BOC的和. 即∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠DOB=∠COD+∠BOC (2) ∠AOB是∠AOC与∠BOC的差， 或∠AOB是∠AOD与∠ DOB的差， 即∠AOB=∠AOC- ∠BOC= ∠AOD- ∠DOB. O D C B A 15 数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是垂直的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握圆周角定理的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决条件概率相关问题时，函数化是必不可少的步骤。 巩固练习 1.按图填空： (1)∠AOB+ ∠BOC= ； (2) ∠BOD- ∠COD= ； (3) ∠AOD=∠AOB+∠BOC+ ； =∠AOB+ ； =∠AOC+ ； (4) ∠BOC= ∠AOD-∠AOB- ； =∠AOC- ； =∠BOD- ； ∠AOC ∠BOC ∠COD ∠BOC ∠COD ∠COD ∠AOB ∠COD O D C B A 16 巩固练习 2.如图，∠AOB=∠COD，则( ) A. ∠1> ∠2 B. ∠1= ∠2 C. ∠1< ∠2 D.∠1与∠2的大小无法比较 B O C B D A 1 2 17 数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是垂直的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握圆周角定理的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决条件概率相关问题时，函数化是必不可少的步骤。 课堂练习 1.填空题. (1)如果∠1= ∠2， ∠2= ∠3，则∠1 ∠3； (2)如果∠1> ∠2， ∠2> ∠3，则∠1 ∠3. 2.按图填空 (1) ∠AOB+ ∠BOC= ；(2) ∠AOC+ ∠COD= ； (3) ∠BOD- ∠COD= ；(4) ∠AOD- = ∠AOB. 3.计算： (1) 48°39′+67°31′； (2) 41°12′-11°27′. 解：(1) 116°10′； (2) 29°45′ ∠AOC O D C B A ∠AOD ∠BOD ∠BOC = ＞ 18 新知探究 我们知道，线段的中点把线段分成两条相等的线段.类似地，在下图中，如果∠AOB=∠BOC，那么射线OB把∠AOC分成两个相等的角.这时有 ∠AOC=2∠AOB=2 ， ∠AOB=∠BOC= . ∠BOC ∠AOC O C B A OB是∠AOC的平分线 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 19 数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是垂直的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握圆周角定理的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决条件概率相关问题时，函数化是必不可少的步骤。 新知探究 类似地，如下图，还有角的三等分线等. O C B A OB，OC是∠AOD的三等分线 D ∠AOD=3∠AOB=3∠BOC=3∠COD， ∠AOB=∠BOC=∠COD= ∠AOD. 20 总结归纳 判定角的平分线的方法： 当OB在∠AOC的内部，且满足以下情况之一时，可以判定OB是∠AOC的平分线： (1) ∠AOB = ∠BOC； (2) ∠AOB = ∠AOC； (3) ∠BOC = AOC； (4) ∠AOC = 2∠AOB； (5) ∠AOC = 2∠BOC. O C B A 21 数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是垂直的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握圆周角定理的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决条件概率相关问题时，函数化是必不可少的步骤。 考点解析 例. 如图，∠BOD=∠COD=15°，OC平分∠AOB，求∠AOB的度数. 解：因为∠BOD= ∠COD=15°， 所以∠COD=3∠BOD=45°， 所以∠BOC=∠COD-∠BOD=30°， 又因为OC平分∠AOB， 所以∠AOB=2∠BOC=60°. O B C A D 巩固练习 1.如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠COD=32°，则∠BOD的度数是 . 2.如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，∠COD=25°，则∠AOB等于( ) A.50° B.75° C.100° D.120° 122° C A O B C D D C B O A 数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是垂直的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握圆周角定理的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决条件概率相关问题时，函数化是必不可少的步骤。 巩固练习 3.如图，∠AOB=165°，OD平分∠AOC. (1)若∠AOD=50°，则∠BOC= . (2)若∠BOD=110°，则OC是∠BOD的平分线吗？说明理由 65° 解：(2)OC是∠BOD的平分线. 理由：因为∠AOB=165°，∠BOD=110°， 所以∠AOD=∠AOB-∠BOD=165°-110°=55°， 因为OD平分∠AOC， 所以∠COD=∠AOD=55°， 所以∠BOC=∠BOD-∠COD=110°-55°=55°， 所以∠BOC=∠COD， 所以OC是∠BOD的平分线. D C B O A 典例解析 ≈ 51°26′ 例3. 把一个周角7等分，每一份是多少度的角(精确到分)？ 解：360° ÷ 7= 51°+3° ÷ 7 = 51°+180 ′ ÷7 分析：度、分、秒是六十进制的，不能整除时要把剩余的度数化成分. 数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是垂直的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握圆周角定理的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决条件概率相关问题时，函数化是必不可少的步骤。 总结归纳 角的四则运算法则： (1)加法运算：先同级相加，再对分、秒化简； (2)减法运算：从低位算起，若同级不够减，则向上一级借1作60. (3)乘法运算：当一个角度与正整数相乘时，先用正整数分别与度、分、秒相乘，再把所得的积相加后化简. (4)除法运算：当一个角度除以一个正整数时，从高位算起，余数乘以60化为下一级再运算. 巩固练习 1.计算： (1) 56°18′+72°48′； (2) 131°28′-51°32′15″ ； (3) 12°30′20″×2； (4) 12°31′21″÷3. 解：(1) 56°18′+72°48′=128°66′=129°6′； (2) 131°28′-51°32′15″ =130°87′60″- 51°32′15″ =79°55′45″ 27 数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是垂直的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握圆周角定理的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决条件概率相关问题时，函数化是必不可少的步骤。 巩固练习 1.计算： (1) 56°18′+72°48′； (2) 131°28′-51°32′15″ ； (3) 12°30′20″×2； (4) 12°31′21″÷3. 解：(3) 12°30′20″×2=24°60′40″=25°40″； (4) 12°31′21″÷3 =4°+31′21″ ÷ 3 =4°10′+81″ ÷3 =4°10′27″. 28 巩固练习 2.如图，O是直线AB上一点，OD是∠BOC的平分线， ∠AOC=46°38′，则∠BOD的度数为 . 3.计算： (1) 48°39′+67°31′-21°17′； (2) 23°53′ × 3-107°43′÷ 5. 66°41′ 解：(1)48°39'+67°31'-21°17′ = 116°10′-21°17′ = 94°53′ (2) 23°53′ × 3-107°43′÷ 5 =71°39′-21°32′36″ =50°6′24″ A O B D C 29 数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是垂直的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握圆周角定理的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决条件概率相关问题时，函数化是必不可少的步骤。 课堂练习 1. 如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份? 解：360°÷8=45°， 即把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是45°； 360°÷15°=24，即如果要使每份中的角是15°，那么这个蛋糕应等分成24 份. 30 课堂练习 2.如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠COD=31°28′，求∠AOD的度数. 解：(1) 21°17′ × 5 =105°85′=106°25′； 3.计算： (1)21°17′ × 5； (2)180°÷11(精确到分). A O B C D 解：∠AOC= = =90°， ∠AOD=∠AOC-∠COD=90°-31°28′=58°32'. (2)180°÷11=16°+4°÷11 =16°22' 31 数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是垂直的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握圆周角定理的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决条件概率相关问题时，函数化是必不可少的步骤。 随堂检测 1.如果∠1-∠2=∠3，且∠4+∠2=∠1，那么∠3和∠4间的关系是( ) A.∠3>∠4 B.∠3=∠4 C.∠3<∠4 D.不确定 B ∠4=∠1-∠2 ∠1-∠2=∠3 ∠3=∠4 随堂检测 2.如图，∠1=15°，∠AOC=90°，点B，O，D在一条直线上，则∠2的度数为( ) C A．75° B．15° C．105° D．165° ∠2=180°-75°=105° 75° 15° D B A C 2 1 数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是垂直的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握圆周角定理的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决条件概率相关问题时，函数化是必不可少的步骤。 随堂检测 3.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是( ) A.35° B.55° C.70° D.110° C 55° 55° 70° 随堂检测 4. 如图，∠AOB=170°，∠AOC =∠BOD=90°，求∠COD的度数. 解：因为∠BOC=∠AOB-∠AOC=170°-90°=80°， 所以∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-80°=10°. 数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是垂直的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握圆周角定理的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决条件概率相关问题时，函数化是必不可少的步骤。 随堂检测 5.如图，AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE=60°，求∠AOC的度数. 解：∵OB平分∠DOE，∠DOE=60° ∴∠DOB=∠BOE=30° ∴∠AOE=∠AOB－∠BOE=180°－30°=150° 又∵∠COE=∠DOC－∠DOE=180°－60°=120° ∴∠AOC=∠AOE－∠COE=150°－120°=30° 随堂检测 6.计算： (1)15°24′×5. (2)31°42′÷5. (2)31°42′÷5=6°+1°42′÷5 =6°+102′÷5 =6°+20′+2′÷5 =6°20′+120′÷5 =6°20′+24″ =6°20′24″. 解：(1)15°24′×5 =75°120′ =77°. 数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是垂直的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握圆周角定理的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决条件概率相关问题时，函数化是必不可少的步骤。 课堂总结 角的比较与运算 比较角的大小 角的和、差 角的平分线 叠合法 度量法 角的平分线的性质 角的计算 $