3.1.1 二次根式的概念及性质 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

湘教版·八年级数学上册 第1课时 二次根式的概念及性质 3.1 二次根式的概念及性质 相传意大利物理学家伽利略 （Galileo Galilei，1564—1642）曾在比萨斜塔塔顶上做过著名的自由落体实验，验证得出了物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的关系式：h =4. 9t 或 说一说 什么叫作平方根? 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数是 a 的一个平方根. 什么叫作算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根. 用 表示. 复习导入 平方根的性质 正数有两个平方根且互为相反数 0 有一个平方根就是 0 负数没有平方根 探究新知 思 考 知识点1 二次根式的概念 （1） 2，3，5 的算术平方根分别是怎样表示的？ （2）用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v2=gR，其中g为重力加速度.若已知地球的半径R，则第一字宙速度v是多少？（用带有根号的式子表示） 因为速度一定大于 0，所以第一宇宙速度 . 我们把形如 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数. 根号 被开方数 （3）比较结果，它们在表达形式上有什么共同特征？ 注意： （1） 中的被开方数 a 可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等式子； （2）二次根式具有双重非负性：被开方数 a≥0 且 ≥ 0. （3）形如 （a ≥ 0）的式子也是二次根式，b 与 是相乘关系，要注意当 b 是带分数时要写成假分数的形式. 只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. a ≥ 0 当a < 0时， 无意义 知识点2 二次根式有意义的条件 例1 当 x 是怎样的实数时，二次根式 在实数范围内有意义？ 解：由 x-1 ≥ 0，解得 x ≥ 1 因此，当 x ≥ 1 时， 在实数范围内有意义. 10 当 x 是怎样的实数时，下列各式有意义？ 含有二次根式的代数式有意义的条件： （1）被开方数 a ≥ 0； （2）当代数式是分式形式时，要保证分母不为零. 4x +3 ≥ 0 -x2 ≥ 0 x -1 ≥ 0 x -1 ≠ 0 2x -1 ≥ 0 1- x ≥ 0 1- x ≠ 0 对于非负实数 a，由于 是 a 的一个平方根，因此 一个非负实数的算术平方根的平方等于这个非负实数。 知识点3 二次根式的性质 解 a2 = (-a)2 (ab)2 = a2b2 例2 计算： =__________， =__________， =__________， 2 1.2 填空： =__________， 2 1.2 猜想 由于 a 的平方等于 a2 ，因此 a 是 a2 的一个平方根. 当 a ≥ 0 时，根据算术平方根的意义，有 ，由此得出： 一个非负实数平方的算术平方根等于这个非负实数。 a (a≥0)， a (a＜0). 即任意一个实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 由于 －a 的平方等于 a2 ，因此 －a 是 a2 的一个平方根.当 a ＜ 0 时， －a ＞ 0，根据算术平方根的意义，有 ，综上可得： 例3 计算： 解 思考 与 的区别与联系： 1. 当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？ 随堂练习 解 (1)由1-x≥0， 可得 x≤1 (2)由2x-3≥0， 可得 x≥ 2. 计算： 解 3. 计算： = 7 = 3 4. 已知 x，y 为实数，且 ， 则 的值为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 C 5. 计算 的结果是（ ） A.-1 B.2x-5 C.5-2x D.1 C 6. 已知实数 a 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果是_________. 1-2a 课堂小结 a (a≥0)， a (a＜0). 我们把形如 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数. 二次根式的被开方数(或式)非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 课后作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $