精品解析： 第一章 特殊平行四边形---菱形专题 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

2025年北师大九年级数学第一章特殊平行四边形---菱形专题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是( ) A. 四条边相等四边形是菱形 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 2. 如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知 的初始长为，如果要使的长达到， 那么的长需要缩短（ ） A. 6 cm B. 8 cm C. D. 3. 如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作 于点，连结．则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A B. C. D. 6. 如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为( ) A. 4 B. C. 6 D. 7. 如图，菱形，对角线与交于点O，于点E，F为线段上一点，若，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，分别是边的中点，P是对角线上一动点，已知菱形边长为5，对角线长为6，则周长的最小值是（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 9. 如图，在菱形中，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（ ） A. 逐渐增加 B. 先减小再增加 C. 恒等于 D. 恒等于4 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为_________． 12. 如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为______． 13. 如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．若，，则四边形的周长为______． 14. 如图，在菱形中，，，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿方向向终点B匀速移动，点E的速度为，点F的速度为，经过t秒为等边三角形，则t的值为______． 15. 如图，在菱形中，，，点M是的中点，连接，点N为线段上的一个动点，连接，则线段长度的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，是菱形的对角线，，（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，求的度数． 17. 如图，在中，，点是中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点作于点，，，求的长． 18. 如图，在四边形中，，于点，点是延长线上一点，，于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，，，求和的长． 19. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）将沿直线翻折得到，使点与点重合，与轴交于点．求证：四边形是菱形； （3）在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点坐标：若不存在，请说明理由． 21. 如图，四边形为菱形，为对角线上的一个动点（不与点，重合），连接并延长交射线于点，连接． （1）求证≌； （2）求证； （3）若，当为等腰三角形时，求度数． 22. 如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC=a，P点是底边BC上的一个动点，PD∥AC，PE∥AB． ⑴用a表示四边形ADPE的周长为 ； ⑵点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由； ⑶如果△ABC不是等腰三角形(图2)，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形(不必说明理由)． 23. 如图，在边长为10的菱形中，对角线，对角线，相交于点G，点O是直线上的动点，于E，于F． （1）求对角线的长及菱形的面积． （2）如图①，当点O在对角线上运动时，值是否发生变化？请说明理由． （3）如图②，当点O在对角线的延长线上时，的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年北师大九年级数学第一章特殊平行四边形---菱形专题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是( ) A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据翻折得出AB=BD，AC=CD，推出AB=BD=CD=AC，根据菱形的判定推出即可． 【详解】∵ 将 △ABC 延底边 BC 翻折得到 △DBC ， ∴AB=BD ， AC=CD ， ∵AB=AC ， ∴AB=BD=CD=AC ， ∴ 四边形 ABDC 是菱形； 故选A. 【点睛】本题考查了菱形的判定方法：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2. 如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知 的初始长为，如果要使的长达到， 那么的长需要缩短（ ） A. 6 cm B. 8 cm C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，设与相交于点O，与相交于点，由菱形的性质得出，，，，利用勾股定理求出和，进而求出和，然后详解，即可求出答案． 【详解】解，设与相交于点O，与相交于点． ∵四边形和四边形是菱形， ∴，，，， ， ∴，， ∴，， ∴， ∴的长需要缩短． 故选：D． 3. 如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作 于点，连结．则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知及菱形的性质求得∠ABD=∠CDB=30º，AO⊥BD，利用含30º的直角三角形边的关系分别求得AO、DO、OE、DE，进而求得四边形的周长. 【详解】∵四边形ABCD是菱形，是对角线的中点， ∴AO⊥BD ， AD=AB=4，AB∥DC ∵∠BAD=120º， ∴∠ABD=∠ADB=∠CDB=30º， ∵OE⊥DC， ∴在RtΔAOD中，AD=4 ， AO==2 ，DO=， 在RtΔDEO中，OE=，DE=， ∴四边形的周长为AO+OE+DE+AD=2++3+4=9+， 故选：B. 【点睛】本题考查菱形的性质、含30º的直角三角形、勾股定理，熟练掌握菱形的性质及含30º的直角三角形边的关系是解答的关键. 4. 如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，P为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∵是的垂直平分线， ∴P为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，． 故选：D． 5. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出，从而可求出，即得出顶点的坐标为． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴．　 ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴顶点的坐标为． 故选C． 6. 如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为( ) A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接BP，通过菱形的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC的面积，然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC，即可求出的值． 【详解】解：连接BP，如图， ∵菱形ABCD的周长为20， ∴AB=BC=20÷4=5， 又∵菱形ABCD的面积为24， ∴SABC=24÷2=12， 又SABC= SABP+SCBP ∴SABP+SCBP=12， ∴ ， ∵AB=BC， ∴ ∵AB=5， ∴PE+PF=12×=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF+PE的值． 7. 如图，菱形，对角线与交于点O，于点E，F为线段上一点，若，则线段的长度为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是菱形，可得，在中，由勾股定理得：，由等积法可得，在中，由勾股定理得：，，可得，然后在中，由勾股定理得即可求得. 【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等积法，熟练掌握菱形的性质和勾股定理的应用是解题的关键. 8. 如图，在菱形中，分别是边的中点，P是对角线上一动点，已知菱形边长为5，对角线长为6，则周长的最小值是（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】作点M关于BD的对称点，连接交BD于点．根据轴对称、菱形的性质可知点为AD的中点．再根据题意即可证明经过点O，即点O与点重合．即当点为P点时，最小为长，即此时的周长最小．根据勾股定理可求出，再利用中位线的性质即可求出长，最后由，求出即为的周长最小值． 【详解】如图，作点M关于BD的对称点，连接交BD于点． 根据对称的性质和菱形的性质可知点为AD的中点． 又∵点N为BC中点， ∴经过点O，即点O与点重合． ∵， ∴根据两点直线线段最短可知，当点为P点时，最小为长，即此时的周长最小． ∵AC=6， ∴ ． 在中，， ∴． ∵点M，N分别为DC，BC的中点， ∴． ∵点，N分别为AD，BC的中点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∴， ∴，即的周长最小值为9． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称变换，三角形中位线的性质以及勾股定理．作出辅助线并理解当点为P点时，的周长最小是解答本题的关键． 9. 如图，在菱形中，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（ ） A. 逐渐增加 B. 先减小再增加 C. 恒等于 D. 恒等于4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，连接，由菱形的性质推出，，判定、是等边三角形，得到，，由，推出，由判定，得到，于是得到，关键是由菱形的性质推出． 【详解】解：连接BD， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，由三角形中位线定理得FH＝AO＝，FHAO，然后求出OE、OH，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，取OD的中点H，连接FH， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO， ∴AO＝AB＝1，BO＝＝DO， ∵点H是OD的中点，点F是AD的中点， ∴FH＝AO＝，FHAO， ∴FH⊥BD， ∵点E是BO的中点，点H是OD的中点， ∴OE＝，OH＝， ∴EH＝， ∴EF＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 12. 如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于H，先判断，都是等边三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性质可得出，进而求出，，然后利用勾股定理求解即可． 详解】解∶过D作于H， ∵菱形中，，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．若，，则四边形的周长为______． 【答案】20 【解析】 【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13-x，AC=2x，在Rt△AFC中利用勾股定理可求出x的值． 【详解】∵AG∥BD，BD=FG， ∴四边形BGFD是平行四边形， ∵CF⊥BD， ∴CF⊥AG， 又∵点D是AC中点， ∴BD=DF= ， ∴四边形BGFD是菱形， 设GF=x，则AF=13-x，AC=2x， 在Rt△AFC中，由勾股定理可得： 解得： 即GF=5 ∴四边形BDFG的周长=4GF=20． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形． 14. 如图，在菱形中，，，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿方向向终点B匀速移动，点E的速度为，点F的速度为，经过t秒为等边三角形，则t的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，延长至M，使，连接，先证，再证是等边三角形，推出，进而可解． 【详解】解：延长至M，使，连接，如图， 菱形中， ，， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 依题意可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，，点M是的中点，连接，点N为线段上的一个动点，连接，则线段长度的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，连接，作于，此时线段长度最小，证明是等边三角形，由点M是的中点，可得，，由，可得，由勾股定理得，，，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，作于，此时线段长度最小， ∵菱形中，，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∵点M是的中点， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得，，， ∵， ∴， 解得，， 故答案：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，是菱形的对角线，，（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）45° 【解析】 【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可； （2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可； 【详解】解：（1）如图所示，直线EF即为所求； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝75°，，∠A＝∠C， ∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°， ∴∠C＝∠A＝30°． ∵EF垂直平分线段AB， ∴AF＝FB， ∴∠A＝∠FBA＝30°， ∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 17. 如图，在中，，点是中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点作于点，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可． （2）证明是等边三角形，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， 四边形是平行四边形， ，点是的中点， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：，， 是等边三角形， ，， ∵， ， ∵， ， ， 四边形是菱形， ， ． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记菱形的判定方法是关键． 18. 如图，在四边形中，，于点，点是延长线上一点，，于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，，，求和的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证； （2）先根据角平分线的性质可得，利用勾股定理可得，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后根据菱形的性质可得，由此即可得． 【小问1详解】 证明：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：，， ， ∵平分，，， ， ， 在和中， ， ， ，即， 解得， 由（1）已证：四边形是菱形， ． 19. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明，继而判断四边形是平行四边形，结合得证； （2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）将沿直线翻折得到，使点与点重合，与轴交于点．求证：四边形是菱形； （3）在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=2x-5；（2）见解析；（3）（3，-9），（7，-6），（，） 【解析】 【分析】（1）解方程得到A（4，3），待定系数法即可得到结论； （2）根据勾股定理得到OA，根据折叠的性质得到OB=BC，OA=AC，从而有OA=OB=BC=AC，即可得证； （3）如图，过C作CM⊥OB于M，求得CM=OD=4，得到C（4，-2），过P1作P1N⊥y轴于N，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：（1）∵直线与直线相交于点A（a，3）， ∴A（4，3）， ∵直线交l₂交y轴于点B（0，-5）， ∴y=kx-5， 把A（4，3）代入得，3=4k-5， ∴k=2， ∴直线l₂的解析式为y=2x-5； （2）∵OA==5， ∴OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∵将△OAB沿直线l₂翻折得到△CAB， ∴OB=BC，OA=AC， ∴OA=OB=BC=AC， ∴四边形OABC是菱形； （3）如图，过C作CM⊥OB于M， 则CM=OD=4， ∵BC=OB=5， ∴BM=3， ∴OB=2， ∴C（4，-2）， 过P1作P1N⊥y轴于N， ∵△BCP是等腰直角三角形， ∴∠CBP1=90°， ∴∠MCB=∠NBP1， ∵BC=BP1， ∴△BCM≌△P1BN（AAS）， ∴BN=CM=4， ∴P1（3，-9）； 可知P3是CP1的中点， ∴P3（，）， 由图可知四边形BCP1P2是正方形，B（0，-5），C（4，-2），P1（3，-9）， 从而可得：P2（7，-6）， 综上，点P的坐标为：（3，-9），（7，-6），（，）． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，正确的求得P点的坐标是解题的关键． 21. 如图，四边形为菱形，为对角线上的一个动点（不与点，重合），连接并延长交射线于点，连接． （1）求证≌； （2）求证； （3）若，当为等腰三角形时，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法得出； （2）利用全等三角形平行线的性质即可解决问题； （3）利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出：①当在延长线上时；②当在线段上时；分别求出即可． 【详解】解：（1）证明：四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， （2）， ， ， ， ，即； （3）解：分两种情况： ①如图1，当在延长线上时， 为钝角， 只能是， 设， 可通过三角形内角形为得：， 解得：， ； ②如图2，当在线段上时， 为钝角， 只能是，设，则有， 可证得：， 得， 解得：， ． 综上：或． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键． 22. 如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC=a，P点是底边BC上的一个动点，PD∥AC，PE∥AB． ⑴用a表示四边形ADPE的周长为 ； ⑵点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由； ⑶如果△ABC不是等腰三角形(图2)，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形(不必说明理由)． 【答案】⑴2a；⑵见解析;(3)见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可得四边形ADPE为平行四边形，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得DB=DP，即可求四边形ADPE的周长； （2）当P为BC中点时，四边形ADPE是菱形，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得AE=EP，则平行四边形ADPE是菱形； （3）P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形，首先证明四边形ADPE是平行四边形，再根据平行线的性质可得∠1=∠3，从而可证出∠2=∠3，进而可得AE=EP，然后可得四边形ADPE是菱形． 【详解】解：⑴∵PD∥AC，PE∥AB， ∴四边形ADPE为平行四边形， ∴AD=PE，DP=AE， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵DP∥AC， ∴∠B=∠DPB， ∴DB=DP， ∴四边形ADPE的周长=2(AD+DP)=2(AD+BD)=2AB=2a； 故答案为2a； ⑵当P为BC中点时，四边形ADPE菱形． 理由如下：连结AP， ∵PD∥AC，PE∥AB， ∴四边形ADPE为平行四边形， ∵AB=AC，P为BC中点， ∴∠PAD=∠PAE， ∵PE∥AB， ∴∠PAD=∠APE， ∴∠PAE=∠APE， ∴EA=EP， ∴四边形ADPE是菱形； ⑶P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形， ∵PD∥AC，PE∥AB， ∴四边形ADPE是平行四边形， ∵AP平分∠BAC， ∴∠1=∠2， ∵AB∥EP， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴AE=EP， ∴四边形ADPE是菱形． 【点睛】此题考查菱形的判定，平行线的性质和等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理和作辅助线. 23. 如图，在边长为10的菱形中，对角线，对角线，相交于点G，点O是直线上的动点，于E，于F． （1）求对角线的长及菱形的面积． （2）如图①，当点O在对角线上运动时，的值是否发生变化？请说明理由． （3）如图②，当点O在对角线的延长线上时，的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究，之间的数量关系． 【答案】（1）12，96 （2）不发生变化，9.6 （3）发生变化， 【解析】 【分析】（1）连接与相交于点，根据菱形的对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据计算即可得解；再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解； （2）连接，根据列式计算即可得解； （3）连接，根据列式整理即可得解． 【小问1详解】 解：在菱形中，，，， 由勾股定理得， 所以． 所以菱形的面积． 【小问2详解】 解：不发生变化． 理由如下： 如图①，连接， 则， 所以， 即． 解得，是定值，不变． 【小问3详解】 解：发生变化． 如图②，连接， 则， 所以． 即． 解得，是定值，不变． 所以的值发生变化，，之间的数量关系为 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的面积，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，第（2）（3）问作辅助线构造出两个三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $