1.1.2 集合的基本关系 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

1.1.2 集合的基本关系 【学习目标】 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.(数学抽象) 2.能判断给定集合间的关系，提高学生利用类比发现新结论的能力.(逻辑推理) 3.会由集合间的关系求相关参数的取值范围，并在具体情境中了解空集的含义.(数学运算、数学抽象) 4.掌握并能使用维恩图表达集合间的关系.(直观想象) 【自主预习】 1.集合中元素的三个特性是什么? 2.常见的数集有哪些? 3.集合的表示方法有哪些? 4.A={x|y=x2+1}表示使函数y=x2+1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A=R，对吗? 5.B={y|y=x2+1}表示使函数y=x2+1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y=x2+1≥1，因此B={y|y≥1}，对吗? 6.集合B={y|y=x2+1}中的元素是否都属于集合A={x|y=x2+1}?集合A和集合B是什么关系? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空集没有子集. (　　) (2)任何集合至少有两个子集. (　　) (3)空集是任何一个集合的真子集. (　　) (4)若集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集. (　　) 2.已知集合M={1}，N={1，2，3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是(　　). A.M<N B.M∈N C.N⊆M D.M⫋N 3.(人教B版必修第一册习题1.1.2练习A第1题改编)选用适当的符号填空：若集合A={x|2x+3<3x}，B={x|x>2}，则4______A，{5}______B，-1______A，A______B.  4.设集合A={x，y}，B={0，x2}，若A=B，求实数x，y的值. 【合作探究】 探究1　集合与集合间关系的判定 　　小明同学与小李同学在讨论集合A={x|x是正方形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是平行四边形}之间的关系. 小明说：“所有的正方形都是菱形，所以集合A属于集合B；所有的菱形都是平行四边形，所以集合B属于集合C.” 小李说：“集合A，B，C的关系只能用图形表示.” 问题1：小明说的正确吗? 问题2：小李说的正确吗? 1.子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素______集合B中的元素，那么称集合A为集合B的______，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”).  注：(1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A； (2)空集是任意一个集合A的子集，即⌀⊆A. 特别提醒： (1)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系). (2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系.例如A={1，2}，B={1，3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集；同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集. 2.维恩图 如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可以作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图.如A⊆B可用维恩图表示为 3.集合相等 一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任意一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B.反之，若A=B，则A⊆B且B⊆A. 4.真子集 一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A⫋B(或B⫌A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 例1　(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={1，2}，C={x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：A______B，A______C，{2}______C，2______C.  (2)已知M={y|y=x2-2x-1，x∈R}，N=[-2，4]，则集合M与N之间的关系是______.  【方法总结】在处理集合间的关系时，要注意以下三点： (1)A⊆B且B≠⌀隐含着A=B和A⫋B两种关系； (2)注意空集的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑集合为空集的可能性； (3)要注意数形结合思想与分类讨论思想在集合问题中的应用. 能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}之间的关系的维恩图是(　　). A　　　　B　　　　C　　　　D 设x，y∈R，A={(x，y)|y=x}，B=(x，y)，则集合A，B之间的关系是______.  探究2　有限集合的子集、真子集的确定 　　我们将高一(1)班的甲、乙、丙三位同学组成的三人学习小组记为集合A={甲，乙，丙}，数学老师将从该小组内抽取n位同学，进行面批作业.设抽取的同学组成的集合为B. 问题1：列出集合B中只有1位同学的集合；集合B中没有同学能否构成集合? 问题2：列出集合B中有2位同学的集合. 问题3：问题1和2中的集合B与集合A是什么关系?集合A的子集有多少? 1.写集合子集的一般方法：先写空集，然后按照集合中元素个数按从少到多的顺序写出来，一直到集合本身.写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它的真子集. 　　2.假设集合A中含有n个元素，则有：①A的子集的个数为2n；②A的真子集的个数为2n-1；③A的非空真子集的个数为2n-2. 例2　(1)已知集合M={x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则整数m=(　　). A.1 B.2 C.3 D.4 (2)满足{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有______个.  【方法总结】写有限集合的所有子集时，要注意以下四点： (1)掌握给定集合子集个数的规律. (2)写子集时要按照一定的顺序，一般可按照集合中元素的个数来分类写出，以防重复或遗漏. (3)注意两个比较特殊的集合：空集和集合本身. (4)若集合A含n个元素，则它的子集的个数为2n；真子集的个数为2n-1；非空真子集的个数为2n-2. 已知集合M=，则M的非空子集的个数是(　　). A.15 B.16 C.7 D.8 已知集合A={(x，y)|x+y=2，x∈N，y∈N}，试写出A的所有子集. 探究3　由集合间的关系求参数的取值范围 　　对于集合A={x|ax=1(a≥0)}，B={x|x≤1}. 问题1：集合A中有几个元素? 问题2：当实数a取哪些值时，可以使得A⊆{1}? 问题3：当A⊆B时，怎样求实数a的取值范围? 1.已知集合的包含关系求相关参数的取值范围时，常采用数形结合与分类讨论的思想，借助数轴解答. 2.注意点：不能忽视集合为⌀的情形.当集合中含有参数时，一般需要分类讨论. 例3　已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若B⫋A，求实数m的取值范围. 【变式设问】在本例条件下，若B⊆A，求实数m的取值范围. 【方法总结】求解集合中的参数问题时，应先分析、简化每个集合，然后利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来.要特别注意端点值的检验及空集的特殊性，当遇到“B⊆A”时，若B为含字母参数的集合，则一定要分“B=⌀”和“B≠⌀”两种情形进行讨论. 已知集合A={x|-1<x<3}，B={x|-m<x<m}，若B⊆A，则实数m的取值范围为______.  已知A={x|x2-2x-3=0}，B={x|(a+1)x-3=0}，若B⊆A，求实数a的值. 【随堂检测】 1.下列关系式不正确的是(　　). A.{1}⊆{1，2} B.{0}⊆{1，2} C.{2}⊆{1，2} D.1∈{1，2} 2.给出下列四个结论： ①⌀={0}； ②空集没有子集； ③任何一个集合必有两个或两个以上的子集； ④空集是任何一个集合的子集. 其中正确的有(　　). A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.定义集合P-Q={x|x=p-q，p∈P，q∈Q}，若集合P={4，5，6}，Q={1，2，3}，则集合P-Q的所有真子集的个数为(　　). A.32 B.31 C.16 D.15 4.已知集合A={a，a-1}，B={2，y}，C={x|1<x-1<4}. (1)若A=B，求y的值； (2)若A⊆C，求实数a的取值范围. 参考答案 1.1.2 集合的基本关系 自主预习·悟新知 预学忆思 1. 确定性，无序性，互异性. 2. 正整数集，自然数集，整数集，有理数集，正实数集，实数集. 3. 列举法，描述法. 4.对. 5.对. 6.是，集合B是集合A的子集. 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.D　【解析】∵集合M中的元素都在集合N中，但是M≠N，∴M⫋N.故选D. 3.∈　⫋　∉　⫋　【解析】由题意得A={x|x>3}，4在集合A中，元素与集合的关系要用∈符号，所以4∈A.又5在集合B中，所以{5}是集合B的真子集，所以{5}⫋A.同理可得-1∉A，A⫋B. 4.【解析】因为A=B，所以x=0或y=0. ①当x=0时，x2=0，则B={0，0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去； ②当y=0时，x=x2，解得x=0或x=1，由①知x=0不满足条件，故x=1，y=0. 综上，x=1，y=0. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：不正确，这是两个集合之间的关系，应该是集合A包含于集合B，集合B包含于集合C. 问题2：不正确，可以用封闭图形来表示，比如： 也可以用符号表示，如A⊆B⊆C. 新知生成 1.都是　子集 新知运用 例1　(1)=　⫋　⫋　∈　(2)N⫋M　【解析】(1)由题意得A={1，2}，B={1，2}，C={0，1，2，3，4，5，6，7}，∴A=B，A⫋C，{2}⫋C，2∈C. (2)∵y=(x-1)2-2≥-2，∴M=[-2，+∞)，∴N⫋M. 巩固训练1　B　【解析】由x2-x=0，解得x=1或x=0，故N={0，1}，易得N⫋M，其对应的维恩图如选项B所示. 巩固训练2　B⫋A　【解析】因为B=={(x，y)|y=x，且x≠0}，所以B⫋A. 探究2　情境设置 问题1：{甲}，{乙}，{丙}；构成空集. 问题2：{甲，乙}，{甲，丙}，{乙，丙}. 问题3：问题1和2中的集合B均为A的子集，集合A也是自身的子集，所以集合A的子集有8个. 新知运用 例2　(1)B　(2)7　【解析】(1)根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M={x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于或等于1而小于或等于m的全部整数，所以m=2. (2)由{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}可以确定集合M中必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M中的元素个数分类如下： 含有三个元素的集合有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}. 含有四个元素的集合有{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}. 含有五个元素的集合有{1，2，3，4，5}. 故满足题意的集合M共有7个. 巩固训练1　C　【解析】(法一)由题意知M={1，2，3}，所以M的非空子集为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共7个. (法二)23-1=7个.故选C. 巩固训练2　【解析】因为A={(x，y)|x+y=2，x∈N，y∈N}，所以A={(0，2)，(1，1)，(2，0)}， 所以集合A的所有子集为⌀，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}. 探究3　情境设置 问题1：当a=0时，A中没有元素；当a≠0时，A中有1个元素. 问题2：当a=0或a=1时，A⊆{1}. 问题3：当a=0时，A=⌀，满足A⊆B； 当a>0时，A=，∴≤1，解得a≥1. 综上所述，实数a的取值范围为{0}∪[1，+∞). 新知运用 例3　【解析】当B≠⌀时，如图所示， ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3； 当B=⌀时，由m+1>2m-1，得m<2. 综上所述，实数m的取值范围是(-∞，3]. 【变式设问】　【解析】当B=⌀时，m+1>2m-1，即m<2； 当B≠⌀时，解得2≤m≤3. 综上可知，m的取值范围为(-∞，3]. 巩固训练1　(-∞，1]　【解析】因为B⊆A， 所以当B=⌀时，-m≥m，解得m≤0； 当B≠⌀时，解得0<m≤1. 综上所述，实数m的取值范围为(-∞，1]. 巩固训练2　【解析】由题意知A={-1，3}. 当a=-1时，B=⌀，满足B⊆A； 当a≠-1时，B=，若B⊆A，则=-1或=3，解得a=-4或a=0. 综上所述，a=0或a=-1或a=-4. 随堂检测·精评价 1.B　【解析】∵0∉{1，2}，∴{0}⊆{1，2}不正确；根据子集的概念可知A，C正确；D显然正确. 2.B　【解析】对于①，符号⌀表示没有元素的集合，而{0}表示含有一个元素的集合，故①不正确；对于②，空集是其本身的子集，故②不正确；对于③，空集只有一个子集，即本身，故③不正确；只有④是正确的. 3.B　【解析】由题中所给定义，可知P-Q={1，2，3，4，5}，∴P-Q的所有真子集的个数为25-1=31.故选B. 4.【解析】(1)若a=2，则A={1，2}，所以y=a-1=1. 若a-1=2，即a=3，则A={2，3}，所以y=a=3. 综上，y的值为1或3. (2)因为C={x|2<x<5}，所以解得3<a<5，所以实数a的取值范围是(3，5). 学科网（北京）股份有限公司 $