专题2.2 函数的表示法重难点题型讲义（2个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

该高中数学讲义围绕函数的表示法构建系统知识体系，通过“解析法、图象法、列表法”三大核心方法为主线，辅以分段函数、映射等重难点内容，形成由浅入深的知识脉络。讲义采用框架图梳理概念本质，用表格对比不同表示方式的特点与适用场景，借助思维导图揭示函数表示与实际问题之间的逻辑关联，清晰呈现知识点间的内在联系和考查重点分布。 讲义的亮点在于紧扣新课标核心素养，突出“数学眼光”“数学思维”“数学语言”的融合训练。例如在题型四中通过分段函数求值引导学生从现实情境（如出租车计费）抽象出数学模型，培养建模意识；在例题二中利用图像法分析运动过程，强化几何直观与逻辑推理能力；在拓展训练三中设计映射个数问题，提升运算能力和符号意识。每类题型均配有典型例题与变式练习，既帮助基础薄弱学生掌握基本方法，又为学有余力者提供探究空间，教师可据此实施精准教学，学生亦能高效开展自主复习。

专题2.2 函数的表示法重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 解析法表示函数 题型二 图象法表示函数 题型三 列表法表示函数 题型四 求分段函数解析式或求函数的值 题型五 分段函数的定义域 题型六 分段函数的性质及应用 题型七 已知分段函数的值求参数或自变量 题型八 确定形成映射的个数 题型九 根据映射求象或原象 题型十 求函数值 拓展训练一 函数的表示方法 拓展训练二 分段函数的相关问题 拓展训练三 映射的相关问题 知识点一：函数的表示方法 表格法 如上表，我们很容易看到与之间的函数关系. 在初中刚学画一次函数时，想了解其图像是一直线，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数. 图像法 如上图，很清晰的看到某天空气质量指数与时间两个变量之间的关系，特别是其趋势. 数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要. 解析式 比如正方形周长与边长间的解析式为，圆的面积与半径的解析式等. 求函数解析式的方法 ① 配凑法 ② 待定系数法 ③ 换元法 ④ 构造方程组法 ⑤ 代入法 【即时训练】 1．（23-24高一上·全国·课后作业）若函数对任意，均有，则下列函数可以为解析式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·全国·课后作业）直角梯形ABCD，如图（1），动点P从B点出发，沿B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f（x）.如果函数y＝f（x）的图象如图（2）所示，则△ABC的面积为__. 知识点二：分段函数 定义：有些函数在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数． Eg ，. 【即时训练】 1．（24-25高二上·安徽·期末）已知函数，则=（    ） A． B．2 C．5 D．9 2．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知函数，令，则不等式的解集是 【经典例题一 解析法表示函数】 【例1】（24-25高一上·福建莆田·期中）设，记，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）某市出租车的计费方式如下： ①3km以内（含3km）8.5元； ②3km以上，每增加1km，收费增加2元． 某人要去距出发地8km的地点参加一个会议，由于时间比较紧急，因此他选择打出租车前往． (1)请写出票价（元）与出租车行驶的路程之间的函数解析式； (2)求此人到达目的地后需要支付的金额． 1．（23-24高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·福建厦门·期末）已知函数，则和满足（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若等腰三角形的周长为，腰长为，底边长为，则关于的函数关系式是 . 4．（24-25高一上·上海·课后作业）要建造一个深，容积为的长方体水池，已知池底的造价为120元/，池壁的造价为100元/．试将该水池的总造价y表示成池底一条边长x的函数． 【经典例题二 图象法表示函数】 【例1】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（   ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速. A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（4）（1）（3） D．（4）（1）（2） 【例2】（22-23高一·全国·课堂例题）试画出下列函数的图象： (1)； (2)，. 1．（23-24高一·山西晋城·单元测试）如图所示的4个图象中，与所给3个事件最吻合的顺序为（  ） ①我离开家后，心情愉快，缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进； ②我骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进； ③我快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度. A．③①② B．③④② C．②①③ D．②④③ 2．（多选题）（23-24高一上·江苏南京·期中）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示．已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（    ） A．点到点只打开了两个进水口 B．点到点三个水口都打开 C．点到点只打开了一个出水口 D．点到点至少打开了一个进水口 3．（23-24高一上·云南玉溪·阶段练习）如图，函数的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则 ；的解集为 . 4．（23-24高一上·全国·课后作业）如图1是一辆汽车的速度随时间变化的示意图．    (1)汽车从出发到最后停止共经过多少时间？它的最高时速是多少？ (2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？ (3)出发后8分钟到10分钟之间可能发生了什么情况？ (4)如果纵轴换成路程s（千米），横轴表示时间t（时），如图2是一个骑摩托车者离家距离与时间的关系图象．在出发后8时到10时之间可能发生了什么情况？骑摩托车者在哪些时间段保持匀速运动？速度分别是多少？ 【经典例题三 列表法表示函数】 【例1】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（    ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）以下是中国人民银行2015年10月24日公布的部分人民币定期存款基准年利率表，设银行定期存款的年利率为r，存期为t，判断r是否为t的函数．如果是，写出这个函数的定义域和值域；如果不是，说明理由． t 0.5 1 2 3 r 1.3 1.5 2.1 2.75 1．（2024高三·浙江·专题练习）设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下： 映射f的对应法则 x 1 2 3 4 f(x) 3 4 2 1 映射g的对应法则 x 1 2 3 4 g(x) 4 3 1 2 则f[g(1)]的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选题）（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数，分别由下表给出，若，则a的值可以是（    ） 1 2 3 4 2 3 1 2 3 4 1 4 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高一上·浙江·阶段练习）函数，分别由下表给出，则的值为 ；满足的x的值为 . x 1 2 3 x 1 2 3 1 3 1 3 2 1 4．（22-23高一·全国·随堂练习）写出下列函数的定义域、值域： (1)； (2)的图象如图；    (3)与x的对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 1 8 27 64 125 316 343 512 【经典例题四 求分段函数解析式或求函数的值】 【例1】（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图：一动点P从边长等于1正方形ABCD的顶点B出发，按照顺序运动，设点P运动的路程为，的面积为y.求y关于函数关系式，并指出相应的定义域； 1．（24-25高一上·全国·单元测试）设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 2．（多选题）（23-24高一上·江苏徐州·期中）如图所示的图象表示的函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 3．（2023高一·全国·竞赛）函数满足：，且，则 ． 4．（2024高一·全国·专题练习）如图，△OAB是边长为4的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(0<t<6)左侧的图形的面积为f(t)，求函数f(t)的解析式. 【经典例题五 分段函数的定义域】 【例1】（23-24高一上·上海奉贤·阶段练习）下面各组函数中表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（2024高一上·江苏淮安·学业考试）如图：一动点P从边长等于1正方形ABCD的顶点B出发，按照顺序运动，设点P运动的路程为，的面积为y. (1)求y关于的函数关系式，并指出相应的定义域； (2)求函数的值域. 1．（23-24高三上·安徽滁州·期中）设函数f(x)＝F(x)＝f(x)＋x，x∈R.F(x)的值域为(　　) A．(－∞，1] B．[2，＋∞) C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞) 2．（23-24高二下·湖北黄冈·期末）设，若是的最小值，则的取值范围是（　） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）若函数(a>0，且a≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a的取值范围是 ． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数求函数g(x)＝x2f(x－1)的值域． 【经典例题六 分段函数的性质及应用】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项中不是分段函数的为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·重庆·阶段练习）某地居民用电采用阶梯电价，其标准如下：每户每月用电量不超过180千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.6元；每户每月用电量超过180千瓦时，但不超过350千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.65元；每户每月用电量超过350千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.9元．某月某户居民交电费y元，已知该户居民该月用电量为x千瓦时． （1）求y关于x的函数关系式； （2）若该户居民该月交电费199元，求该户居民该月的用电量． 1．（24-25高一上·湖南株洲·期末）已知函数若存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高一上·河南·期中）设表示，两者中较小的一个，表示，两者中较大的一个.若函数在上有最大值，则（    ） A．在上的最大值为2 B．在上的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 3．（2022高三·全国·专题练习）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件： （1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02； （2）关于x的方程f（x）＝a无实数解， 则a的取值范围是 ． 4．（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）伟大的中华民族，用仅占世界淡水总量的百分之六，养育着占全球总人口百分之二十的中华儿女.对“水”这个宝贵的资源，曾经有人认为是取之不尽用之不竭的，如今竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度.因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，因严重缺水困扰全国三分之二的城市.党的“十九”大报告指出：要节约资源，防止浪费.为了节约用水，某市出台一项水费政策，对该市居民用水实行阶梯收费，其标准如下表：（单位：元/立方米）． 档水量 户年用水量（立方米） 水价 其中 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 以上 （1）试写出消费（元）与用水量（立方米）之间的函数关系式，其中，． （2）若某居民年交水费元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各占多少？ 【经典例题七 已知分段函数的值求参数或自变量】 【例1】（2025·江西南昌·一模）已知，则方程所有的根之和为（   ） A．1 B．2 C．5 D．7 【例2】（23-24高一上·湖南长沙·期中）已知函数，其中，. (1)求函数的解析式； (2)已知方程的解集. 1．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）设函数，若，则（   ） A．或 B．或 C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·山东·期中）已知函数若，则a的值可能为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则 ． 4．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知 (1)若 求的值． (2)若 求的值． 【经典例题八 确定形成映射的个数】 【例1】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）集合，映射满足，那么映射的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（23-24高二·全国·单元测试）（1）若，，从集合A到集合B可以建立多少个不同的映射？从集合B到集合A呢？ （2）已知集合，，设映射，如果B中的元素都是A中的元素在下的对应元素，这样的映射有几个？ 1．（23-24高二下·重庆江北·阶段练习）已知集合，，则从集合A到集合B的映射个数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 2．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知集合，，为集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有（    ）种. A．2 B．3 C．6 D．7 3．（23-24高二下·浙江宁波·期中）函数：满足，则这样的函数个数共有 个． 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知，，映射满足，求满足条件的映射的个数． 【经典例题九 根据映射求象或原象】 【例1】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）给定的映射→（x，y∈R）的条件下，点的原像是（    ） A． B．或 C． D．或 【例2】（23-24高一上·安徽亳州·期中）若f：y＝3x＋1是从集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4，7，a4，a2＋3a}的一个映射，求自然数a，k及集合A、B. 1．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知实数对，设映射，并定义，若，则的值为 A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京西城·期中）设是集合到的映射，其中，，且，则中元素的原象为（    ）． A．或 B． C． D． 3．（23-24高一·陕西宝鸡·期末）已知在映射下的对应元素是，则在映射下的对应元素是 . 4．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射． (1)试在上给出一个非单射的映射； (2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则； (3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有． 【经典例题十 求函数值】 【例1】（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数的定义域为R，且，若，则（    ） A．－2024 B．－2023 C．4049 D．4050 【例2】（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数. (1)求，的值； (2)探索的值并给出理由； (3)利用（2）的结论求表达式：的值. 1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知定义在上函数满足，若，则（    ） A．1 B．16 C．128 D．256 2．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知定义域为R的函数满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数，且，则 4．（2025高三·全国·专题练习）若，，对任意，有，且，，求． 【拓展训练一 函数的表示方法】 【例1】（24-25高一上·北京·期中）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x（）块月饼需要y元，你能用函数的三种表示方法表示函数吗？ 1．（23-24高一·全国·课后作业）定义：表示不超过实数x的最大整数，称为“地板函数”．某学校高一年级要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时可增选1名代表，则各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用“地板函数”可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建厦门·开学考试）如图，中，，，，点P是斜边上任意一点，过点P作，垂足为，交边（或边）于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东佛山·开学考试）已知函数，分别由下表给出 1 2 3 2 3 1 3 2 1 则的值为 ；满足的的值是 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数． （1）求，的值； （2）求证：是定值； （3）求的值． 【拓展训练二 分段函数的相关问题】 【例1】（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知，. （1）当时，求； （2）当时，求的解析式，并画出其图象； （3）求函数的零点. 1．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知函数的图象为折线，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（多选题）（23-24高一上·广东佛山·期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（     ） A．的值域为 B．的定义域为 C． D．任意一个非零有理数， 对任意恒成立 3．（23-24高一上·湖南长沙·期中）已知函数，若存在，，且，使得成立，则实数a的取值范围是 ． 4．（22-23高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义在上的函数的图像经过原点，在上为一次函数，在上为二次函数，且时，，， (1)求的解析式； (2)求关于的方程的解集. 【拓展训练三 映射的相关问题】 【例1】（23-24高一上·甘肃天水·阶段练习）函数满足，则这样的函数个数共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（23-24高一·江苏·课后作业）假定某高中每个班级都有45位同学，每个班级学生按1~45进行编号，全校学生的姓名都不相同.设集合为某高中的学生的姓名，，f：每个学生姓名对应学生的编号；g：每个编号对应学生的姓名.问：f是否为从A到B的映射？g是否为从B到A的映射？ 1．（2024·上海浦东新·二模）设P、Q是R上的两个非空子集，如果存在一个从P到Q的函数y=f（x）满足：（1）Q={f（x）|x∈P}；（2）对任意x1，x2∈P，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），那么称这两个集合构成“P→Q恒等态射”，以下集合可以构成“P→Q恒等态射”的是 A．R→Z B．Z→N C．[1，2]→（0，1） D．（1，2）→R 2．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）设集合，都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：则方程的解的集合是 表一： 映射f的对应法则 原像 1 2 3 4 像 4 2 3 1 表二： 映射g的对应法则 原像 1 2 3 4 像 4 3 1 2 A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知集合，设为从集合到集合的函数，则这样的函数一共有 个，其中函数的值域一共有 种不同情况． 4．（23-24高一下·浙江温州·期末）设集合，，则从到的函数共有多少个；其中满足函数个数共有多少个. 1．（24-25高一·浙江·开学考试）已知函数，若M＝f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（2014），，则M+N＝（    ） A．2014 B． C．2013 D． 2．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）若函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一·全国·假期作业）已知函数，则（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 5．（23-24高三·甘肃武威·阶段练习）下列四个对应中，哪个对应不是从到的映射？ A．设，，对应关系：矩形和它的面积对应. B．，，对应关系：. C．，，对应关系：. D．，，：. 6．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（24-25高一上·广西柳州·期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在时电量为0 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 8．（多选题）（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数用列表法表示如表，若，则可取（    ） 1 2 3 4 5 2 3 4 2 3 A．2 B．3 C．4 D．5 9．（多选题）（23-24高一上·浙江温州·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（24-25高一上·吉林长春·期末）已知定义在上的函数满足：对、，，且，，则以下结论正确的为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·重庆·期末）若，则方程在内的所有实根之和为 . 12．（23-24高一上·北京·期中）对任意的，若函数的大致图象如图所示（两侧的射线均平行于x轴），则满足条件的a，b的值可以分别为 . 13．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知函数由下表给出 0 1 2 3 4 其中的值等于、、、和中所出现的次数，则 ． 14．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若，则 . 15．（2024高三·河北·专题练习）设是从集合A到B的映射, ,,若B中元素在映射f下与A中的元素对应,则k，b的值分别为 16．（22-23高一上·全国·课后作业）已知函数,（）. (1)分别计算， 的值. (2)由（1）你发现了什么结论?并加以证明. (3)利用（2）中的结论计算的值. 17．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式． 18．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）据百度百科，罗伯特纳维利斯是一位意大利教师，他的主要成就是于1905年发明了家庭作业.对于数学学科来说，家庭作业通常有选择题、填空题、解答题三种题型构成，据某位专家量化研究发现，适量的家庭作业量有利于学习成绩的提升，过少或过多的家庭作业均不利于学习成绩的提升.这位专家把一个选择题量化为1.0，一个填空题约量化为1.6，一个解答题约量化为4.2.于是数学学科的家庭作业量可以用一个正实数来量化.家庭作业量对应的关联函数家庭作业量对应的学习成绩提升效果可以表达为坐标轴轴，直线以及关联函数所围成的封闭多边形的面积与的比值(即).通常家庭作业量使得认为是最佳家庭作业量. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）成都七中高一某班的数学学科家庭作业通常是一个课时对应练习题(6个选择题、4个填空题及3个解答题)，问这个班级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量？ 19．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数 (1)求； (2)若，求的值． 20．（2025高三·全国·专题练习）证明：如果函数满足下面两个恒等式中的一个，则必满足另一个： ，、； ，、. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 函数的表示法重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 解析法表示函数 题型二 图象法表示函数 题型三 列表法表示函数 题型四 求分段函数解析式或求函数的值 题型五 分段函数的定义域 题型六 分段函数的性质及应用 题型七 已知分段函数的值求参数或自变量 题型八 确定形成映射的个数 题型九 根据映射求象或原象 题型十 求函数值 拓展训练一 函数的表示方法 拓展训练二 分段函数的相关问题 拓展训练三 映射的相关问题 知识点一：函数的表示方法 表格法 如上表，我们很容易看到与之间的函数关系. 在初中刚学画一次函数时，想了解其图像是一直线，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数. 图像法 如上图，很清晰的看到某天空气质量指数与时间两个变量之间的关系，特别是其趋势. 数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要. 解析式 比如正方形周长与边长间的解析式为，圆的面积与半径的解析式等. 求函数解析式的方法 ① 配凑法 ② 待定系数法 ③ 换元法 ④ 构造方程组法 ⑤ 代入法 【即时训练】 1．（23-24高一上·全国·课后作业）若函数对任意，均有，则下列函数可以为解析式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，即可结合选项逐一代入验证，即可求解. 【详解】对于A, 故，故A错误， 对于B，故，故B错误， 对于C, 故，故C正确， 对于D, 故，故D错误， 故选：C 2．（23-24高一上·全国·课后作业）直角梯形ABCD，如图（1），动点P从B点出发，沿B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f（x）.如果函数y＝f（x）的图象如图（2）所示，则△ABC的面积为__. 【答案】16 【分析】由题意作出图形，再由三角形面积公式求解即可 【详解】由题意结合图（2）可知： BC＝4，，， 过D作DG⊥AB ∴AG＝3，由此可求出AB＝3+5＝8. S△ABCABBC8×4＝16. 故答案为：16. 【点睛】 知识点二：分段函数 定义：有些函数在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数． Eg ，. 【即时训练】 1．（24-25高二上·安徽·期末）已知函数，则=（    ） A． B．2 C．5 D．9 【答案】B 【分析】根据题中分段函数解析式运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知函数，令，则不等式的解集是 【答案】或 【分析】根据题意求出的解析式，利用分段函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由题知，当时， 即，解得：， 此时，； 当，即， 解得：或，此时，； . 由，得： 或或， 解得：或. 故答案为：或. 【经典例题一 解析法表示函数】 【例1】（24-25高一上·福建莆田·期中）设，记，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次计算，可归纳出为周期函数． 【详解】依题意，则， ，，， ∴是周期函数，且周期为4， ∴． 故选：A． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）某市出租车的计费方式如下： ①3km以内（含3km）8.5元； ②3km以上，每增加1km，收费增加2元． 某人要去距出发地8km的地点参加一个会议，由于时间比较紧急，因此他选择打出租车前往． (1)请写出票价（元）与出租车行驶的路程之间的函数解析式； (2)求此人到达目的地后需要支付的金额． 【答案】(1) (2)18.5元． 【分析】（1）根据已知条件求得函数的解析式. （2）根据（1）的结论求得所付金额. 【详解】（1）由题得，当时，； 当时，，因此票价（元）与出租车行驶的路程之间的函数解析式为 （2）当时，，故需支付18.5元． 1．（23-24高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中条件可求得，依题分析即可得到结果. 【详解】因为是等腰直角三角形，， 所以．当点在线段上运动时， ． 故选：A. 2．（多选题）（23-24高一上·福建厦门·期末）已知函数，则和满足（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】直接代入计算即可判断A；判断的单调性，可得成立,计算的值可判断B；分别计算以及可判断C；直接计算可判断D. 【详解】解:选项A:.故A正确; 选项B:为增函数，则成立， ，故B正确; 选项C: ，故C正确; 选项D:,故D错误. 故选：ABC 【点睛】本题主要考查了函数解析式以及函数值的计算，考查了学生的计算能力，属于中档题. 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若等腰三角形的周长为，腰长为，底边长为，则关于的函数关系式是 . 【答案】 【分析】根据三角形的周长为可得出关于的函数关系式，再根据三角形三边关系以及可求出的取值范围，作为函数的定义域. 【详解】由于等腰三角形的周长为，则，. 由，得，由三角形的三边关系可得，即，得. 因此，关于的函数关系式是. 故答案为. 【点睛】本题考查函数解析式的求解，在求出解析式时，还应根据实际问题求出自变量的取值范围，得出函数的定义域，考查计算能力，属于基础题. 4．（24-25高一上·上海·课后作业）要建造一个深，容积为的长方体水池，已知池底的造价为120元/，池壁的造价为100元/．试将该水池的总造价y表示成池底一条边长x的函数． 【答案】 【分析】得出长方体的底面和侧面的面积，根据题设条件，即可得出总造价y表示成池底一条边长x的函数． 【详解】设长方体的长为，，宽为 ， 该长方体的底面面积为 侧面面积为 所以该水池的总造价， 【经典例题二 图象法表示函数】 【例1】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（   ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速. A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（4）（1）（3） D．（4）（1）（2） 【答案】D 【分析】根据每一个事件的意义，结合图象，即可判断. 【详解】（1）因为中途返回家中，所以离开家的距离先增大，后减小至0，中间保持一段时间，最后再增大，为图（4）， （2）开始匀速增加，中间不变，再增大，为图（1）， （3）开始增加的比较缓慢，后增加的速度比较快，为图（2）， 所以顺序为（4），（1），（2）， 故选：D 【例2】（22-23高一·全国·课堂例题）试画出下列函数的图象： (1)； (2)，. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据直线的性质进行画图即可； （2）根据二次函数的性质进行画图即可. 【详解】（1）因为一次函数的图象是直线， 所以取特殊点即可；        （2）因为二次函数是抛物线，当时，函数单调递增， 所以取特殊点连线即可，其中是空心点.    1．（23-24高一·山西晋城·单元测试）如图所示的4个图象中，与所给3个事件最吻合的顺序为（  ） ①我离开家后，心情愉快，缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进； ②我骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进； ③我快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度. A．③①② B．③④② C．②①③ D．②④③ 【答案】C 【分析】根据速度与离家距离增长快慢的对应关系判断， 【详解】①离开家后缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进；对应离开家的距离先缓慢增长再快速增长，对应图象②， ②骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进，对应离开家的距离直线上升再停止增长再直线上升，对应图象①， ③快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度，对应离开家的距离先快速增长再缓慢增长，对应图像③， 故选：C 2．（多选题）（23-24高一上·江苏南京·期中）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示．已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（    ） A．点到点只打开了两个进水口 B．点到点三个水口都打开 C．点到点只打开了一个出水口 D．点到点至少打开了一个进水口 【答案】ABD 【分析】由甲、乙图知：每个进水口进水速度为，每个出水口出水速度为，再分析丙图中点到点、点到点、点到点的蓄水量的变化可得进水口和出水口的打开情况，即可得正确选项. 【详解】由甲、乙图知：每个进水口进水速度为，每个出水口出水速度为， 对于A：由丙图知：点到点蓄水量增加，所以只打开了两个进水口，只进水不出水，故选项A正确； 对于B：点到点蓄水量不变，说明三个水口都打开进出一样多蓄水量不变，故选项B正确； 对于C：点到点蓄水量减少，说明每个小时减少，所以打开了一个进水口和一个出水口，故选项C不正确； 对于D：由选项ABC的分析可知，点到点至少打开了一个进水口，故选项D正确； 故选：ABD. 3．（23-24高一上·云南玉溪·阶段练习）如图，函数的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则 ；的解集为 . 【答案】 2 【分析】根据图像得到函数表达式，计算再计算得到答案；分段解不等式得到答案. 【详解】根据图像易知故，； 当时，即故； 当时，即故 综上所述： 故答案为：； 【点睛】本题考查了求函数值和解不等式，求出函数表达式是解题的关键. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）如图1是一辆汽车的速度随时间变化的示意图．    (1)汽车从出发到最后停止共经过多少时间？它的最高时速是多少？ (2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？ (3)出发后8分钟到10分钟之间可能发生了什么情况？ (4)如果纵轴换成路程s（千米），横轴表示时间t（时），如图2是一个骑摩托车者离家距离与时间的关系图象．在出发后8时到10时之间可能发生了什么情况？骑摩托车者在哪些时间段保持匀速运动？速度分别是多少？ 【答案】(1)共经过了24分钟，它的最高时速是80千米/时 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）根据图1信息即可求解； （2）匀速行驶就是速度保持不变，结合图1即可求解； （3）图1结合现实生活情况即可求解. （4）根据图2骑摩托车者离家距离与时间的关系图象，一一分析各阶段即可求解. 【详解】（1）由图1知：汽车从出发到最后停止共经过了24分钟，它的最高时速是80千米/时． （2）由图1知：汽车在出发后2分钟到6分钟，18分钟到22分钟均保持匀速行驶，时速分别为30千米/时和80千米/时． （3）由图1知：出发后8分钟到10分钟之间汽车速度为0千米/时，重新启动后，车速很快提高到80千米/时，因此在这段时间内很可能在休息、修车、加油等． （4）由图2知：在出发后8时到10时之间骑摩托车者可能回家吃饭、休息等． 骑摩托车者在开始出发到出发后2小时时间段内匀速运动，车速为（千米/时）； 在出发后6小时到8小时时间段内匀速运动，车速为（千米/时）； 在出发后10小时到18小时时间段内匀速运动，车速为（千米/时）； 在出发后22小时到24小时时间段内匀速运动，车速为（千米/时）. 【经典例题三 列表法表示函数】 【例1】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（    ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合表格中的数据，代入即可得到正确答案. 【详解】由表格得，，，， 则，， ，， 因此，只有C选项正确. 故选：C. 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）以下是中国人民银行2015年10月24日公布的部分人民币定期存款基准年利率表，设银行定期存款的年利率为r，存期为t，判断r是否为t的函数．如果是，写出这个函数的定义域和值域；如果不是，说明理由． t 0.5 1 2 3 r 1.3 1.5 2.1 2.75 【答案】是，定义域为，值域为 【解析】由题,则为自变量,为因变量,进而根据定义得到定义域与值域即可 【详解】由题,与符合函数关系,即一个自变量对应唯一确定的因变量, 则定义域为,值域为 1．（2024高三·浙江·专题练习）设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下： 映射f的对应法则 x 1 2 3 4 f(x) 3 4 2 1 映射g的对应法则 x 1 2 3 4 g(x) 4 3 1 2 则f[g(1)]的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据表格先求出，再根据表格求出，即可解决. 【详解】由映射g的对应法则，可知g(1)＝4， 由映射f的对应法则，知f(4)＝1，故f[g(1)]＝1. 【点睛】本题主要考查了函数表示方法中的列表法，及函数概念的理解，属于中档题. 2．（多选题）（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数，分别由下表给出，若，则a的值可以是（    ） 1 2 3 4 2 3 1 2 3 4 1 4 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】按复合函数的定义列出所有取值即可 【详解】因为，，，． 故选:BCD 3．（23-24高一上·浙江·阶段练习）函数，分别由下表给出，则的值为 ；满足的x的值为 . x 1 2 3 x 1 2 3 1 3 1 3 2 1 【答案】 1 2 【分析】(1). 先将算出,再代入即可. (2). 分别将时的和算出,再比较大小即可. 【详解】(1). ； 故答案为：1. (2). ,； ,； ,； ∴当时,. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了列表法表示函数和复合函数并求函数值,属于基础题. 4．（22-23高一·全国·随堂练习）写出下列函数的定义域、值域： (1)； (2)的图象如图；    (3)与x的对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 1 8 27 64 125 316 343 512 【答案】(1)定义域为，值域为. (2)定义域为，值域为. (3)定义域为，值域为. 【分析】（1）由一次函数的性质，即可得到答案； （2）由函数的图象，结合图象，即可求解； （3）根据表格中函数的表示方法，即可求解. 【详解】（1）解：由一次函数的性质，可得函数的定义域为，值域为. （2）解：由函数图象，可得函数的定义域为，值域为. （3）解：根据函数对应的表格中的数据，可得的定义域为，值域为. 【经典例题四 求分段函数解析式或求函数的值】 【例1】（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】将自变量的值代入函数解析式，求值即可得到答案. 【详解】，所以， 故选：D. 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图：一动点P从边长等于1正方形ABCD的顶点B出发，按照顺序运动，设点P运动的路程为，的面积为y.求y关于函数关系式，并指出相应的定义域； 【答案】 【分析】分、及讨论计算的面积即可得. 【详解】当时，点P在边BC上，， 当时，点P在边CD上，， 当时，点P在边DA上，， 即. 1．（24-25高一上·全国·单元测试）设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 【答案】D 【分析】依题意得，再根据分段函数求值即可. 【详解】令，解得，则 因此8，故． 故选：D. 2．（多选题）（23-24高一上·江苏徐州·期中）如图所示的图象表示的函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由分段函数图象利用待定系数法分段求解函数的解析式即可. 【详解】由图可知，当时，为一次函数，可设为， 代入得：； 当时，为一次函数，可设为， 代入，得：解得：，. 所以；所以. ，所以BD正确. 故选：BD. 3．（2023高一·全国·竞赛）函数满足：，且，则 ． 【答案】 【分析】结合题意可得、与的关系，即可得，即可得，结合与的关系计算即可得. 【详解】， 则， 所以． 故答案为：. 4．（2024高一·全国·专题练习）如图，△OAB是边长为4的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(0<t<6)左侧的图形的面积为f(t)，求函数f(t)的解析式. 【答案】 【分析】讨论，和三种情况可求出. 【详解】当时，； 当时，； 当时，. 所以函数的解析式为. 【经典例题五 分段函数的定义域】 【例1】（23-24高一上·上海奉贤·阶段练习）下面各组函数中表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断答案. 【详解】对A，的定义域为R，的定义域为，则A错误； 对B，的定义域均为R，且，则B正确； 对C，的定义域为，的定义域为R，则C错误； 对D，的定义域为，的定义域为R，则D错误. 故选：B. 【例2】（2024高一上·江苏淮安·学业考试）如图：一动点P从边长等于1正方形ABCD的顶点B出发，按照顺序运动，设点P运动的路程为，的面积为y. (1)求y关于的函数关系式，并指出相应的定义域； (2)求函数的值域. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分、及讨论即可得； （2）分别计算出、及的值域后即可得. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 即有； （2）当，则， 当时，， 当时，， 综上所述，函数的值域为. 1．（23-24高三上·安徽滁州·期中）设函数f(x)＝F(x)＝f(x)＋x，x∈R.F(x)的值域为(　　) A．(－∞，1] B．[2，＋∞) C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞) 【答案】C 【分析】首先写出函数的解析式，然后求解其值域即可. 【详解】由题意可得：， 当时，，当且仅当时等号成立，此时函数的值域为； 当时，，，则函数在区间上单调递增， 由于，当时，，此时函数的值域为， 综上可得，函数的值域为. 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查分段函数值域的求解，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．（23-24高二下·湖北黄冈·期末）设，若是的最小值，则的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，可求得此时；当时，根据二次函数性质可知，若不合题意；若，此时；根据是在上的最小值可知，从而构造不等式求得结果. 【详解】当时，（当且仅当时取等号） 当时， 当时，在上的最小值为，不合题意 当时，在上单调递减     是在上的最小值    且     本题正确选项： 【点睛】本题考查根据分段函数的最值求解参数范围的问题，关键是能够确定每一段区间内最值取得的点，从而确定最小值，通过每段最小值之间的大小关系可构造不等式求得结果. 3．（2024高三·全国·专题练习）若函数(a>0，且a≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x－2＝－(x－1)2－1， f(x)在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减， ∴f(x)在(－∞，2]上的最大值是－1，又f(x)的值域是(－∞，－1]，∴当x＞2时， logax≤－1，故0＜a＜1，且loga2≤－1， ∴≤a＜1，故答案为. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数求函数g(x)＝x2f(x－1)的值域． 【答案】(－∞，0]∪(1，＋∞)． 【分析】利用分段函数，结合符号函数的特征，从而求得函数在对应区间上的解析式，进一步求得其在相应区间上的值域，最后并到一起，求得结果. 【详解】因为函数 所以当x＞1时，x－1＞0，f(x－1)＝1，g(x)＝x2f(x－1)＝x2＞1； 当x＝1时，x－1＝0，f(x－1)＝0，g(x)＝x2f(x－1)＝0； 当0＜x＜1时，x－1＜0，f(x－1)＝－1，g(x)＝x2f(x－1)＝－x2∈(－1，0)； 当x≤0时，x－1＜0，f(x－1)＝－1，g(x)＝x2f(x－1)＝－x2≤0. 故函数g(x)＝x2f(x－1)的值域为(－∞，0]∪(1，＋∞)． 【点睛】该题考查的是有关求函数的值域的问题，涉及到的知识点有符号函数的意义，分段函数的值域的求解，属于简单题目. 【经典例题六 分段函数的性质及应用】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项中不是分段函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分段函数定义和性质即可得到不是分段函数的选项. 【详解】分段函数在各段定义域上有着不同的对应关系， 其定义域为各段函数的定义域的并集，各段函数的定义域的交集为空集， ABD符合题意，C项中两段函数的定义域存在交集， 故选：C． 【例2】（23-24高一上·重庆·阶段练习）某地居民用电采用阶梯电价，其标准如下：每户每月用电量不超过180千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.6元；每户每月用电量超过180千瓦时，但不超过350千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.65元；每户每月用电量超过350千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.9元．某月某户居民交电费y元，已知该户居民该月用电量为x千瓦时． （1）求y关于x的函数关系式； （2）若该户居民该月交电费199元，求该户居民该月的用电量． 【答案】（1）；（2）320千瓦时． 【分析】（1）根据题意求得y关于x的函数关系式. （2）根据y关于x的函数关系式，求得该户居民该月的用电量. 【详解】（1）由题意得 （2）当时，， 当时，， 当时，. 因为，所以， 则，解得． 即该户居民该月的用电量为320千瓦时． 1．（24-25高一上·湖南株洲·期末）已知函数若存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的单调性，并结合分段函数的性质求解， 【详解】在上单调递减，且， 而在上单调递增， 要使存在最小值， 结合分段函数的图象可得： ，即， 故选：D. 2．（多选题）（22-23高一上·河南·期中）设表示，两者中较小的一个，表示，两者中较大的一个.若函数在上有最大值，则（    ） A．在上的最大值为2 B．在上的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】AC 【分析】根据分段函数，画图分析即可判断. 【详解】解：如下图实线是函数的图象，方程的根为，该函数的最大值为 所以可得函数的图象如图所示实线部分， 故当，有，或时， 由图可知在上有最大值2，且的取值范围为. 故选：AC. 3．（2022高三·全国·专题练习）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件： （1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02； （2）关于x的方程f（x）＝a无实数解， 则a的取值范围是 ． 【答案】（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞） 【分析】根据条件（1）可知x0＝0或1对应的函数值，进而结合条件（2）可得a的范围 【详解】解：根据条件（1）可得f（0）＝0或f（1）＝1， 由方程，则或者，只需令，此时只有， 又因为关于x的方程f（x）＝a无实数解，所以a≠0或1，则必定无解， 故a∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）， 故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）． 4．（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）伟大的中华民族，用仅占世界淡水总量的百分之六，养育着占全球总人口百分之二十的中华儿女.对“水”这个宝贵的资源，曾经有人认为是取之不尽用之不竭的，如今竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度.因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，因严重缺水困扰全国三分之二的城市.党的“十九”大报告指出：要节约资源，防止浪费.为了节约用水，某市出台一项水费政策，对该市居民用水实行阶梯收费，其标准如下表：（单位：元/立方米）． 档水量 户年用水量（立方米） 水价 其中 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 以上 （1）试写出消费（元）与用水量（立方米）之间的函数关系式，其中，． （2）若某居民年交水费元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各占多少？ 【答案】（1）（2）自来水费：454元，水资源费：314元，污水处理费：272元， 【分析】(1)根据题意,分三段,,进行计算即可. (2)根据(1)中的分段函数先分析交水费元中的取值范围,再分别计算自来水费与水资源费污水处理费即可. 【详解】解：（1）当时,； 当时,； 当时,； ∴． （2）当时,,, 自来水费：（元）,水资源费：（元）, 污水处理费：（元）, 【点睛】本题主要考查了分段函数的实际运用,需要根据题意分段列出合适的函数式.属于中等题型. 【经典例题七 已知分段函数的值求参数或自变量】 【例1】（2025·江西南昌·一模）已知，则方程所有的根之和为（   ） A．1 B．2 C．5 D．7 【答案】A 【分析】求方程的所有根，然后相加即可. 【详解】若，由，所以； 若，由. 因为，所以方程的所有根的和为1. 故选：A 【例2】（23-24高一上·湖南长沙·期中）已知函数，其中，. (1)求函数的解析式； (2)已知方程的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出、的值，即可得出函数的解析式； （2）分、、三种情况解方程，即可得出原方程的解集. 【详解】（1）解：因为，则， 所以，，解得， ，可得，故. （2）解：因为. 当时，由，可得，舍去； 当时，由，可得； 当时，由，可得. 综上所述，方程的解集为. 1．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）设函数，若，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】分析分段函数的单调性，结合单调性化简，求出，由此可求结论. 【详解】当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递增， 又，若，此时，不合题设， 所以，即， 由，可得， 整理得，解得或（舍去）， 所以． 故选：C. 2．（多选题）（24-25高一上·山东·期中）已知函数若，则a的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先设，求出的值，再根据的值求出的值. 【详解】先设 , 当时，，解得或（舍去，因为）. 当时，，解得.   再根据的值求的值， 当时： 若，则，，此方程无实数解. 若，则，解得（舍去，因为）.   当时： 若，则，，，解得. 若，则，解得.    综上所得，的值可能为或. 故选：BD. 3．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】设，，得到，再结合分段函数讨论求解即可. 【详解】设，，， 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，； 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，． 故答案为： 4．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知 (1)若 求的值． (2)若 求的值． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）分类讨论和，带入解析式求出就即可. （2）先换元法另，分类讨论和求出，再分类讨论和求出即可. 【详解】（1）若时， ， 若时， （舍）或， 综上所述或； （2）令，则, 当时，由已知条件得， 得， 当时，由得（舍去）， 当时，由得（正值舍去）， 当时，由，得（舍去），， 若，，（舍） 若，，无实数解，舍去， 综上所述. 【经典例题八 确定形成映射的个数】 【例1】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）集合，映射满足，那么映射的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据，列举出所有可能的映射，由此确定正确选项. 【详解】由于，所以所有可能的映射如下： 1 2 3 4 5 6 7 共种不同的映射. 故选：D 【点睛】本小题主要考查映射的概念，属于基础题. 【例2】（23-24高二·全国·单元测试）（1）若，，从集合A到集合B可以建立多少个不同的映射？从集合B到集合A呢？ （2）已知集合，，设映射，如果B中的元素都是A中的元素在下的对应元素，这样的映射有几个？ 【答案】（1）8个；9个；（2）30个. 【分析】（1）由映射的定义直接求解即可； （2）先求出集合A到集合B的映射总个数，再排除A中1，2，3，4，5都对应-1和1，2，3，4，5都对应-2这两个，即可求解． 【详解】（1），， 则从A到B的映射共有：个． 反过来从B到A的映射共有：个． （2）由题意知，从集合A到集合B的映射总个数是， 因为B中的元素都是A中的元素在f下的对应元素， 所以要除去A中1，2，3，4，5都对应-1和1，2，3，4，5都对应-2这两个， 故满足题意的映射共有个． 【点睛】本题主要考查学生对映射的理解和应用，属于基础题． 1．（23-24高二下·重庆江北·阶段练习）已知集合，，则从集合A到集合B的映射个数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据映射的定义，集合A中的每个元素在集合B中有唯一的元素与之对应，根据乘法原理得解. 【详解】根据映射的定义，集合A中的每个元素在集合B中有唯一的元素与之对应，因此集合A中的每个元素，在集合B中都有3个选择，因此可以构成:个映射. 故选:D 【点睛】本题考查了利用排列组合计算映射的个数，考查了学生概念理解，转化划归的能力，属于基础题. 2．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知集合，，为集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有（    ）种. A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】C 【分析】函数的值域C是集合B的一个子集,分析可知B的非空子集共有7个,除去有3个元素不能作为值域,则值域C的不同情况有6种. 【详解】由函数的定义可知,函数的值域C是集合B的一个子集. ,非空子集共有个； 而定义域A中至多有2个元素,所以值域C中也至多有2个元素； 所以集合B的子集不能作为值域C,值域C的不同情况只能有6种. 故选：C. 【点睛】本题考查了集合的子集个数和函数的定义,若函数的定义域和值域里的元素个数为有限个,则值域的元素个数不会超过定义域里的元素个数.本题属于中等题. 3．（23-24高二下·浙江宁波·期中）函数：满足，则这样的函数个数共有 个． 【答案】10 【分析】根据函数的定义，分别在一对一映射，三对一映射和三对二映射三种情况下讨论得到函数个数. 【详解】若为一对一映射，则，，，只有个函数； 若为三对一映射，则或2或，共有个函数； 若为三对二映射，则从中选出两个元素作为象，共种选择，其中与所选元素相同的原象对应的象必定是它本身，而另一个原象可以选择两个象中的任意一个，共有种选择.如：象为，则，，或 共有种选择，即共有个函数 综上所述：共有满足题意的函数个数为个 故答案为：10 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知，，映射满足，求满足条件的映射的个数． 【答案】7个. 【分析】对映射分三类进行讨论, 当A中三个元素都对应0时,当A中三个元素对应B中两个时，当A中的三个元素对应B中三个元素时，分别求解，即可得到答案. 【详解】i.当A中三个元素都对应0时，则有一个映射； ii.当A中三个元素对应B中两个时，满足的映射有4个，分别为满足； 满足； 满足； 满足； iii.当A中的三个元素对应B中三个元素时，有两个映射，分别为： 满足； 满足； 因此满足条件的映射共有7个． 【经典例题九 根据映射求象或原象】 【例1】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）给定的映射→（x，y∈R）的条件下，点的原像是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】原象对应象，根据映射的定义可知求出、即可． 【详解】解：根据题意有， 解得：或， 故点的原象是 故选：B． 【例2】（23-24高一上·安徽亳州·期中）若f：y＝3x＋1是从集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4，7，a4，a2＋3a}的一个映射，求自然数a，k及集合A、B. 【答案】，，，． 【分析】根据对应关系把中所有元素通过对应关系，就可得到中元素，比较元素关系求解即可． 【详解】解： ， ， ，， 由映射的定义知 （1）或（2） ，方程组（1）无解． 解方程组（2），得或（舍，，，． ， ． 所以，，，， ． 【点睛】本题考查了映射的知识，学会比较与分类讨论，属于基础题． 1．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知实数对，设映射，并定义，若，则的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：由题意，得．因为定义，所以，整理，得，所以，故选B． 考点：新定义． 2．（23-24高一上·北京西城·期中）设是集合到的映射，其中，，且，则中元素的原象为（    ）． A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】B中元素为，即，解得或，∵中的元素大于，∴原象只能为，故选C. 3．（23-24高一·陕西宝鸡·期末）已知在映射下的对应元素是，则在映射下的对应元素是 . 【答案】 【分析】在确定的对应关系下，只需令代入运算即可. 【详解】解：由在映射下的对应元素是， 则在映射下的对应元素是，即为， 故答案为. 【点睛】本题考查了映射的象与原象的相互运算，重点考查了对应关系，属基础题. 4．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射． (1)试在上给出一个非单射的映射； (2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则； (3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明过程见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）结合单射的定义举出符合条件的例子即可； （2）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可； （3）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可. 【详解】（1）由题意不妨设，当（非0）互为相反数时，满足题意； （2）一方面若是单射，且，则，即（否则若，有，矛盾）， 另一方面，若对任意，由可以得到， 我们用反证法证明是单射， 假设不是单射，即存在，有， 又由可以得到，即，这就产生了矛盾， 所以是单射， 综上所述，命题得证； （3）一方面若是单射，则由可得， 同理存在单射，使得，，有， 另一方面，若存在映射，使对任意，有， 我们用反证法来证明是单射， 若不是单射，即存在，有， 又若，则由题意，这与产生矛盾， 所以此时是单射， 综上所述，命题得证. 【点睛】关键点点睛：后面两问的关键是结合单射的定义、反证法从两方面来说明，由此即可顺利得证. 【经典例题十 求函数值】 【例1】（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数的定义域为R，且，若，则（    ） A．－2024 B．－2023 C．4049 D．4050 【答案】B 【分析】令可得，利用即可求解. 【详解】令，可得，即， 所以 ． 故选：B． 【例2】（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数. (1)求，的值； (2)探索的值并给出理由； (3)利用（2）的结论求表达式：的值. 【答案】(1)，； (2)1，理由见解析； (3). 【分析】（1）代入计算求出函数值. （2）利用分式运算即得结果. （3）利用（2）的结论，利用加法交换律、结合律计算即得. 【详解】（1）函数，则， . （2）由，得. （3）由（2）知，而， . 1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知定义在上函数满足，若，则（    ） A．1 B．16 C．128 D．256 【答案】D 【分析】由题设可得或，结合已知排除，再由得，结合即可得. 【详解】由题设，则或， 若，令，则对于任意有，而，不符； 所以，则，故， 由. 故选：D 2．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知定义域为R的函数满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用赋值法，对选项逐一判断即可求解. 【详解】由题意， 得：. 令， 则. 令，， 可得：， 由，得，故选项B错误； 令，替换为， 可得， 因为，， 所以，即， 故选项A正确； 令，替换为， 可得：，即， 所以， 所以，，…，， 故，故选项C错误； 令， 可得：， 所以， 故选项D正确. 故选：AD. 3．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数，且，则 【答案】 【分析】根据条件，令，得到，再通过累加法，即可求解. 【详解】令，得到， 所以，，，，， 累加得到， 即， 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）若，，对任意，有，且，，求． 【答案】 【分析】利用已知可得，利用，可得，进而可得，进而可得，由可求解. 【详解】因为，，令，则可得， 又，令时，可得， 令时，可得，同理可求， ，①， 再令，由，可得， 令，同理反复利用，可得， ，②， 由①②可得， 又因为对任意，有，又， 所以， 所以. 【拓展训练一 函数的表示方法】 【例1】（24-25高一上·北京·期中）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可分余数为和两种情况分别表示出班级人数和代表人数关系式，再推理即可判断得答案. 【详解】设各班人数除以10的余数为， 当时，，，， ； 当时，，，， ， 所以所求的函数关系为. 故选：B 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x（）块月饼需要y元，你能用函数的三种表示方法表示函数吗？ 【答案】答案见解析 【分析】运用函数3种表示方法表示即可. 【详解】解  函数的定义域是数集， 用解析法可将函数表示为，． 列表法可将函数表示为 月饼数x 1 2 3 4 5 6 钱数y 6 12 18 24 30 36 图象法可将函数表示为 1．（23-24高一·全国·课后作业）定义：表示不超过实数x的最大整数，称为“地板函数”．某学校高一年级要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时可增选1名代表，则各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用“地板函数”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可分余数为和两种情况分别表示出班级人数和代表人数关系式，通过证明可判断C正确. 【详解】设各班人数除以10的余数为，当时，，，，； 当时，，，， ． 故选：C． 2．（23-24高一上·福建厦门·开学考试）如图，中，，，，点P是斜边上任意一点，过点P作，垂足为，交边（或边）于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作于点，由中，，，可求得的度数与的长度，再分别从当与当时，去分析求解即可求得y与x之间的函数关系式，进一步选出图象. 【详解】过点作于点，因为，，， 所以，，. 如图1，当时，，， 所以， 如图2：当时，， 所以， 所以， 故选：D 【点睛】此题考查了动点问题，注意掌握含直角三角形的性质与二次函数的性质；注意掌握分类讨论的思想.属于中档题. 3．（24-25高一上·广东佛山·开学考试）已知函数，分别由下表给出 1 2 3 2 3 1 3 2 1 则的值为 ；满足的的值是 . 【答案】 1 2 【分析】（1）根据函数表：从内到外依次求解. （2）利用（1）的方法，按照当，，时，三种情况 分别求，再比较. 【详解】从表可知：， 所以. 当时，，不成立. 当时，，成立. 当时，，不成立. 故答案为：(1). 1 (2). 2 【点睛】本题主要考查函数的概念及求值，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题. 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数． （1）求，的值； （2）求证：是定值； （3）求的值． 【答案】(1)1；1；(2)证明见解析；(3)2019 【分析】（1）由函数，代入即可求解得值； （2）利用函数的解析式，化简运算，即可得到； （3）由（2），知，结合此规律，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数，所以， ． （2）由， 所以是定值1． （3）由（2），知． 因为，，，，… ， 所以 ． 【拓展训练二 分段函数的相关问题】 【例1】（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的性质代入求解即可. 【详解】因为，所以， 则，故B正确. 故选：B 【例2】（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知，. （1）当时，求； （2）当时，求的解析式，并画出其图象； （3）求函数的零点. 【答案】（1）；（2），函数图象如下所示；（3）或； 【分析】（1）根据自变量的范围选择对应的解析式代入求解， （2）先求出解析式，再画函数图象（分段函数）， （3）先将方程化简一下，再求解． 【详解】解：（1）当时，，， 故． （2）由（1）知，当时，． 当时，，，故． 当时，，，故． 所以当时，的解析式为． 其函数图象如下： （3），， 所以方程为 解得或． 1．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知函数的图象为折线，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由待定系数法求出，的解析式，再代入求解即可. 【详解】因为在函数的图象上， 当时，设解析式为 ，即， 当时，设解析式为， ，即， ， 即. 故选：B. 2．（多选题）（23-24高一上·广东佛山·期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（     ） A．的值域为 B．的定义域为 C． D．任意一个非零有理数， 对任意恒成立 【答案】BCD 【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项. 【详解】因为函数，所以的值城为，故A不正确； 因为函数，所以的定义域为，故B正确； 因为，所以，故C正确； 对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故D正确， 故选：BCD. 3．（23-24高一上·湖南长沙·期中）已知函数，若存在，，且，使得成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过分析的函数特征，结合已知条件，对参数进行分类讨论并结合图像即可求解. 【详解】因为是开口方向向下，对称轴为直线的一元二次函数， 由可知， ①当，即时，由二次函数对称性知：必存在，使得； ②当，即时，若存在，使得， 则函数图象需满足下图所示： 即，解得：，所以； 综上所述：，从而实数a的取值范围为. 故答案为：. 4．（22-23高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义在上的函数的图像经过原点，在上为一次函数，在上为二次函数，且时，，， (1)求的解析式； (2)求关于的方程的解集. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法及二次函数的性质，结合点在函数的图象上即可求解； （2）根据（1）的结论及分段函数分段处理的原则即可求解. 【详解】（1）当时，∵， ∴设. 又，∴，解得. ∴，. ∴. 故和时，的图象均过点. ∵当时，为一次函数， ∴设. ∵的图像过原点，∴， ∴，即. 将点代入，得，即 所以，. 综上所述，的解析式为. （2）当时，，解得； 当时，，即，解得， 又因为，， 所以， 综上所述，的取值为或. 【拓展训练三 映射的相关问题】 【例1】（23-24高一上·甘肃天水·阶段练习）函数满足，则这样的函数个数共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据函数的定义，分别在一对一映射，三对一映射和三对二映射三种情况下讨论得到函数个数. 【详解】若为一对一映射，则，，，只有个函数； 若为三对一映射，则或或，共有个函数； 若为三对二映射，则从中选出两个元素作为象，共种选择，其中与所选元素相同的原象对应的象必定是它本身，而另一个原象可以选择两个象中的任意一个，共有种选择 如：象为，则，，或 共有种选择，即共有个函数 综上所述：共有满足题意的函数个数为个 故选： 【点睛】本题考查函数概念的应用，关键是能够根据对应关系准确的进行分类讨论. 【例2】（23-24高一·江苏·课后作业）假定某高中每个班级都有45位同学，每个班级学生按1~45进行编号，全校学生的姓名都不相同.设集合为某高中的学生的姓名，，f：每个学生姓名对应学生的编号；g：每个编号对应学生的姓名.问：f是否为从A到B的映射？g是否为从B到A的映射？ 【答案】f是从A到B的映射，g不是从B到A的映射. 【分析】根据映射的定义可判断. 【详解】解：f是从A到B的映射，g不是从B到A的映射，理由如下: 因为每个学生姓名对应学生的编号唯一确定，编号对应的学生姓名不唯一，所以f是从A到B的映射，g不是从B到A的映射. 1．（2024·上海浦东新·二模）设P、Q是R上的两个非空子集，如果存在一个从P到Q的函数y=f（x）满足：（1）Q={f（x）|x∈P}；（2）对任意x1，x2∈P，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），那么称这两个集合构成“P→Q恒等态射”，以下集合可以构成“P→Q恒等态射”的是 A．R→Z B．Z→N C．[1，2]→（0，1） D．（1，2）→R 【答案】D 【分析】利用题目给出的“P→Q恒等态射”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即Q是函数的值域，且函数为定义域上的增函数，即可得到要选择的答案． 【详解】根据题意，函数f（x）的定义域为P，单调递增，值域为Q，由此判断，对于A，定义域为R，值域为整数集，且为递增函数，找不出这样的函数；对于B，定义域为Z，值域为N，且为递增函数，找不出这样的函数；对于C，定义域为[1，2]，值域为（0，1），且为递增函数，找不出这样的函数；对于D，可以作出满足条件的函数图象（事实上，可取f（x）=tan（πx–），且f（x）在（1，2）递增，可得值域为R，满足题意）． 故选D． 【点睛】本题考查映射的定义和判断，考查构造函数的能力，属于中档题． 2．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）设集合，都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：则方程的解的集合是 表一： 映射f的对应法则 原像 1 2 3 4 像 4 2 3 1 表二： 映射g的对应法则 原像 1 2 3 4 像 4 3 1 2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可采用分类讨论的方法来确定解集 【详解】查表可知，若，则，，，与对应法则不匹配，排除； 若，则，，，与对应法则匹配，符合； 若，则，，，与对应法则匹配，符合； 若，则，，，与对应法则不匹配，不符合 故方程的解的集合是 故选B 【点睛】本题考查映射与函数的关系，正确区分原像与像及函数的对应关系是解题的关键，属于基础题 3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知集合，设为从集合到集合的函数，则这样的函数一共有 个，其中函数的值域一共有 种不同情况． 【答案】 【分析】分析函数个数时，利用定义域中的任意一个元素都可以对应集合的任何一个元素，由此计算出函数的个数；分析函数的值域时，考虑对应关系为一对一、多对一的情况，由此得到值域的种数. 【详解】因为定义域中有三个元素：，其中每个元素都可以对应到集合中的三个元素中的任意一个， 所以对应关系共有：种，所以函数的个数为：； 将对应关系分为：一对一，多对一（二对一、三对一） 若为一对一，值域有：，共种情况， 若为二对一，值域有：，共种情况， 若为三对一，值域有：，共种情况， 所以值域有种. 故答案为；. 【点睛】本题考查根据函数的对应关系计算函数和值域的种数，难度一般.根据“为从集合到集合的函数”去计算函数或者值域的种数时，注意：函数的定义域为集合，但是值域是集合的子集. 4．（23-24高一下·浙江温州·期末）设集合，，则从到的函数共有多少个；其中满足函数个数共有多少个. 【答案】 27 10 【解析】根据集合中，每个元素在集合都有3种对应方式，可得从到的函数个数；由函数的概念，可分自变量取1，2，3对应同一个函数值，自变量有一个值对应函数值是自身，而另两个对应同一函数值及三个自变量对应的函数值个数自身求得所有函数个数． 【详解】集合中，每个元素在集合都有3种对应方式， 所以从到的函数共有个； 从到的函数满足，可有以下几类： ①（1）（2）（3）， 或（1）（2）（3）， 或（1）（2）（3）， 共3个． ②（1）；（2）（3）， 或（1）；（2）（3）， 共2个． （2）；（1）（3）， 或（2）；（1）（3）， 共2个． （3）；（1）（2）， 或（3）；（1）（2）， 共2个． ③（1）；（2）；（3）， 共1个． 综上，这样的函数共有10个． 故答案为：27，10． 1．（24-25高一·浙江·开学考试）已知函数，若M＝f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（2014），，则M+N＝（    ） A．2014 B． C．2013 D． 【答案】D 【分析】根据，计算求值. 【详解】根据题意可知： ， … 可得： ， 又， . 故选：D. 【点睛】本题考查函数解析式，函数的性质，属于基础题型. 2．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】直接计算得到答案. 【详解】，则. 故选：B. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）若函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值. 【详解】根据函数图象可知和不在函数的定义域内， 因此和是方程的两根，可得， 又易知，可得， 即，所以. 故选：D 4．（24-25高一·全国·假期作业）已知函数，则（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，分别代入数值计算即可求解. 【详解】由题意， . 故选：B. 5．（23-24高三·甘肃武威·阶段练习）下列四个对应中，哪个对应不是从到的映射？ A．设，，对应关系：矩形和它的面积对应. B．，，对应关系：. C．，，对应关系：. D．，，：. 【答案】C 【详解】对于A，，，对应关系：矩形和它的面积对应，是唯一对应，是映射；对于B，，，对应关系：，时，时，是唯一对应，是映射；对于C，，，对应关系：，时，在B中没有对应的象，不能构成映射；对于D，，，是唯一对应，是映射，故选C. 6．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用的解析式求出的解析式即可判断. 【详解】，所以,故A正确，B错误； ，所以，故C正确，D错误． 故选：AC. 7．（多选题）（24-25高一上·广西柳州·期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在时电量为0 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 【答案】ACD 【分析】根据函数图像的意义逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，充电结束时，由图像可知，电量是，A选项正确； B选项，由图像，5h时刻，电量剩余为，B选项错误； C选项，由图像，内电量下降的速度平均为， 内下降的速度平均为，前者更快，C选项正确； D选项，由于期间电量上涨，可知进行了充电操作，D选项正确. 故选：ACD 8．（多选题）（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数用列表法表示如表，若，则可取（    ） 1 2 3 4 5 2 3 4 2 3 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BCD 【分析】根据，结合列表中的数据求解判断. 【详解】当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则， 故选：BCD 9．（多选题）（23-24高一上·浙江温州·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】因为，可得，分段求解析式，结合图象可得． 【详解】解：因为，，函数图象如下所示：    ，时，，， ，时，，，，； ，时，，，，， 当，时，由解得或， 若对任意，，都有，则． 故选：． 【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，解答的关键是根据函数的性质画出函数图象，数形结合即可得解； 10．（多选题）（24-25高一上·吉林长春·期末）已知定义在上的函数满足：对、，，且，，则以下结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】令，可求出的值，可判断A选项；令，可求出的值，可判断B选项；令，，可判断C选项；令，，可推导出，进而可判断D选项. 【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对； 对于B选项，令，可得，即，解得，B错； 对于C选项，令，，可得，所以，，C对； 对于D选项，令，，则有， 所以，，故，D对. 故选：ACD. 11．（23-24高一上·重庆·期末）若，则方程在内的所有实根之和为 . 【答案】 【分析】根据条件，直接求出在上的解析式，再联立方程，求出所有实根，即可求出结果. 【详解】因为， 当时，，由，得到， 即，解得或（舍）， 当时，，由，得到， 即，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 综上所述，方程在内的所有实根之和为， 故答案为：. 12．（23-24高一上·北京·期中）对任意的，若函数的大致图象如图所示（两侧的射线均平行于x轴），则满足条件的a，b的值可以分别为 . 【答案】1，（答案不唯一） 【分析】将化为分段函数，逐段与图像对应，根据图像在各段上的变化规律，进而确定解析式的各项系数，进而即得. 【详解】当时，， 由题图可知； 当时， 由题图可知； 当时，， 由题图又可得出①②两式， 由①和③两式可得，此时②和④均成立. 故可取，（注：答案不唯一，满足且即可） 故答案为：1，（答案不唯一） 13．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知函数由下表给出 0 1 2 3 4 其中的值等于、、、和中所出现的次数，则 ． 【答案】5 【分析】假设出现次数大于等于1次，即的值大于等于1，推出矛盾，由此得，从而，同理可得，由此可得，，从而讨论可得，于是可以得到，∈{1，2}，分类讨论即可得出答案. 【详解】（，1，2，3，4）等于在、、、和中k所出现的次数， 则， 若在“、、、、”中出现次数超过0次， 不妨设出现1次，则. 设，则在“、、”这3个数中出现4次，矛盾， 同理在“、、、、”中出现过2、3、4次也不可能， 即不能出现，所以. 同理，若出现次数超过0次，不妨设出现1次， 即，设，则在“、”这2个数中出现3次，矛盾， 故不可能出现，所以. 因为，， 以在“、、、，”中至少出现了2次， 所以， 若或4，即或出现了1次，则或不为0，矛盾， 所以，，， 所以，，所以“、、、和”仅有下列四种可能： ①、、、和， ②、、、和， ③、、、和， ④、、、和， 其中：①中，出现2次与矛盾，不可能； ②满足题意；③出现2次与矛盾； ④中，出现3次与矛盾； 故仅有“、、、、”满足题意， 故. 故答案为：5 14．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】分类讨论，求解方程即可. 【详解】当时,令，得.不满足这个条件，舍去. 当时,令,可得.由于，所以舍去，保留. 当时,令，可得.不满足的条件，所以这个解不符合要求，舍去. 综上所述，满足的的值为. 故答案为：. 15．（2024高三·河北·专题练习）设是从集合A到B的映射, ,,若B中元素在映射f下与A中的元素对应,则k，b的值分别为 【答案】k＝2，b＝1 【分析】根据B中元素在映射f下与A中的元素对应,我们可以构造一个关于k,b的方程组,解方程组即可得到答案. 【详解】, B中元素在映射f下与A中的元素对应, 则 解得 故答案为2,1 【点睛】本题考查的知识点是映射,其中根据已知中映射反映的对应关系,构造关于k,b的方程组,是解答本题的关键. 16．（22-23高一上·全国·课后作业）已知函数,（）. (1)分别计算， 的值. (2)由（1）你发现了什么结论?并加以证明. (3)利用（2）中的结论计算的值. 【答案】(1)，. (2)结论，证明见解析. (3). 【分析】（1）根据函数解析式，代入求值即得答案； （2）根据（1）的结果可得结论，并利用函数解析式进行证明即可； （3）求出，根据（2）的结论，分组求和，可得答案. 【详解】（1）由题意得， . （2）由（1），得结论. 证明如下: . （3）由，可得， 故 . 17．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式． 【答案】详见解析. 【详解】试题分析: 题中给定的图象是一个分段函数的图象，当时,函数为一次函数,设函数解析式为,将(1,1)，(0,2)代入求解; 同理求出x>3时的解析式; 1≤x≤3时，设函数的解析式为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a<0), 将(1,1)代入求出a值;最后写成分段函数的形式. 试题解析:题中给定的图象实际上是一个分段函数的图象，对各段对应的函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点． 根据图象，设左侧的射线对应的函数解析式为． ∵点(1,1)，(0,2)在射线上， ∴,解得, ∴左侧射线对应的函数的解析式为y＝－x＋2(x<1)． 同理，x>3时，函数的解析式为y＝x－2(x>3)． 再设抛物线对应的二次函数解析式为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a<0)． ∵点(1,1)在抛物线上，∴a＋2＝1，a＝－1. ∴1≤x≤3时，函数的解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)． 综上可知，函数的解析式为 . 18．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）据百度百科，罗伯特纳维利斯是一位意大利教师，他的主要成就是于1905年发明了家庭作业.对于数学学科来说，家庭作业通常有选择题、填空题、解答题三种题型构成，据某位专家量化研究发现，适量的家庭作业量有利于学习成绩的提升，过少或过多的家庭作业均不利于学习成绩的提升.这位专家把一个选择题量化为1.0，一个填空题约量化为1.6，一个解答题约量化为4.2.于是数学学科的家庭作业量可以用一个正实数来量化.家庭作业量对应的关联函数家庭作业量对应的学习成绩提升效果可以表达为坐标轴轴，直线以及关联函数所围成的封闭多边形的面积与的比值(即).通常家庭作业量使得认为是最佳家庭作业量. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）成都七中高一某班的数学学科家庭作业通常是一个课时对应练习题(6个选择题、4个填空题及3个解答题)，问这个班级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量？ 【答案】（1）；；（2）；（3）是最佳. 【解析】（1）根据三角形面积公式计算可得，由即可求得； （2）利用分段函数依次计算可得的解析式； （3）根据已知计算可得成都七中高一某班的家庭作业量，进而计算，与30作比较即可得出结果. 【详解】解：（1） （2）当时， 当时， 当时， 当时， 所以 （3）成都七中高一某班的家庭作业量为 所以这个班级的数学学科家庭作业量是最佳家庭作业量. 【点睛】本题考查分段函数的应用，考查计算能力和理解能力，属于中档题. 19．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数 (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】（1）由内向外代入求值即可； （2）通过，，分类讨论即可. 【详解】（1）所以， 因此， （2）当时，由，可得，舍去； 当时，由，可得； 当时，由，可得（舍）或． 综上所述，或． 20．（2025高三·全国·专题练习）证明：如果函数满足下面两个恒等式中的一个，则必满足另一个： ，、； ，、. 【答案】证明见解析 【分析】根据容易验证成立，若第二个等式成立，令，结合第二个等式逐一推导，结合赋值法、换元法可推出第一个等式成立. 【详解】如果函数满足第一个恒等式， 那么，、， 即也满足第二个恒等式． 现在设函数满足第二个恒等式，令， 得． 又． 故①． 在①中变换变量和的位置， 又得②． 由①和②，有③． 在③中令，有． 所以，， 即④． 在④中令，易得⑤． 在④中令，有，从而． 在④中令，有⑥． 由⑤和⑥，我们得到，即⑦． 由④和⑦，有． 在上式中再令，得到⑧． 故当时，由⑧，有． 另一方面，当时，由⑤，成立． 因此，满足第一个恒等式． 故原结论成立. 学科网（北京）股份有限公司 $