21.3实际问题与一元二次方程 同步练习卷-2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.3 实际问题与一元二次方程 一、选择题 1．如图，有一张长，宽的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．为增强学生体质，某学校准备开展足球比赛，赛制为单循环形式，现计划安排场比赛，则共有几支队伍参赛（    ） A． B． C． D． 3．流行性感冒传染迅速，每轮传染中平均一人可传染人，若开始时有一人患病，经过两轮传染后共有100人患病，可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．某制药厂将一种药剂价格逐年降低，若2023年这种药剂的价格为240元，2025年该药剂的价格为194.4元，则2023年到2025年这种药剂价格的年平均下降率为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的边与x轴平行，对角线交点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．张伟计划用家里现有的篱笆围建一个矩形羊圈．他计算了一下，如果把10米长的墙作为所围的矩形的一边，则这个矩形的面积是单纯利用篱笆围成的最大矩形面积的2倍．张伟家里现有的篱笆总共长度是（    ） A．20米 B．24米 C．28米 D．32米 7．如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 8．中国人口普查自1990年开始每十年一次，据了解，第五次全国人口普查总人口约为亿，第七次全国人口普查总人口约为亿．若每次人口普查人口的平均增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．某村的“智慧春耕”让生产更高效，使A品种玉米亩产量从两年前的1000斤增长到了今年的1210斤，则该玉米亩产量年平均增长率为 ． 10．某公司十月份的销售额为8万元，若该公司第四季度每个月的销售额的增长率均为，十二月份的销售额为万元，那么与的函数关系式为 ． 11．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长 米． 12．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为828平方步，宽比长少13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为 ． 13.若小童利用手机发短信给若干个同学，收到短信的同学又按小童的发送人数发送该短信，经过两轮发送后，共有人手机上收到该短信，则每轮一个人要给          个同学发短信． 三、解答题 14．汤圆是宁波的特色美食，某店在销售某品牌汤圆时发现，该品牌汤圆进价为20元/盒，当销售单价定为33元/盒时，平均每天可售出100盒，为了扩大销售，该店决定降价经调查发现，每盒汤圆降价1元，平均每天可多售出20盒． (1)若降价2元，则每盒汤圆盈利 元，平均每天可售出 盒： (2)若商店该品牌汤圆的日销售利润为1600元，为尽快减少库存，问每盒汤圆销售价定为多少元合适？ 15．某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节设计．如图，王博同学设计的矩形长，宽，为了使这个更美观，他要给添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为，求边框的宽． 16．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若月增长率不变，求7月份销售头盔多少个？ 17.某网店销售一款童装，每件售价元时每周可卖件，为避免产品积压，最大限度地减少库存，该店决定降价销售，经市场调查发现，每降价元每周可多卖件．已知该款童装每件成本价为元．若总利润要达到元，问每件童装的售价应定为多少元？ 参考答案 1．D 2．B 3．A 4．A 5．D 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形——平移、两点之间的距离公式、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握平移的性质是解题关键．设点的坐标为，先求出，轴，，，再根据两点之间的距离公式求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意，设点的坐标为， ∵边长为4的正方形的边与轴平行，对角线交点是坐标原点， ∴，轴，，即， 由题意得：，， ∴轴，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 又∵轴，， ∴，即， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查一元二次方程与几何综合，设现有的篱笆总共长度是米，分别表示出两个矩形的面积，然后列方程求解即可． 【详解】解：设现有的篱笆总共长度是米， ∴把10米长的墙作为所围的矩形的一边，这个矩形的另一边长为，面积为； 设单纯利用篱笆围成的矩形一边长为米，则矩形的另一边长为，面积为， ∴当时，单纯利用篱笆围成的最大矩形面积为， ∴， 解得， 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，由题意得，，则，由勾股定理得到，则，则由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 在中，，，，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用—增长率问题，弄清题意、找准等量关系是解题的关键． 根据题意可知第五次人口总数约是亿，第七次全国人口普查总人口约为亿，再根据两次的增长率为x，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为x， 根据题意得：， 故选：B． 9． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题，利用增长率的等量关系，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设该玉米亩产量年平均增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； ∴该玉米亩产量年平均增长率为； 故答案为：． 10． 【分析】考查了二次函数的实际应用，根据现有量原有量(增长率)，即可列方程求解． 【详解】∵十月份的销售额为8万元，若该公司第四季度每个月的销售额的增长率均为，十二月份的销售额为万元， ∴依题意得：． 故答案为：． 11．6 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答． 设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答． 【详解】解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意，得， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴符合题意， 答：生态园垂直于墙的边长为6米． 12． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识．由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形的宽为步，且宽比长少13步， ∴矩形的长为步． 依题意，得：． 故答案为：． 13.  14．(1)11，140 (2)28元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）直接计算降价后的单盒利润和销量即可． （2）建立利润方程并求解，根据库存要求选择合适解． 【详解】（1）解：若降价2元，则每盒汤圆盈利：（元） 平均每天可售出：（盒） 故答案为：11；140； （2）设每盒汤圆销售价降价x元：则平均每天可售出盒， 由题意：得． 整理，得， 解得． 为了尽快减少库存． 每盒汤圆销售价应降价5元． 每盒汤圆销售价定为（元）． 答：每盒汤圆销售价定为28元合适． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设边框的宽为，根据添加边框后的整个图形的面积为建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设边框的宽为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：边框的宽为． 16．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数运算的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：（个）． ∴预计7月份该品牌头盔销售量是个． 17.解：设每件童装应降价元销售，则每周可售出件童装，  依题意，得，  整理，得，  解得，为避免产品积压，最大限度地减少库存，，  答：每件童装的售价应定为元．  学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $