精品解析：辽宁省丹东市第十七中学2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试题

九年级上学期开学质量监测数学试卷 答卷时间：80分钟 满分值：100分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是用五个相同的立方块搭成的几何体，其从上面看到的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意找出从上面看到的图形即可． 【详解】从上面看到的图形有两层，第一层有3个正方形，第二层右边有一个正方形． 故选：C． 【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，弄清从不同方向看到的图形形状是解题的关键，是基础知识比较简单． 2. 粮安天下，夏粮生产迎来又一个丰收年景．国家统计局数据显示，2019年全国夏粮总产量14174万吨，比去年增长2.1%，14174万这个数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：∵14174万=141 740 000， ∴14174万这个数用科学记数法表示为 故选C. 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】中心对称图形：一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念逐项判断即可．本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法． 分别根据积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法计算即可． 【详解】A． ，原计算错误 B． ， 不是同类项，无法合并，原计算错误 C． ，原计算错误 D． ，原计算正确 故选：D 5. 向如图所示的地砖上随机地掷一个小球，当小球停下时，最终停在地砖上阴影部分的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据停在地砖上阴影部分的概率等于阴影部分的面积占地砖的面积之比计算即可． 【详解】解：∵由图可知，， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查简单随机事件的概率，掌握停在地砖上阴影部分的概率等于阴影部分的面积占地砖的面积之比是解题的关键． 6. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得到角的关系，再结合垂直的定义求出的度数．本题主要考查了平行线的性质以及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 直线 ∴ ∵ ∴ 又∵ ， ∴ ∴ 故选：C． 7. 如图，在矩形中，点在边上，，连接，若， ，则的长为（ ） A. 2 B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，从而得到的长度，进而得出和的长度，最后在直角三角形中用勾股定理求出的长度．本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是矩形 ∴ ， ， ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规则，再应用于点B即可得到点D的坐标． 【详解】解：由题意，点向上平移5个单位得到点， ∴点向上平移5个单位得到点， ∴点的坐标为，即； 故选B． 9. 如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程(　　) A. 2x·x＝24 B. (10－2x)(8－x)＝24 C. (10－x)(8－2x)＝24 D. (10－2x)(8－x)＝48 【答案】D 【解析】 【详解】设x秒后，螳螂走了 2x,蝉走了x,MB=10-2x,NC=8-x, 由题意知(10－2x)(8－x)＝24, (10－2x)(8－x)＝48,选D. 10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点G，连接AG．若△AFG的周长为9，则BC的长为（ ） A. 6 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图过程可得AF＝AG，ED是AB的垂直平分线，然后证明AF=BF=AG，FC=CG，进而可以解决问题． 【详解】由作图过程可知：AF＝AG，ED是AB的垂直平分线， ∴AF＝BF， ∴AF＝BF＝AG， ∵∠ACB＝90°， ∴FC＝GC＝FG， ∵△AFG的周长为9， ∴BC＝BF＋FC＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法． 二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 11. 习近平总书记一贯提倡“厉行节约，反对浪费”，如果节约电记作，那么浪费记作___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正负数的意义求解即可． 【详解】解：∵节约电记作， ∴浪费记作， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正负数的意义，熟知正负数的意义是解题的关键． 12. 小军用100元去买单价为5元的笔记本，他买完笔记本之后剩余的钱元与买这种笔记本数量本之间的关系式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了列函数关系式，关键是明确等量关系．由剩余的钱原有的钱用去的钱，可列出函数关系式． 【详解】解：依题意得，剩余的钱y（元）与买这种笔记本的数量x之间的关系为： ． 故答案为：． 13. 甲、乙、丙、丁四个小组的同学分别参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，在相同条件下各小组的成绩情况如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均分 85 90 88 90 方差 3.5 3.5 4 4.2 若要从中选择出一个小组参加年级的比赛，那么应选__________． 【答案】乙 【解析】 【分析】要选择参加年级比赛的小组，需比较各小组的平均分和方差，选择平均分高且方差小（成绩稳定）的小组．本题主要考查了平均数和方差的意义，熟练掌握方差越小数据越稳定是解题的关键． 【详解】解：乙和丁的平均分都是，高于甲的和丙的． 乙的方差小于丁的方差 ． 所以要从中选择出一个小组参加年级的比赛，那么应选乙， 故答案为：乙． 14. 如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为 _____千米． 【答案】6 【解析】 【分析】证明AB＝PB，在Rt△PAC中，求出PC＝3千米，在Rt△PBC中，解直角三角形可求出PB的长，则可得出答案． 【详解】解：由题意知，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°， ∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°， ∴∠PAB＝∠APB， ∴AB＝PB， 在Rt△PAC中，∵AP＝6千米， ∴PC＝PA＝3千米， 在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝， ∴PB＝＝6千米． ∴AB＝6千米． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了解直角三角形应用题，方向角：指正北或指正南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．注意在描述方向角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度.当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为____时，△AB'D是直角三角形． 【答案】6或4 【解析】 【分析】分∠B′AD=90°和∠AB′D=90°两种情况，画出图形，利用含30°的直角三角形的性质和矩形的判定与性质解答即可． 【详解】解：∵AB＜BC，∴∠ADB′≠90°． ①当∠B′AD=90°时，如图1，延长B′A交BC于E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC， ∴∠B′EC=90°， 由折叠性质得，BC=B′C，AB=AB′，∠AB′C=∠B=30°， 在Rt△B′EC中，CE=B′C，即CE=BC， ∴BE=CE=BC， 在Rt△ABE中，∠B=30°，AB＝2， ∴AE=AB=，BE==3， ∴BC=2BE=6； ②当∠AB′D=90°时，如图2，设AD与B′C相交于O， ∵AD∥BC， ∴∠OAC=∠ACB， 由折叠性质得：∠BAC=∠B′AC，∠ACO=∠ACB，∠B=∠AB′C， ∴∠OAC=∠ACO， ∴OA=OC，又AD=BC=B′C， ∴OD=OB′ ∴∠ODB′=∠OB′D，即∠ADB′≠90°． ∵∠ADC=∠B=∠AB′C， ∴∠CDB′=∠AB′D=90°， ∴CD∥AB′，又CD =AB′， ∴四边形AB′DC是矩形， ∴∠B′AC=90°，即∠BAC=90°， 在Rt△BAC中，∠B=30°，AB=， ∴BC=2AC，BC2=AB2+AC2， 解得：BC=4， 综上，当BC长为6或4时，△AB′D是直角三角形． 故答案为：6或4． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识间的联系与运用是解答的关键． 三、解答题（本题共8小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）0（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）原式先计算乘方、开方和化简绝对值，再算乘法，最后计算加减法即可； （2）将能进行因式分解的分母进行因式分解，然后先算除法，再算减法． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 解方程． （1）（配方法）． （2）（公式法）． （3）（因式分解法）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法．熟练掌握配方法、公式法和因式分解法的步骤和适用情况是解题的关键． （1）使用配方法求解，配方法的关键是将一元二次方程转化为完全平方式的形式． （2）采用公式法，公式法适用于任意一元二次方程，需要明确公式中的各项系数，然后代入求根公式求解． （3）使用因式分解法，先将方程化为一般形式，再通过因式分解将其转化为两个因式乘积等于0的形式，进而求解方程． 【小问1详解】 解： ， ∴，； 【小问2详解】 解：， 其中 ，，， ， ∴，； 【小问3详解】 解： 或 ∴，． 18. 某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．到商场购买了甲、乙两种文具作为奖品，若购买甲种文具12个，乙种文具18个，共花费420元；若购买甲种文具16个，乙种文具14个，共花费460元； （1）求购买一个甲种、一个乙种文具各需多少元？ （2）班主任决定购买甲、乙两种文具共30个，如果班主任此次购买甲、乙两种文具的总费用不超过500元，求至多需要购买多少个甲种文具？ 【答案】（1）甲种文具需要20元，一个乙种文具需要10元 （2）20 【解析】 【分析】（1）设购买一个甲种文具需要x元，一个乙种文具需要y元，然后根据若购买甲种文具12个，乙种文具18个，共花费420元；若购买甲种文具16个，乙种文具14个，共花费460元，列出方程组求解即可； （2）设需要购买m个甲种文具，则购买（30﹣m）个乙种文具，然后根据购买甲、乙两种文具的总费用不超过500元，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个甲种文具需要x元，一个乙种文具需要y元， 依题意得：， 解得：， 答：购买一个甲种文具需要20元，一个乙种文具需要10元． 【小问2详解】 解：设需要购买m个甲种文具，则购买（30﹣m）个乙种文具， 依题意得：20m+10（30﹣m）≤500， 解得：m≤20． 答：至多需要购买20个甲种文具． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题的关键在于能够准确理解题意列出式子求解． 19. 某校为了解八年级学生参加社会实践活动情况，随机调查了本校部分八年级学生在第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为________，图①中的m的值为_________； （2）求本次抽样调查获取的样本数据的中位数； （3）若该校八年级学生有480人，估计参加社会实践活动时间大于7天的学生人数． 【答案】（1）40，20 （2）6 （3）96人 【解析】 【分析】（1）根据5天的人数和所占的百分比求出抽样调查总人数，用6天的人数除以总人数即可求出m的值； （2）根据中位数计算公式进行解答即可； （3）用八年级的人数乘以参加社会实践活动时间大于7天的学生人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次接受随机抽样调查的学生人数为：14÷35%=40（人）， m%=×100%=20%，则m=20； 故答案为：40，20； 【小问2详解】 解：∵ 本次抽样调查了40个学生， ∴ 中位数是第20、21个数的平均数， ∴ 中位数是（6+6）÷2=6 ， 【小问3详解】 解：根据题意得： 480×（10%+10%）=96（人）． 答：参加社会实践活动时间大于7天的学生人数约是96人． 【点睛】本题考查了条形统计图的综合运用，用样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 20. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作 ，与相交于点，连接，交于点． （1）求证：四边形 是矩形； （2）若，求线段的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由， ，可得四边形 是平行四边形，由菱形的性质可得，据此即可求证； （2）利用菱形和矩形的性质可得，，进而证明可得即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ， ∴四边形 是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形 是矩形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形 是矩形， ∴ ，，， ∴， ∵ ，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 21. 阅读： 对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则 或 ．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程有两个解，分别为2，________． （2）关于x的方程的两个解分别为2，_________． （3）关于x的方程的两个解分别为，求的值． 【答案】（1）4． （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，确定出x1与x2的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：∵2×4=8，2+4=6， ∴方程的两个解分别为x1=2，x2=4． 故答案为：4． 【小问2详解】 解：方程变形得：， 由题中的结论得：方程有一根为2，另一个根为； 则x1=2，x2=； 故答案为：． 【小问3详解】 解：方程整理得： ， 得2x1=n1或2x1=n， 可得x1=，x2=， 则原式=． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 22. （1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，，平分，求证： ． ①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取 ，连接，将线段 的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，乐琪同学从平分这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段到点F，使 ，连接 ，发现了 与 的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图4，中，，平面内有点D（点D和点A在的同侧），连接 ， ， ，求证： ． （3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若 ，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）选择豆豆同学的证明方法 证明：∵ ， 平分，则 ，， ∴ ， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； 乐琪同学的证明方法 证明：∵ ， 平分，则 ，， ∴ ， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2）证明：延长到点，使，连接，延长， ∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ． （3） 【解析】 【分析】（1）选择豆豆同学的证明方法：根据题意证明 得出 是等腰直角三角形，进而即可得出结论；乐琪同学的证明方法证明是等腰直角三角形，即可得证； （2）延长到点，使，连接，延长 证明 ,进而根据等腰直角三角形的性质得出 ，进而根据勾股定理即可得证； （3）将沿折叠得到 ，得出 三点共线，是等腰直角三角形，则 ，延长交于点，过点作 于点，则 是等腰直角三角形， ，证明 得出，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图所示，将沿折叠得到 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 三点共线， ∵ ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， 如图所示，延长交于点，过点作 于点，则 是等腰直角三角形， ， ∵ ，则 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴，则 ， 在 中， ，则 ， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期开学质量监测数学试卷 答卷时间：80分钟 满分值：100分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是用五个相同的立方块搭成的几何体，其从上面看到的图形是（　　） A. B. C. D. 2. 粮安天下，夏粮生产迎来又一个丰收年景．国家统计局数据显示，2019年全国夏粮总产量14174万吨，比去年增长2.1%，14174万这个数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 向如图所示的地砖上随机地掷一个小球，当小球停下时，最终停在地砖上阴影部分的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，点在边上，，连接，若， ，则的长为（ ） A. 2 B. 10 C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程(　　) A. 2x·x＝24 B. (10－2x)(8－x)＝24 C. (10－x)(8－2x)＝24 D. (10－2x)(8－x)＝48 10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点G，连接AG．若△AFG的周长为9，则BC的长为（ ） A. 6 B. C. 5 D. 二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 11. 习近平总书记一贯提倡“厉行节约，反对浪费”，如果节约电记作，那么浪费记作___________． 12. 小军用100元去买单价为5元的笔记本，他买完笔记本之后剩余的钱元与买这种笔记本数量本之间的关系式为_______． 13. 甲、乙、丙、丁四个小组的同学分别参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，在相同条件下各小组的成绩情况如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均分 85 90 88 90 方差 3.5 3.5 4 4.2 若要从中选择出一个小组参加年级的比赛，那么应选__________． 14. 如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为 _____千米． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为____时，△AB'D是直角三角形． 三、解答题（本题共8小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）计算：． 17. 解方程． （1）（配方法）． （2）（公式法）． （3）（因式分解法）． 18. 某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．到商场购买了甲、乙两种文具作为奖品，若购买甲种文具12个，乙种文具18个，共花费420元；若购买甲种文具16个，乙种文具14个，共花费460元； （1）求购买一个甲种、一个乙种文具各需多少元？ （2）班主任决定购买甲、乙两种文具共30个，如果班主任此次购买甲、乙两种文具的总费用不超过500元，求至多需要购买多少个甲种文具？ 19. 某校为了解八年级学生参加社会实践活动情况，随机调查了本校部分八年级学生在第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为________，图①中的m的值为_________； （2）求本次抽样调查获取的样本数据的中位数； （3）若该校八年级学生有480人，估计参加社会实践活动时间大于7天的学生人数． 20. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作 ，与相交于点，连接，交于点． （1）求证：四边形 是矩形； （2）若，求线段的长度． 21. 阅读： 对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则 或 ．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程有两个解，分别为2，________． （2）关于x的方程的两个解分别为2，_________． （3）关于x的方程的两个解分别为，求的值． 22. （1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，，平分，求证： ． ①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取 ，连接，将线段 的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，乐琪同学从平分这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段到点F，使 ，连接 ，发现了 与 的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图4，中，，平面内有点D（点D和点A在的同侧），连接 ， ， ，求证： ． （3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若 ，，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $