第25章 概率初步（单元测试）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第25章 概率初步 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•内江期末）下列事件是必然事件的是（　　） A．π是有理数 B．367人中至少有两人的生日在同一天 C．车辆随机到达一个路口遇到红灯 D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 2．（2025•三河市一模）如图，向甲、乙两个正方形飞镖盘中各随机投掷一枚飞镖，投中阴影区域的概率分别为P甲和P乙，则下列关系正确的是（　　） A．P甲＝PZ B．P甲＜PZ C．P甲＞PZ D．无法确定P甲，PZ的大小 3．（2024秋•漳州期末）从﹣2，0，1三个数中，随机抽取两个不同的数相乘，积为负数的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（2025春•西平县期末）下列事件为必然事件的是（　　） A．明天是晴天 B．任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次 C．一个三角形三个内角和小于180° D．两个正数的和为正数 5．（2025•梧州一模）有10张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（　　） A．（黑桃） B．（红心） C．（梅花） D．（方块） 6．（2025•莆田模拟）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，乙的卡片分别标有数字2，4，6，两人进行3轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用），则三轮比赛后，甲能得2分的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（2025春•太原期中）关于概率意义的理解，下列说法正确的是（　　） A．一种彩票中奖概率是5%，因此买100张这种彩票，一定会有5张中奖 B．做抛图钉的试验5次，有3次钉尖着地，因此钉尖着地的概率为 C．掷一枚质地均匀的硬币3次，有2次正面朝上．若再掷一次，则正面朝上的概率仍是 D．射击试验中，射击一次有“中靶”和“脱靶”两种结果，因此“中靶”与“脱靶”的概率都是 8．（2025春•市中区校级期中）“七年级下册数学课本共173页，某同学随手翻开，恰好翻到第63页”，这个事件是（　　） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 9．（2025•广州模拟）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片①冰化成水，②酒精燃烧，③牛奶变质，④衣服晾干，将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取1张卡片，则所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是（　　） A． B． C． D． 10．（2025春•榆中县期中）在一个不透明的布袋中，有红球、黑球和白球共50个，且小球除颜色外其他完全相同．源源通过多次摸球试验后发现，摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右，则口袋中白球的个数很可能是（　　） A．6个 B．19个 C．25个 D．26个 二．填空题（共5小题） 11．（2024春•新田县期中）一个布袋里装有7个红球、5个白球，除颜色外其他都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为 　 　 ． 12．（2024•深圳模拟）老师将6种生活现象制成如下所示看上去无差别的卡片，从中随机抽取一张卡，抽中生活现象是物理变化的概率是　 　 ． 冰化成水 酒精燃烧 铁棒生锈 衣服晾干 牛奶变质 光合作用 13．（2024春•泰山区期中）游客到某景区旅游，经过景区检票口时，共有3个检票通道A、B、C，游客可随机选择其中一个通过，两名游客经过此检票口时，则他们选择相同通道通过的概率是 　 　 ． 14．（2024秋•义乌市期中）某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽取大量的衬衣后，算得合格衬衣的频率为0.9．估计在这一批衬衣中，1200件衬衣中有 　 　 件是合格的． 15．（2024•呼兰区校级开学）一个不透明的袋子中装3个红球，4个黄球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子里随机摸出一个小球，则摸出的小球是红色的概率是 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．（2024秋•碑林区校级期末）如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2，3，4，5，6，7指针的位置固定，转动转盘任其自由停止． （1）当转盘停止时，指针指向偶数区域的概率是多少？ （2）当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？ 17．（2024秋•衡水模拟）如图1，有一个质地均匀且四个面上分别标有数字“1”“2”“3”“4”的正四面体骰子，小明与小红按照以下规则进行游戏活动：两人轮流掷这枚骰子，骰子着地的数字是几，就将棋子前进几格，开始棋子在数字“1”的那一格．例如：小明先掷骰子，所掷骰子着地一面所示数字为3，则棋子前进到数字4那一格． （1）小明掷出骰子，数字“6”着地是 　 　 ； A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 （2）小明先掷骰子，小红再掷．补全图2中的树状图，并分析第一轮结束后，棋子前进到数字“6”那一格的概率． 18．（2024秋•长春模拟）12月18日卡塔尔世界杯闭幕．小明搜集到三张如图所示的不透明的卡片，正面图案分别是吉祥物la’eeb，足球ALRIHLA和大力神杯，依次记为A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案不相同的概率． 19．（2024秋•延边州一模）一只不透明的袋子中装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中随机取出1个球，记录颜色后放回．再次搅匀后，从中随机取出1个球．用画树状图（或列表）的方法，求两次取到的球恰好为1个白球和1个红球的概率． 20．（2024秋•四平模拟）箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶． （1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来； （2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率． 21．（2023秋•花溪区校级月考）在一个不透明的袋子里，装有9个大小和形状一样的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个． （1）当n为何值时，这个事件必然发生？ （2）当n为何值时，这个事件不可能发生？ （3）当n为何值时，这个事件可能发生？ 22．（2024秋•未央区校级模拟）如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7六个数字，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指向分界线时重新转动）． （1）转动转盘，转出的数字大于3的概率是 　 　 ． （2）现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，这三条线段能构成三角形的概率是多少？ 23．（2024秋•江宁区校级月考）文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表： 混入“HB”铅笔数 0 1 2 盒数 6 m n （1）用等式写出m，n所满足的数量关系　 　 　 ； （2）从20盒铅笔中任意选取1盒，若“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为，求m和n的值． 第25章 概率初步 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•内江期末）下列事件是必然事件的是（　　） A．π是有理数 B．367人中至少有两人的生日在同一天 C．车辆随机到达一个路口遇到红灯 D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【考点】随机事件；有理数． 【专题】概率及其应用；推理能力． 【答案】B 【分析】根据随机事件的定义，无理数的定义解答即可． 【解答】解：A、π是有理数，是不可能事件，不符合题意； B、一年最多366天，故最少会有367﹣366＝1人的生日会与其他人重复，故是必然事件，符合题意； C、车辆随机到达一个路口遇到红灯，是随机事件，不是必然事件，不符合题意； D、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上，是随机事件，不是必然事件，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是随机事件的概念，无理数，熟知必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键． 2．（2025•三河市一模）如图，向甲、乙两个正方形飞镖盘中各随机投掷一枚飞镖，投中阴影区域的概率分别为P甲和P乙，则下列关系正确的是（　　） A．P甲＝PZ B．P甲＜PZ C．P甲＞PZ D．无法确定P甲，PZ的大小 【考点】几何概率；列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】A 【分析】由图及题意可知，甲正方形中，阴影部分的面积占正方形面积的比为；乙正方形中，阴影部分的面积占正方形面积的比也为；即可得到答案． 【解答】解：如图所示： ∴由几何概率模型可知，投中阴影区域的概率P甲＝P乙， 故选：A． 【点评】本题考查几何概率模型，熟记几何概率模型问题的解法是解决问题的关键． 3．（2024秋•漳州期末）从﹣2，0，1三个数中，随机抽取两个不同的数相乘，积为负数的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法；有理数的乘法；概率公式． 【专题】统计与概率；运算能力． 【答案】B 【分析】画树状图计算即可． 【解答】解：如图： ∵一共有6种等可能性，负数有2种等可能性， ∴概率是， 故选：B． 【点评】本题主要考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图的方法是解题的关键． 4．（2025春•西平县期末）下列事件为必然事件的是（　　） A．明天是晴天 B．任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次 C．一个三角形三个内角和小于180° D．两个正数的和为正数 【考点】随机事件；三角形内角和定理． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】D 【分析】直接利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义结合三角形内角和定理分析得出答案． 【解答】解：A．明天是晴天，是随机事件，故此选项不合题意； B．任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次，是随机事件，故此选项不合题意； C．一个三角形三个内角和小于180°，是不可能事件，故此选项不合题意； D．两个正数的和为正数，是必然事件，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了随机事件以及不可能事件、必然事件的定义等知识，正确判定各事件是解题关键． 5．（2025•梧州一模）有10张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（　　） A．（黑桃） B．（红心） C．（梅花） D．（方块） 【考点】可能性的大小． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】B 【分析】根据概率公式分别求出各花色的概率判断即可． 【解答】解：由条件可知：抽到黑桃的概率为，抽到红心的概率为，抽到梅花的概率为，抽到方块的概率为， ∴抽到的花色可能性最大的是红心， 故选：B． 【点评】本题考查了可能性的大小，熟练掌握概率公式是解题的关键． 6．（2025•莆田模拟）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，乙的卡片分别标有数字2，4，6，两人进行3轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用），则三轮比赛后，甲能得2分的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【专题】概率及其应用． 【答案】C 【分析】根据题意一—列举即可求解． 【解答】解：三轮比赛结果 甲 乙 1 2 4 6 3 4 6 2 6 2 4 5 6 4 6 2 4 2 甲得分 0 1 1 1 2 1 由表可知，三轮比赛后，甲能得2分的概率是， 故选：C． 【点评】本题考查了列举法求概率，掌握知识点的应用是解题的关键． 7．（2025春•太原期中）关于概率意义的理解，下列说法正确的是（　　） A．一种彩票中奖概率是5%，因此买100张这种彩票，一定会有5张中奖 B．做抛图钉的试验5次，有3次钉尖着地，因此钉尖着地的概率为 C．掷一枚质地均匀的硬币3次，有2次正面朝上．若再掷一次，则正面朝上的概率仍是 D．射击试验中，射击一次有“中靶”和“脱靶”两种结果，因此“中靶”与“脱靶”的概率都是 【考点】概率的意义；列表法与树状图法；模拟试验． 【专题】概率及其应用；应用意识． 【答案】C 【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生． 【解答】解：A、一种彩票中奖概率是5%，那么买100张这种彩票不一定会有5张中奖，所以A选项不符合题意； B、做抛图钉的试验5次，有3次钉尖着地，但是试验次数少，因此不能确定钉尖着地的概率，所以B选项不符合题意； C、掷一枚质地均匀的硬币3次，有2次正面朝上．若再掷一次，则正面朝上的概率仍是，所以C选项符合题意； D、射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，还有脱靶的可能，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了概率的意义，解决本题的关键是掌握概率的意义． 8．（2025春•市中区校级期中）“七年级下册数学课本共173页，某同学随手翻开，恰好翻到第63页”，这个事件是（　　） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 【考点】随机事件． 【专题】概率及其应用． 【答案】C 【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此判断即可求解． 【解答】解：由题可知， “恰好翻到第63页”，这个事件是随机事件． 故选：C． 【点评】本题主要考查了事件分类，理解并掌握随机事件、必然事件和不可能事件的定义和区别是解题关键． 9．（2025•广州模拟）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片①冰化成水，②酒精燃烧，③牛奶变质，④衣服晾干，将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取1张卡片，则所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用． 【答案】C 【分析】直接运用概率公式求解即可． 【解答】解：在4张无差别的卡片①冰化成水，②酒精燃烧，③牛奶变质，④衣服晾干中，属于物理变化的是①冰化成水和④衣服晾干两张卡片， 所以，所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是， 故选：C． 【点评】本题主要考查求概率，掌握其性质是解题的关键． 10．（2025春•榆中县期中）在一个不透明的布袋中，有红球、黑球和白球共50个，且小球除颜色外其他完全相同．源源通过多次摸球试验后发现，摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右，则口袋中白球的个数很可能是（　　） A．6个 B．19个 C．25个 D．26个 【考点】利用频率估计概率． 【专题】概率及其应用． 【答案】D 【分析】用球的总数乘以白球所占球的总数的频率，即为白球的个数． 【解答】解：∵摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右， ∴摸到白球的频率稳定在1﹣0.12﹣0.36＝0.52左右， ∴白球的个数为：50×0.52＝26， 故选：D． 【点评】本题主要考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值． 二．填空题（共5小题） 11．（2024春•新田县期中）一个布袋里装有7个红球、5个白球，除颜色外其他都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为 　　 ． 【考点】概率公式． 【专题】概率及其应用． 【答案】． 【分析】根据概率计算公式求解即可． 【解答】解：根据题意，布袋里装有7个红球、5个白球， 所以，任意摸出一个球，是白球的概率为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了简单概率计算，熟练掌握简单概率计算公式是解题关键． 12．（2024•深圳模拟）老师将6种生活现象制成如下所示看上去无差别的卡片，从中随机抽取一张卡，抽中生活现象是物理变化的概率是　　 ． 冰化成水 酒精燃烧 铁棒生锈 衣服晾干 牛奶变质 光合作用 【考点】概率公式． 【专题】概率及其应用． 【答案】． 【分析】根据概率公式进行计算即可． 【解答】解：随机抽取一张卡，共有6种等可能的结果，其中抽中生活现象是物理变化的有冰化成水，衣服晾干，共2种结果， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查求概率，掌握其性质是解题的关键． 13．（2024春•泰山区期中）游客到某景区旅游，经过景区检票口时，共有3个检票通道A、B、C，游客可随机选择其中一个通过，两名游客经过此检票口时，则他们选择相同通道通过的概率是 　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用． 【答案】． 【分析】根据题意，用列表法或树状图列出所有等可能性的结果，然后选择符合题意的结果，计算出概率即可． 【解答】解：由题意列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 由列表法知，共有9种结果，可能性相同，其中两名游客选择相同通道通过的结果有3种， ∴他们选择相同通道通过的概率是； 故答案为：． 【点评】本题考查的是用列表法或树状图计算相关的概率，能根据题意列出相关的等可能性结果是解题的关键． 14．（2024秋•义乌市期中）某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽取大量的衬衣后，算得合格衬衣的频率为0.9．估计在这一批衬衣中，1200件衬衣中有 　1080　 件是合格的． 【考点】利用频率估计概率． 【专题】概率及其应用；运算能力． 【答案】1080． 【分析】根据频数＝总数×频率，即可得出答案． 【解答】解：∵1200×0.9＝1080（件）， ∴1200件衬衣中有1080件是合格的． 故答案为：1080． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 15．（2024•呼兰区校级开学）一个不透明的袋子中装3个红球，4个黄球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子里随机摸出一个小球，则摸出的小球是红色的概率是 　　 ． 【考点】概率公式． 【专题】概率及其应用． 【答案】． 【分析】用红球的个数除以球的总数即可求得答案． 【解答】解：∵袋子中装有7个小球，其中3个红球，4个黄球， ∴从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查概率公式，掌握概率公式是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 16．（2024秋•碑林区校级期末）如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2，3，4，5，6，7指针的位置固定，转动转盘任其自由停止． （1）当转盘停止时，指针指向偶数区域的概率是多少？ （2）当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？ 【考点】概率公式． 【专题】概率及其应用；推理能力． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向偶数区域2，4，6有3种结果，根据概率公式求解即可． （2）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果，根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域2，4，6有3种结果， 所以指针指向偶数区域的概率是； （2）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果， 所以指针指向的数小于或等于5的概率是． 【点评】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）且0≤P（A）≤1． 17．（2024秋•衡水模拟）如图1，有一个质地均匀且四个面上分别标有数字“1”“2”“3”“4”的正四面体骰子，小明与小红按照以下规则进行游戏活动：两人轮流掷这枚骰子，骰子着地的数字是几，就将棋子前进几格，开始棋子在数字“1”的那一格．例如：小明先掷骰子，所掷骰子着地一面所示数字为3，则棋子前进到数字4那一格． （1）小明掷出骰子，数字“6”着地是 　A　 ； A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 （2）小明先掷骰子，小红再掷．补全图2中的树状图，并分析第一轮结束后，棋子前进到数字“6”那一格的概率． 【考点】列表法与树状图法；随机事件． 【专题】概率及其应用；数据分析观念；应用意识． 【答案】（1）A； （2）． 【分析】（1）根据不可能事件、必然事件、随机事件的定义判断即可； （2）将树状图画完整，再利用等可能事件的概率公式计算即可． 【解答】解：（1）因为是四个面上分别标有数字“1”“2”“3”“4”的正四面体骰子， 所以小明掷出骰子，不可能数字“6”着地， 故答案为：A； （2）补全树状图如下： 一共有16种等可能事件，其中棋子前进到数字“6”那一格有4种可能， ∴P（棋子前进到数字“6”那一格）． 【点评】本题考查不可能事件、必然事件、随机事件的定义，树状图法求等可能事件的概率，熟悉相关概念，掌握树状图法是解题的关键． 18．（2024秋•长春模拟）12月18日卡塔尔世界杯闭幕．小明搜集到三张如图所示的不透明的卡片，正面图案分别是吉祥物la’eeb，足球ALRIHLA和大力神杯，依次记为A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案不相同的概率． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用列表法或树状图法列举出两次抽到图案的所有可能结果，从中找出两次抽到图案不相同的可能情况，再利用等可能事件的概率公式求出即可．△ 【解答】解：画树状图如下：△ 从树状图中可知，一共有9种等可能的结果，其中两次抽到图案不相同的结果数有6种可能， ∴P（两次抽到图案不相同）． 【点评】本题考查列表法和树状图法求等可能事件的概率，熟悉列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键，注意本题是放回抽图案． 19．（2024秋•延边州一模）一只不透明的袋子中装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中随机取出1个球，记录颜色后放回．再次搅匀后，从中随机取出1个球．用画树状图（或列表）的方法，求两次取到的球恰好为1个白球和1个红球的概率． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；数据分析观念；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两次取到的球恰好为1个白球和1个红球的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可． 【解答】解：画树状图如下： 一共有9种等可能的结果，其中两次取到的球恰好为1个白球和1个红球的结果数有4种可能， ∴P（两次取到的球恰好为1个白球和1个红球）． 【点评】本题考查列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 20．（2024秋•四平模拟）箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶． （1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来； （2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；运算能力． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）画树状图可得所有等可能结果； （2）从所有等可能结果中找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得． 【解答】解：（1）画树状图如图所示， 由图可知，共有12种等可能结果； （2）由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果， 所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为． 【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 21．（2023秋•花溪区校级月考）在一个不透明的袋子里，装有9个大小和形状一样的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个． （1）当n为何值时，这个事件必然发生？ （2）当n为何值时，这个事件不可能发生？ （3）当n为何值时，这个事件可能发生？ 【考点】随机事件． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【解答】解：（1）当n＞6时，即n＝7或8或9时，这个事件必然发生； （2）当n＜3时，即n＝1或2时，这个事件不可能发生； （3）当3≤n≤6时，即n＝3或4或5或6时，这个事件可能发生． 【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 22．（2024秋•未央区校级模拟）如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7六个数字，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指向分界线时重新转动）． （1）转动转盘，转出的数字大于3的概率是 　　 ． （2）现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，这三条线段能构成三角形的概率是多少？ 【考点】概率公式；三角形三边关系． 【专题】概率及其应用；运算能力． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种，由概率公式可得； （2）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种，由概率公式可得． 【解答】解：（1）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种， ∴转出的数字大于3的概率是， 故答案为：； （2）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种， ∴这三条线段能构成三角形的概率是． 【点评】本题主要考查概率公式的运用及三角形三边间的关系，熟练掌握三角形三边间的关系和概率公式是解题的关键． 23．（2024秋•江宁区校级月考）文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表： 混入“HB”铅笔数 0 1 2 盒数 6 m n （1）用等式写出m，n所满足的数量关系　 　m+n＝14　 ； （2）从20盒铅笔中任意选取1盒，若“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为，求m和n的值． 【考点】概率公式；统计表． 【专题】运算能力． 【答案】（1）m+n＝14； （2）m＝5，n＝9． 【分析】（1）根据表格确定m，n满足的数量关系即可； （2）利用概率公式列式计算即可． 【解答】解：（1）观察表格发现：6+m+n＝20， ∴用等式写出m，n所满足的数量关系为m+n＝14， 故答案为：m+n＝14； （2）∵“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为， ∴， ∴m＝5，n＝9． 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $