25.3 用频率估计概率（同步练习）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

25.3 用频率估计概率 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•碑林区校级期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（　　） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数越多，f越接近于P D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 2．（2025春•左权县期末）山西省农业科学院高粱研究所在培育高粱晋杂23号时，在相同条件下进行了发芽试验，发芽情况绘制成如图所示的统计图，据此估计高粱晋杂23号种子的发芽概率约为（　　） A．1 B．0.95 C．0.9 D．0.85 3．（2025•青秀区校级三模）绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如表： 每批粒数n 400 600 1000 2000 3000 发芽的频率 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950 则绿豆发芽的概率（精确到0.01）约为（　　） A．0.90 B．0.94 C．0.95 D．0.96 4．（2025春•郑州期中）如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码．小郑帮妈妈打印了一个正方形的收款二维码，若二维码的面积为16cm2，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为（　　） A．6.4cm2 B．8cm2 C．9.6cm2 D．11.2cm2 5．（2025•中原区校级三模）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在20%左右，则m的值大约为（　　） A．20 B．40 C．60 D．100 6．（2025•张湾区三模）下列说法错误的是（　　） A．在湖北“三九四九冰上走”是必然事件 B．对“神舟十九号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式 C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率 D．在“吾辈当自强，唯我少年郎”的演讲比赛计分中，通常采用去掉一个最高分和最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响 7．（2025•罗湖区校级模拟）新郑大枣以极瘦皮、厚肉、小核、甜味香气浓郁而著称，被誉为枣中之王．现跟踪调查了新郑大枣树苗的移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计新郑大枣树苗移植成活的概率约是（　　） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 8．（2025•南平模拟）小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为10cm×20cm的长方形条形码中黑色阴影部分的面积，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于0.75，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为（　　） A．60cm2 B．120cm2 C．150cm2 D．180cm2 二．填空题（共5小题） 9．（2025春•南山区期末）一个不透明的袋子里装有红、蓝两种颜色的球共40个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如表： 摸球次数 50 100 200 500 800 1000 摸到红球的频数 11 27 50 124 201 249 摸到红球的频率 0.220 0.270 0.250 0.248 0.251 0.249 请估计袋中红球的个数是　 　 ． 10．（2025•泰兴市校级三模）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共50个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在16%左右，则口袋中红色球可能有　 　 个． 11．（2024秋•淮滨县期末）一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为 　 　 ． 12．（2025•南山区模拟）2024年农业主导品种主推技术发布，山西的谷子品种“晋谷21号”上榜．为了进一步验证该种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同实验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据： 种子数 30 75 150 200 400 800 1200 2500 发芽数 28 69 141 192 388 778 1167 2435 发芽频率 0.933 0.920 0.940 0.960 0.970 0.973 0.973 0.974 根据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是　 　 ．（结果精确到0.01） 13．（2025•东莞市校级模拟）一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在10%附近，则n的值为　 　 ． 三．解答题（共2小题） 14．（2025春•贵阳校级月考）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于树立正确的劳动价值观，为了培养大家的劳动习惯与劳动能力，我校学生会在寒假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取一些学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位：min）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述．如图1、2是其中的部分信息：（其中A组为10≤x＜20，B组为20≤x＜30，C组为30≤x＜40，D组为40≤x＜50，E组为50≤x＜60，F组为60≤x＜70） 根据以上信息，回答下列问题： （1）①这次抽取的学生总人数是　 　 ；②补全分布直方图． （2）学生会准备将每日平均家务劳动时长不少于50min的学生评为“家务小能手”，在校学生中随机抽取一名学生，记事件A：该学生为“家务小能手”．请估计事件A的概率． 15．（2024秋•宝应县期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 （1）上表中的a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是 　 　 （精确到0.1）； （3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 25.3 用频率估计概率 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•碑林区校级期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（　　） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数越多，f越接近于P D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 【考点】利用频率估计概率． 【专题】统计与概率；数据分析观念． 【答案】D 【分析】根据频率的稳定性解答即可． 【解答】解：在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P根据频率的稳定性可得： 在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 【点评】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键． 2．（2025春•左权县期末）山西省农业科学院高粱研究所在培育高粱晋杂23号时，在相同条件下进行了发芽试验，发芽情况绘制成如图所示的统计图，据此估计高粱晋杂23号种子的发芽概率约为（　　） A．1 B．0.95 C．0.9 D．0.85 【考点】利用频率估计概率． 【专题】概率及其应用；应用意识． 【答案】C 【分析】由图可知，发芽频率在0.9上下波动，故可估计高粱晋杂23号种子的发芽稳定在0.9，发芽概率估计值为0.9． 【解答】解：高粱晋杂23号种子的发芽的频率稳定在0.9，发芽的概率估计值约是0.9． 故选：C． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 3．（2025•青秀区校级三模）绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如表： 每批粒数n 400 600 1000 2000 3000 发芽的频率 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950 则绿豆发芽的概率（精确到0.01）约为（　　） A．0.90 B．0.94 C．0.95 D．0.96 【考点】利用频率估计概率． 【专题】概率及其应用；应用意识． 【答案】C 【分析】概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． 【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验绿豆发芽的频率逐渐稳定在0.95左右， ∴估计绿豆在此条件下发芽的概率约为0.95． 故选：C． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 4．（2025春•郑州期中）如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码．小郑帮妈妈打印了一个正方形的收款二维码，若二维码的面积为16cm2，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为（　　） A．6.4cm2 B．8cm2 C．9.6cm2 D．11.2cm2 【考点】利用频率估计概率． 【专题】概率及其应用；应用意识． 【答案】C 【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【解答】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右， 则1﹣0.4＝0.6， ∴点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计黑色部分的面积为16×0.6＝9.6（cm2）， 故选：C． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式． 5．（2025•中原区校级三模）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在20%左右，则m的值大约为（　　） A．20 B．40 C．60 D．100 【考点】利用频率估计概率． 【专题】概率及其应用；应用意识． 【答案】C 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【解答】解：根据题意得：100%＝20%， 解得：m＝60， 答：m的值大约为60． 故选：C． 【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 6．（2025•张湾区三模）下列说法错误的是（　　） A．在湖北“三九四九冰上走”是必然事件 B．对“神舟十九号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式 C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率 D．在“吾辈当自强，唯我少年郎”的演讲比赛计分中，通常采用去掉一个最高分和最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响 【考点】利用频率估计概率；全面调查与抽样调查；随机事件． 【专题】概率及其应用；推理能力． 【答案】A 【分析】根据随机事件、全面调查与抽样调查、利用频率估计概率进行判断即可． 【解答】解：A、在湖北“三九四九冰上走”是随机事件，不是必然事件，原说法错误，符合题意； B、对“神舟十九号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式，正确，不符合题意； C、在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率，正确，不符合题意； D、在“吾辈当自强，唯我少年郎”的演讲比赛计分中，通常采用去掉一个最高分和最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响，正确，不符合题意． 故选：A． 【点评】此题考查了随机事件、全面调查与抽样调查、利用频率估计概率，熟知以上知识是解题的关键． 7．（2025•罗湖区校级模拟）新郑大枣以极瘦皮、厚肉、小核、甜味香气浓郁而著称，被誉为枣中之王．现跟踪调查了新郑大枣树苗的移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计新郑大枣树苗移植成活的概率约是（　　） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【考点】利用频率估计概率． 【专题】统计的应用． 【答案】B 【分析】由图可知，成活概率在0.90上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90． 【解答】解：这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值约是0.90． 故选：B． 【点评】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等． 8．（2025•南平模拟）小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为10cm×20cm的长方形条形码中黑色阴影部分的面积，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于0.75，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为（　　） A．60cm2 B．120cm2 C．150cm2 D．180cm2 【考点】利用频率估计概率． 【专题】概率及其应用． 【答案】C 【分析】理解黑色阴影部分占整体的0.75，即可求解． 【解答】解：经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于0.75，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为0.75×10×20＝150cm2， 故选：C． 【点评】本题考查了几何概型求面积问题，掌握其性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 9．（2025春•南山区期末）一个不透明的袋子里装有红、蓝两种颜色的球共40个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如表： 摸球次数 50 100 200 500 800 1000 摸到红球的频数 11 27 50 124 201 249 摸到红球的频率 0.220 0.270 0.250 0.248 0.251 0.249 请估计袋中红球的个数是　10　 ． 【考点】利用频率估计概率． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】10． 【分析】用球的总个数乘摸到红球频率的稳定值即可． 【解答】解：估计袋中红球的个数是40×0.25＝10（个）， 故答案为：10． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 10．（2025•泰兴市校级三模）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共50个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在16%左右，则口袋中红色球可能有　8　 个． 【考点】利用频率估计概率． 【答案】见试题解答内容 【分析】由频数＝数据总数×频率计算即可． 【解答】解：∵摸到红色球的频率稳定在16%左右， ∴口袋中红色球的频率为16%，故红球的个数为50×16%＝8个． 故答案为8． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，难度适中．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 11．（2024秋•淮滨县期末）一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为 　4　 ． 【考点】利用频率估计概率． 【专题】概率及其应用；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】用样本中红球出现的频率，根据样本中，红球占总数的百分比即可． 【解答】解：设红球有x个，由题意得， 0.25， 解得x＝4， 即红球有4个； 故答案为：4． 【点评】本题考查利用频率估计概率，理解概率的定义是正确解答的关键． 12．（2025•南山区模拟）2024年农业主导品种主推技术发布，山西的谷子品种“晋谷21号”上榜．为了进一步验证该种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同实验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据： 种子数 30 75 150 200 400 800 1200 2500 发芽数 28 69 141 192 388 778 1167 2435 发芽频率 0.933 0.920 0.940 0.960 0.970 0.973 0.973 0.974 根据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是　0.97　 ．（结果精确到0.01） 【考点】利用频率估计概率． 【专题】概率及其应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用频率估计概率求解即可． 【解答】解：由题意知，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是0.97， 故答案为：0.97． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 13．（2025•东莞市校级模拟）一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在10%附近，则n的值为　36　 ． 【考点】利用频率估计概率． 【专题】概率及其应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意知，袋中球的总个数约为4÷10%＝40（个），进而可得答案． 【解答】解：∵袋中球的总个数约为4÷10%＝40（个）， 所以n＝40﹣4＝36， 故答案为：36． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，正确地理解题意是解题的关键． 三．解答题（共2小题） 14．（2025春•贵阳校级月考）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于树立正确的劳动价值观，为了培养大家的劳动习惯与劳动能力，我校学生会在寒假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取一些学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位：min）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述．如图1、2是其中的部分信息：（其中A组为10≤x＜20，B组为20≤x＜30，C组为30≤x＜40，D组为40≤x＜50，E组为50≤x＜60，F组为60≤x＜70） 根据以上信息，回答下列问题： （1）①这次抽取的学生总人数是　90　 ；②补全分布直方图． （2）学生会准备将每日平均家务劳动时长不少于50min的学生评为“家务小能手”，在校学生中随机抽取一名学生，记事件A：该学生为“家务小能手”．请估计事件A的概率． 【考点】利用频率估计概率；频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数． 【专题】统计的应用；数据分析观念． 【答案】（1）①90；②见解析； （2）． 【分析】（1）①用A组的人数除以其占比即可求出总人数，②求出C组的人数，即可补全统计图； （2）先求出E组和F组的人数之和，再利用频率估计概率的思想即可求解． 【解答】解：（1）①总人数是9÷10%＝90人； 故答案为：90； ②由条件可知C组的人数是15，补全统计图如下： （2）E组和F组的人数之和＝21+9＝30， 所以估计事件A的概率． 【点评】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图以及利用频率估计概率等知识，熟练掌握统计和概率的相关知识是解题的关键． 15．（2024秋•宝应县期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 （1）上表中的a＝ 　0.59　 ，b＝ 　116　 ； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是 　0.6　 （精确到0.1）； （3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 【考点】利用频率估计概率． 【专题】概率及其应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其他颜色的球的个数． 【解答】解：（1）a＝59÷100＝0.59，b＝200×0.58＝116． 故答案为：0.59，116 （2）“摸到白球的”的概率的估计值是0.6； 故答案为：0.6 （3）12÷0.6﹣12＝8（个）． 答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球； 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $