精品解析：2025—2026学年九年级上学期人教版数学期末考试押题试卷

人教版2025—2026学年九年级上册数学期末考试 押题试卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效． 3.回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列4个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 2. 抛物线与轴交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把代入抛物线，即得抛物线与轴的交点坐标． 此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求抛物线与轴的交点的坐标的方法，比较简单． 【详解】解：把代入抛物线，得， 所以抛物线与轴的交点坐标为． 故选：C． 3. 如图所示，是圆的一条弦且则弦所对的圆心角是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】判定是等边三角形，推出，得到所对的圆心角是．本题考查等边三角形的判定和性质，圆心角，关键是判定是等边三角形． 【详解】解：，， 是等边三角形， ， 所对的圆心角是． 故选：B． 4. 在一个不透明盒子中装有颗黑、白两种颜色的棋子，除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后放回盒子中，记为一次试验，通过大量试验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在，则盒子中黑色棋子可能有（ ） A. 5颗 B. 10颗 C. 18颗 D. 26颗 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解． 【详解】解：设盒子中黑色棋子可能有x颗， 经检验，符合题意． ∴盒子中黑色棋子可能有颗． 故选：C． 5. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件， 故选：A． 6. 端午节期间，甲、乙、丙、丁四个旅游团到华蓥山旅游，每个旅游团的游客人数都相等，且平均年龄都是35岁，年龄的方差分别是，，，，这四个旅游团中，年龄差异最小的旅游团是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是丙旅游团， 故选：C． 7. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，顶点坐标为．由抛物线的顶点坐标式可求得答案． 【详解】解：二次函数 顶点坐标为． 故选：D． 8. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　 A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可． 【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC． ∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE， ∴∠ACD=90°-20°=70°， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠ADC+∠EDC=180°， ∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°， ∴∠ADC=∠E+20°， ∵∠ACE=90°，AC=CE ∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45° 在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°， 即45°+70°+∠ADC=180°， 解得：∠ADC=65°， 故选C． 【点睛】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答． 9. 已知二次函数图象上三点、、，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得离对称轴越远，函数值越小，据此比较出各点到对称轴距离的大小关系即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点、、都在二次函数图象上，且， ∴， 故选：D． 10. 如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆相关性质并能准确计算是解题关键．连接、、、，过点作于点，利用求出圆的半径，再求出和，利用直角三角形性质和勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：连接、、、，过点作于点，如图， ∵正方形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵等边三角形内接于， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 若是方程的一个根，则的值为_______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键是熟练的掌握一元二次方程根的性质，整体代入法求代数式的值，是解题的关键． 根据方程根的定义，得出，把原式变形即可得出答案． 【详解】∵是方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 12. 关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，解之即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，A，B，C是上的三点，则，则________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理即可直接得出答案． 【详解】解：根据圆周角定理，可得： ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，以为边向形外作等边，把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，若的长________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，四边形内角和为．熟练掌握旋转的性质是解题关键． 由旋转的性质证为等边三角形，证．又证三点共线，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由旋转得，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴A、C、E三点在同一条直线上， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， 故答案为：． 15. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 50 100 500 800 1500 3000 5000 杯口朝上频数 5 15 100 168 330 660 1100 杯口朝上频率 0.1 0.15 0.2 021 0.22 0.22 0.22 估计任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为______（结果精确到0.1） 【答案】0.2 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，根据通过大量实验，某事件发生的频率稳定在一个常数左右，这个常数可作为此事件发生的概率求解即可． 【详解】解：根据表格数据，纸杯的杯口朝上的频率稳定在左右，故任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为0.2， 故答案为：0.2 16. 如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴正方向的夹角为，且，若将线段绕点O顺时针旋转得到线段，则此时点的坐标为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，如图，过点作轴于点H．求出，即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点H． 由旋转变换的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 第II卷 三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，解题方法多样，关键在于熟练掌握解一元二次方程的步骤，第（1）题要特别注意先进行移项使方程右边为零． （1）先移项，使方程右边为零，然后将方程左边进行因式分解，使分解后的两个一次因式分别为零，即可解答； （2）根据因式分解法即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 令或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 令或， 解得：，． 18. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． （1）求函数解析式． （2）当y随x的增大而减小时，写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． （1）根据顶点坐标可设顶点式，再把代入求解即可； （2）根据二次函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入得， 解得：， 函数解析式为； 【小问2详解】 解：，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 自变量的取值范围为． 19. 在平面直角坐标系中，点，将绕点A顺时针旋转得到， （1）画出； （2）求点在旋转过程中运动的路径长．（结果保留） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是画旋转图形，勾股定理的应用，求弧长，掌握旋转的性质并进行画图是解本题的关键； （1）先确定B，C关于A旋转后的对应点，再顺次连接即可； （2）先利用勾股定理求解的长，再利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 ∵，， ∴的长为． 20. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题： （1）参加比赛的学生共有_________名； （2）在扇形统计图中，m的值为_________，表示“D等级”的扇形的圆心角为_________度； （3）组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20 （2）40，72 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的知识以及采用列举法求解概率的知识，注重数形结合是解答本题的关键． （1）用A等级的人数除以其所占比例即可得到总参赛人数，用总人数减去A、C、D等级人数和即可得到B等级人数，按要求补全条形图； （2）用C等级人数除以总人数即可求出m的值，用D等级人数除以总人数再乘以360°即可求解； （3）采用列表法列举即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：（人）， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：C级所占的百分比为，表示“D等级”的扇形的圆心角为； 故答案为：40、72． 【小问3详解】 解：列表如下： 男 女 女 男 （男，女） （男，女） 女 （男，女） （女，女） 女 （男，女） （女，女） 所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种， 则． 21. 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本为64元，在成本价的基础上经过两次价格调整后售价定为100元． （1）若每次价格调整的增长率相同，求这个增长率； （2）经过一段时间的销售发现，当这款运动鞋每双降价x元时，平均每天售出的数量（双）可以表示为．若公司希望平均每天获得的利润达到7750元，且优惠力度最大，求这款运动鞋每双的售价应该定为多少？ 【答案】（1） （2）89元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设这个增长率为，根据“在成本价的基础上经过两次价格调整后售价定为100元” 列出方程求解即可； （2）根据利润（原来售价降价成本价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设这个增长率为， 由题意可得：， 解得：，（舍去）， 答：这个增长率为； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得：，， ∵要求优惠力度最大， ∴不符合题意，应舍去， 即：这款运动鞋应每双降价11元，此时售价为（元）， 答：这款运动鞋每双的售价应该定为89元． 22. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键。 （1）连接，证明，得到，即可得证． （2）连接，，证明，求得、长，半径即可得解． 【小问1详解】 如图，连接， 平分， ； ， ； ， ， ， ， 是的切线． 【小问2详解】 如图，连接，， 是直径，是圆的切线， ， ； ， ； ， ， ， ， ，， ， 解得， ， 圆的半径为． 23. 定义：一元二次方程，若根的判别式是一个完全平方数（式），则此方程叫“完美方程”． （1）判断下列方程一定是“完美方程”的是 ；（直接填序号） ①；②；③； （2）若关于的一元二次方程 ①证明：此方程一定是“完美方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图像上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）③； （2）①证明见解析；②存在，的值为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图像上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案； （2）①计算出根的判别式，即可证明结论； ②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【小问1详解】 解：①， ，不是完全平方数， 不是“完美方程”； ②， ，不是完全平方式， 不是“完美方程”； ③， ，是完全平方式， 是“完美方程”； 故答案为：③； 【小问2详解】 解：①证明： ，且是完全平方数， 此方程一定是“完美方程”； ②存在，理由如下： ， ， 或， 或， 设方程的两个实数根分别为、， ，， 始终在函数的图像上， ， ， 即存在实数，使得始终在函数的图像上，的值为． 24. 如图，抛物线的顶点为点A，与x轴交于点O和点B． （1）点A坐标为 ，点B坐标为 ； （2）如图1，将线段绕抛物线顶点A逆时针旋转得到线段，若平分交抛物线于点Q．求点C和Q的坐标； （3）如图2，过点作轴交抛物线于点P，E，F为抛物线上的两动点（点E在点P左侧，点F在点P右侧），直线，分别交x轴于点M，N．若，求证：直线过一个定点． 【答案】（1）， （2）； （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）对抛物线配方得顶点式，即可得A点坐标，令，可得点B坐标； （2）过点A作轴，过点B作于点M，过点C作于点N，连接交直线于点D，先利用一线三垂直证明，从而可推出，再证明，得到D点为中点，求出直线的解析式，再联立抛物线解析式，即可求得Q点坐标； （3）设点，，先求出，直线的解折式，得到，同理求出直线的解折式为，得到，在根据，得到，最后设直线的解折式为，联立得到，代入计算即可． 【小问1详解】 解：令，则或， 故点B坐标为， 对抛物线配方得：， 故可得A点坐标为． 故答案为：， 【小问2详解】 解：过点A作轴，过点B作于点M，过点C作于点N，连接交直线于点D， B是抛物线与x轴的另一交点， 当时，， 解得：，， ， ∵轴，，，， ，， ，， ， 将线段绕地物线顶点A逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ∵轴，，， ， 抛物线与x轴交于原点，B点，且顶点坐标为， ， ， ， 平分， 点D是的中点， ，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， ； 【小问3详解】 解：由题意设点，， 轴，， 当时，， ， 设直线的解折式， 把，得， ， 解得， 直线的解折式， 直线交x轴于点M， 当时，， ， ， 设直线的解折式， 把，代入得， ， 解得， 直线的解折式为， 当时，， ， ， ，，， ，， ， ， ， 设直线的解折式为， ，， ， 解得， 直线的解折式为， ， ， ， ， 当时，， 直线过一个定点，该定点为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质，韦达定理，二次函数的性质，函数与方程的联系，掌握以上知识并熟练运用是解题的关键． 25. 已知为的外接圆，． （1）如图1，延长至点，使，连接． ①求证：为直角三角形； ②若的半径为4，，求的值； （2）如图2，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明． 【答案】（1）①见解析；②； （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）①利用如果三角形中一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形可得出结论； ②连接OA，OD，利用垂径定理得到OD⊥AC且AH=CH，设DH=x，则OH=4-x，利用勾股定理列出方程求得DH的值，再利用三角形的中位线定理得到BC=2DH； （2）猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系为：QC2=2QD2+QA2．延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，由已知可得∠DAC=∠DCA=45°；利用同弧所对的圆周角相等，得到∠DFA=∠E=∠DCA=45°，∠DFC=∠DAC=45°，由于△ADQ△与ADE关于AD对称，于是∠DQA=∠E=45°，则得△DQF为等腰直角三角形，△QFC为直角三角形；利用勾股定理可得：QC2=QF2+CF2，QF2=2DQ2；利用△QDA≌△FDC得到QA=FC，等量代换可得结论． 【小问1详解】 ①，， ． ∴∠B=∠DCB， ∴∠BAC=∠DCA， ∵∠B+∠BAC+∠DCB+∠DCA =180°， ∴∠DCB+∠DCA=90°． 为直角三角形； ②连接，，如图， ， ， 且． 的半径为4， ． 设，则， ， ， ． 解得：． ． 由①知：， ， ． ， ． 【小问2详解】 ，，三者之间的数量关系为：．理由： 延长交于点，连接，，如图， ，， ． ，． ． ． 与关于对称， ， ， ． ． ． 即． ， ． 在和中， ， ． ． ． 【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，方程的解法．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025—2026学年九年级上册数学期末考试 押题试卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效． 3.回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列4个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线与轴交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，是圆的一条弦且则弦所对的圆心角是（ ） A 或 B. C. 或 D. 4. 在一个不透明的盒子中装有颗黑、白两种颜色的棋子，除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后放回盒子中，记为一次试验，通过大量试验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在，则盒子中黑色棋子可能有（ ） A. 5颗 B. 10颗 C. 18颗 D. 26颗 5. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 6. 端午节期间，甲、乙、丙、丁四个旅游团到华蓥山旅游，每个旅游团的游客人数都相等，且平均年龄都是35岁，年龄的方差分别是，，，，这四个旅游团中，年龄差异最小的旅游团是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　 A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 9. 已知二次函数图象上三点、、，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 若是方程的一个根，则的值为_______． 12. 关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 13. 如图，A，B，C是上的三点，则，则________度． 14. 如图，在中，，以为边向形外作等边，把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，若的长________． 15. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 50 100 500 800 1500 3000 5000 杯口朝上频数 5 15 100 168 330 660 1100 杯口朝上频率 0.1 015 0.2 0.21 0.22 0.22 0.22 估计任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为______（结果精确到0.1） 16. 如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴正方向的夹角为，且，若将线段绕点O顺时针旋转得到线段，则此时点的坐标为 _______． 第II卷 三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． （1）求函数解析式． （2）当y随x的增大而减小时，写出自变量的取值范围． 19. 在平面直角坐标系中，点，将绕点A顺时针旋转得到， （1）画出； （2）求点在旋转过程中运动路径长．（结果保留） 20. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题： （1）参加比赛的学生共有_________名； （2）在扇形统计图中，m的值为_________，表示“D等级”的扇形的圆心角为_________度； （3）组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 21. 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋成本为64元，在成本价的基础上经过两次价格调整后售价定为100元． （1）若每次价格调整的增长率相同，求这个增长率； （2）经过一段时间的销售发现，当这款运动鞋每双降价x元时，平均每天售出的数量（双）可以表示为．若公司希望平均每天获得的利润达到7750元，且优惠力度最大，求这款运动鞋每双的售价应该定为多少？ 22. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的半径． 23. 定义：一元二次方程，若根的判别式是一个完全平方数（式），则此方程叫“完美方程”． （1）判断下列方程一定是“完美方程”的是 ；（直接填序号） ①；②；③； （2）若关于的一元二次方程 ①证明：此方程一定是“完美方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图像上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 24. 如图，抛物线的顶点为点A，与x轴交于点O和点B． （1）点A坐标为 ，点B坐标为 ； （2）如图1，将线段绕抛物线顶点A逆时针旋转得到线段，若平分交抛物线于点Q．求点C和Q的坐标； （3）如图2，过点作轴交抛物线于点P，E，F为抛物线上的两动点（点E在点P左侧，点F在点P右侧），直线，分别交x轴于点M，N．若，求证：直线过一个定点． 25. 已知为的外接圆，． （1）如图1，延长至点，使，连接． ①求证：直角三角形； ②若的半径为4，，求的值； （2）如图2，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $