专题16 瞬时加速度与临界、极值问题 讲义 -2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第一册专题讲解

瞬时加速度与临界、极值问题16 题型1 瞬时加速度 4 题型2 临界极值问题 6 储备区 知识储备 技巧总结 1 知识清单 1．瞬时加速度 2．临界极值问题 2 知识储备 变力作用下加速度和速度的分析知识点 一 1．加速度与合力的关系 由牛顿第二定律F＝ma，加速度a与合力F具有瞬时对应关系，对于同一物体，合力增大，加速度增大，合力减小，加速度减小；合力方向变化，加速度方向也随之变化． 2．速度与加速度(合力)的关系 速度与加速度(合力)方向相同，物体做加速运动；速度与加速度(合力)方向相反，物体做减速运动． 牛顿第二定律的瞬时性问题知识点 二 1．两种模型的特点 (1)刚性绳(或接触面)模型：这种不发生明显形变就能产生弹力的物体，剪断(或脱离)后，形变恢复几乎不需要时间，故认为弹力可以立即改变或消失． (2)弹簧(或橡皮绳)模型：此种物体的特点是形变量大，形变恢复需要较长时间，在瞬时问题中，在弹簧(或橡皮绳)的自由端连接有物体时其弹力的大小不能突变，往往可以看成是瞬间不变的． 2．解决此类问题的基本思路 (1)分析原状态(给定状态)下物体的受力情况，明确各力大小． (2)分析当状态变化时(烧断细线、剪断弹簧、抽出木板、撤去某个力等)，哪些力变化，哪些力不变，哪些力消失(被剪断的绳中的弹力、发生在被撤去物体接触面上的弹力都立即消失)． (3)求物体在状态变化后所受的合外力，利用牛顿第二定律，求出瞬时加速度． 动力学中的临界、极值问题知识点 三 1．临界或极值条件的标志 (1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点． (2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态． (3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点． (4)若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度． 2．解决动力学临界、极值问题的常用方法 极限分析法、假设分析法和数学极值法． 3 技巧总结 1．瞬时加速度问题：牛顿第二定律是力的瞬时作用规律，加速度和力同时产生、同时变化、同时消失。分析物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析该时刻前后物体的受力情况及其变化。 2．四类模型 类别 弹力表现形式 弹力方向 能否突变 轻绳 拉力 沿绳收缩方向 能 橡皮条 拉力 沿橡皮条收缩方向 不能 轻弹簧 拉力、支持力 沿弹簧轴线方向 不能 轻杆 拉力、支持力 不确定 能 (1)轻绳、轻杆模型不发生明显形变就能产生弹力，剪断(或脱离)后，形变恢复几乎不需要时间，故认为弹力可以立即改变或消失。 (2)轻弹簧、橡皮条模型的形变量大，形变恢复需要较长时间，在瞬时性问题中，它们的自由端连接有物体时其弹力的大小不能突变，往往可以看成是不变的。 拓展区 拓展延伸 走进985 1. 抓住“两关键”、遵循“四步骤” (1)分析瞬时加速度的“两个关键” ①明确轻绳、轻杆、轻弹簧或橡皮条类模型的特点。 ②分析突变前、后的受力情况和运动状态。 (2)分析瞬时加速度的“四个步骤” 第一步：分析原来物体的受力情况。 第二步：分析物体在突变时的受力情况。 第三步：由牛顿第二定律列方程。 第四步：求出瞬时加速度，并讨论其合理性。 强化区 巩固强化 成果展示 题型1 瞬时加速度 【典例1】（2025春•汨罗市校级期末）如图，轻弹簧上端与一质量为的木块1相连，下端与另一质量为的木块2相连，整个系统置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态。现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块1、2的加速度大小分别为、。重力加速度大小为，则有　　 A．， B．， C．， D．， 【典例2】（2025春•内蒙古期末）如图所示，、为两侧竖直墙壁上等高的两点，水平轻细线两端分别连接着质量相等的小球甲、乙，再用轻细线和轻弹簧分别系在、两点，轻细线、轻弹簧与竖直方向的夹角均为，重力加速度大小为。现将轻细线剪断，在剪断瞬间，小球乙的加速度大小为　　 A． B． C． D． 【典例3】（2025•渝中区校级模拟）现用一根轻质弹簧和一根不可伸长的轻绳在水平天花板下悬挂一只灯笼，如图所示。静止时弹簧与轻绳等长且与天花板的夹角均为。若某时刻剪断轻绳，则此瞬间灯笼的加速度大小为（已知重力加速度为　　 A． B． C． D． 【典例4】（2025•岳麓区校级三模）如图所示，吊篮、物体、物体的质量均为，和分别固定在竖直弹簧两端，弹簧的质量不计。整个系统在轻绳悬挂下处于静止状态，现将悬挂吊篮的轻绳剪断，在轻绳刚断的瞬间　　 A．物体的加速度大小为 B．物体与吊篮间的弹力大小为 C．物体的加速度大小为 D．吊篮的加速度大小为 题型2 临界极值问题 【典例5】（多选）（2024秋•朝阳区校级期末）如图所示，轻弹簧的一端固定在倾角为的固定光滑斜面的底部，另一端和质量为的小物块相连，质量为的小物块紧靠，且静止在斜面上，此时弹簧的压缩量为。从时开始，对施加沿斜面向上的外力，使始终做匀加速直线运动。经过一段时间后，物块、分离，再经过同样长的时间，距其出发点的距离恰好为。弹簧始终在弹性限度内，其中心轴线与斜面平行，重力加速度大小为，小物块、均可视为质点。下列说法正确的是　　 A．、分离时，弹簧的压缩量为 B．物块加速度的大小为 C．时、分离 D．对施加沿斜面向上的外力大小的最小值和最大值之比为 【典例6】（多选）（2024秋•南宁期末）如图所示，质量均为的、两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于的恒力向上拉，向上运动，运动距离时与恰好分离。则下列说法中正确的是　　 A．和刚分离瞬间，弹簧为原长 B．和刚分离瞬间，它们的加速度均为 C．弹簧的劲度系数等于 D．在与分离之前，它们做匀加速运动 【典例7】（2024秋•天河区期末）如图所示，水平桌面上质量为的薄纸板上，放有一质量为的小水杯（可视为质点），小水杯距纸板左端距离为，距桌子右端距离为，现给纸板一个水平向右的恒力，欲将纸板从小水杯下抽出。若纸板与桌面、水杯与桌面间的动摩擦因数均为0.1，水杯与纸板间的动摩擦因数为0.2，重力加速度取，设水杯在运动过程中始终不会翻倒，则： （1）当抽动纸板且水杯相对纸板滑动时，水杯所受摩擦力及其加速度多大？ （2）在第（1）问的情形下，纸板所受摩擦力共有多大？ （3）当满足什么条件，纸板能从水杯下抽出，且水杯不会从桌面滑落？ 【典例8】（2024•安徽开学）如图，一小球用轻质细线、连接，细线的另一端连接于车厢顶的点，细线的另一端连接于车厢底板上的点，小球静止时细线与竖直方向的夹角为，细线与水平方向的夹角也为。已知两细线长相等，且，不计小球大小，重力加速度大小为。小车向左沿水平方向做匀加速直线运动，要使细线上张力为零，则小车运动的加速度应满足的条件是　　 A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 瞬时加速度与临界、极值问题16 题型1 瞬时加速度 4 题型2 临界极值问题 7 储备区 知识储备 技巧总结 1 知识清单 1．瞬时加速度 2．临界极值问题 2 知识储备 变力作用下加速度和速度的分析知识点 一 1．加速度与合力的关系 由牛顿第二定律F＝ma，加速度a与合力F具有瞬时对应关系，对于同一物体，合力增大，加速度增大，合力减小，加速度减小；合力方向变化，加速度方向也随之变化． 2．速度与加速度(合力)的关系 速度与加速度(合力)方向相同，物体做加速运动；速度与加速度(合力)方向相反，物体做减速运动． 牛顿第二定律的瞬时性问题知识点 二 1．两种模型的特点 (1)刚性绳(或接触面)模型：这种不发生明显形变就能产生弹力的物体，剪断(或脱离)后，形变恢复几乎不需要时间，故认为弹力可以立即改变或消失． (2)弹簧(或橡皮绳)模型：此种物体的特点是形变量大，形变恢复需要较长时间，在瞬时问题中，在弹簧(或橡皮绳)的自由端连接有物体时其弹力的大小不能突变，往往可以看成是瞬间不变的． 2．解决此类问题的基本思路 (1)分析原状态(给定状态)下物体的受力情况，明确各力大小． (2)分析当状态变化时(烧断细线、剪断弹簧、抽出木板、撤去某个力等)，哪些力变化，哪些力不变，哪些力消失(被剪断的绳中的弹力、发生在被撤去物体接触面上的弹力都立即消失)． (3)求物体在状态变化后所受的合外力，利用牛顿第二定律，求出瞬时加速度． 动力学中的临界、极值问题知识点 三 1．临界或极值条件的标志 (1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点． (2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态． (3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点． (4)若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度． 2．解决动力学临界、极值问题的常用方法 极限分析法、假设分析法和数学极值法． 3 技巧总结 1．瞬时加速度问题：牛顿第二定律是力的瞬时作用规律，加速度和力同时产生、同时变化、同时消失。分析物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析该时刻前后物体的受力情况及其变化。 2．四类模型 类别 弹力表现形式 弹力方向 能否突变 轻绳 拉力 沿绳收缩方向 能 橡皮条 拉力 沿橡皮条收缩方向 不能 轻弹簧 拉力、支持力 沿弹簧轴线方向 不能 轻杆 拉力、支持力 不确定 能 (1)轻绳、轻杆模型不发生明显形变就能产生弹力，剪断(或脱离)后，形变恢复几乎不需要时间，故认为弹力可以立即改变或消失。 (2)轻弹簧、橡皮条模型的形变量大，形变恢复需要较长时间，在瞬时性问题中，它们的自由端连接有物体时其弹力的大小不能突变，往往可以看成是不变的。 拓展区 拓展延伸 走进985 1. 抓住“两关键”、遵循“四步骤” (1)分析瞬时加速度的“两个关键” ①明确轻绳、轻杆、轻弹簧或橡皮条类模型的特点。 ②分析突变前、后的受力情况和运动状态。 (2)分析瞬时加速度的“四个步骤” 第一步：分析原来物体的受力情况。 第二步：分析物体在突变时的受力情况。 第三步：由牛顿第二定律列方程。 第四步：求出瞬时加速度，并讨论其合理性。 强化区 巩固强化 成果展示 题型1 瞬时加速度 【典例1】（2025春•汨罗市校级期末）如图，轻弹簧上端与一质量为的木块1相连，下端与另一质量为的木块2相连，整个系统置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态。现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块1、2的加速度大小分别为、。重力加速度大小为，则有　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】通过平衡关系求出弹簧的弹力大小，抽出木板瞬间，弹簧弹力不变，根据牛顿第二定律求出木块1、2的加速度。 【解答】解：对木块1分析，弹簧的弹力 撤去木板瞬间，弹簧弹力不变，木块1所受的合力仍为零，则加速度。 对木块2，根据牛顿第二定律得，，故错误；故正确。 故选：。 【典例2】（2025春•内蒙古期末）如图所示，、为两侧竖直墙壁上等高的两点，水平轻细线两端分别连接着质量相等的小球甲、乙，再用轻细线和轻弹簧分别系在、两点，轻细线、轻弹簧与竖直方向的夹角均为，重力加速度大小为。现将轻细线剪断，在剪断瞬间，小球乙的加速度大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】未剪断前，小球乙处于平衡状态，利用平衡条件求出轻细线的张力大小，将轻细线剪断瞬间，轻弹簧的弹力能突变，利用牛顿第二定律可求得乙的加速度大小。 【解答】解：未剪断前，小球乙处于平衡状态，由平衡条件可得，轻细线的张力大小 在剪断瞬间，弹力突变为1，弹簧的弹力不变，故此时小球乙的合力与等大反向，则小球乙的加速度大小为，故错误，正确。 故选：。 【典例3】（2025•渝中区校级模拟）现用一根轻质弹簧和一根不可伸长的轻绳在水平天花板下悬挂一只灯笼，如图所示。静止时弹簧与轻绳等长且与天花板的夹角均为。若某时刻剪断轻绳，则此瞬间灯笼的加速度大小为（已知重力加速度为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】剪断细线前灯笼静止处于平衡状态，由平衡条件可以求出弹簧的弹力和绳子拉力，剪断轻绳瞬间弹簧的弹力不变，由牛顿第二定律可以求出灯笼的加速度。 【解答】解：剪短绳子之前，灯笼处于平衡状态，受重力，弹簧和绳子的拉力，根据共点力平衡条件可得：，其中，解得：，当突然剪短绳子后，绳子拉力消失，弹簧弹力和重力不变，合力大小不等于绳子拉力的大小，方向与反向，故加速度为：，故正确，错误。 故选：。 【典例4】（2025•岳麓区校级三模）如图所示，吊篮、物体、物体的质量均为，和分别固定在竖直弹簧两端，弹簧的质量不计。整个系统在轻绳悬挂下处于静止状态，现将悬挂吊篮的轻绳剪断，在轻绳刚断的瞬间　　 A．物体的加速度大小为 B．物体与吊篮间的弹力大小为 C．物体的加速度大小为 D．吊篮的加速度大小为 【答案】 【分析】剪断轻绳的瞬间，弹簧的弹力不变，隔离对、、分析受力，运用牛顿第二定律求出加速度的大小。并求出对的支持力大小。 【解答】解：、弹簧开始的弹力，剪断细线的瞬间，弹簧弹力不变，的合力仍然为零，则的加速度为0，故错误； 、剪断细线的瞬间，弹力不变，将和看成一个整体，根据牛顿第二定律可得：，解得：，即、的加速度均为，故错误； 、剪断细线的瞬间，受到重力和对的作用力，对，由牛顿第二定律可得：，解得：，故正确。 故选：。 题型2 临界极值问题 【典例5】（多选）（2024秋•朝阳区校级期末）如图所示，轻弹簧的一端固定在倾角为的固定光滑斜面的底部，另一端和质量为的小物块相连，质量为的小物块紧靠，且静止在斜面上，此时弹簧的压缩量为。从时开始，对施加沿斜面向上的外力，使始终做匀加速直线运动。经过一段时间后，物块、分离，再经过同样长的时间，距其出发点的距离恰好为。弹簧始终在弹性限度内，其中心轴线与斜面平行，重力加速度大小为，小物块、均可视为质点。下列说法正确的是　　 A．、分离时，弹簧的压缩量为 B．物块加速度的大小为 C．时、分离 D．对施加沿斜面向上的外力大小的最小值和最大值之比为 【答案】 【分析】、初始状态，对物块、整体由力的平衡列式，根据物块的运动特点，利用推论可得物块从静止到与分离过程的位移，此过程两者的位移大小相等，根据、分离时两者的加速度大小相等，可知弹簧所处状态，则可得弹簧的压缩量； 、、分离时由弹簧压缩量可得弹簧弹力，根据两者分离时的特点，对利用牛顿第二定律可得加速度大小，分离前、两者加速度大小不相等，则可得结论； 、利用运动学公式可得运动的时间，根据题意可得解； 、、分离前对利用牛顿第二定律可知力的变化特点，开始时把、看作一个整体，利用牛顿第二定律可得力的最小值，、分离时，对利用牛顿第二定律可得力的最大值，则可得两力的比值。 【解答】解：、开始时，物块、静止，对、整体由力的平衡可得： 物块做初速度为零的匀加速直线运动，且始终做匀加速直线运动，可知物块与物块分离前后加速度不变，且前后运动时间相等，位移大小为，根据推论可知两物块分离前后，物块的位移之比为，可得物块从静止到与分离过程的位移大小为： 、分离瞬间，两者相互挤压的弹力为零，但两者的加速度大小相等，方向沿着斜面向上，此时弹簧仍处于压缩状态，可知从开始到、分离过程，运动的位移等于，即弹簧的压缩量减少，所以、分离时，弹簧的压缩量为：，故正确； 、由、分离时，弹簧的压缩量为，可得此时弹簧弹力大小为：，对物块，由牛顿第二定律有： 联立方程可得：，、分离前两者的加速度大小相等，所以物块的加速度大小为，故正确； 、设物块运动位移为过程所用时间为，则，可得，由题意可知当时，、分离，故错误； 、设、分离前两者相互挤压的弹力为，对由牛顿第二定律有：，逐渐减小，逐渐增大，当时、恰好分离，可知开始时最小，当两者分离时最大，之后不变，开始时把、看作一个整体，由牛顿第二定律有： 可得，、分离时，对由牛顿第二定律有：，可得，则，故正确。 故选：。 【典例6】（多选）（2024秋•南宁期末）如图所示，质量均为的、两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于的恒力向上拉，向上运动，运动距离时与恰好分离。则下列说法中正确的是　　 A．和刚分离瞬间，弹簧为原长 B．和刚分离瞬间，它们的加速度均为 C．弹簧的劲度系数等于 D．在与分离之前，它们做匀加速运动 【答案】 【分析】和刚分离时，相互之间恰好没有作用力，则受到重力和恒力，由牛顿第二定律求出此时的加速度和的加速度，说明弹力对有向上的弹力； 对于在与分离之前，对整体为研究对象，所受合力在变化，加速度在变化，做变加速运动． 【解答】解：、与刚分离的瞬间，、仍具有相同的速度和加速度，且、间无相互作用力。 对分析知，具有向上的加速度，大小为：， 此时对分析有：，解得：，且处于压缩状态，故错误，正确； 、和刚分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小为，原来静止时弹簧处于压缩状态，弹力大小为，则弹力减小量△。 两物体向上运动的距离为，则弹簧压缩量减小△，由胡克定律得：，故正确； 、从开始运动到与刚分离的过程中，拉力大小不变，而弹簧的弹力减小，整体的合力减小，所以在与分离之前，它们加速度逐渐减小，故错误。 故选：。 【典例7】（2024秋•天河区期末）如图所示，水平桌面上质量为的薄纸板上，放有一质量为的小水杯（可视为质点），小水杯距纸板左端距离为，距桌子右端距离为，现给纸板一个水平向右的恒力，欲将纸板从小水杯下抽出。若纸板与桌面、水杯与桌面间的动摩擦因数均为0.1，水杯与纸板间的动摩擦因数为0.2，重力加速度取，设水杯在运动过程中始终不会翻倒，则： （1）当抽动纸板且水杯相对纸板滑动时，水杯所受摩擦力及其加速度多大？ （2）在第（1）问的情形下，纸板所受摩擦力共有多大？ （3）当满足什么条件，纸板能从水杯下抽出，且水杯不会从桌面滑落？ 【答案】（1）当抽动纸板且水杯相对纸板滑动时，水杯所受摩擦力及其加速度为； （2）在第（1）问的情形下，纸板所受摩擦力为； （3）当时，纸板能从水杯下抽出，且水杯不会从桌面滑落。 【分析】牛顿第二定律可得水杯加速度大小；在第（1）问的情形下，纸板受到水杯对它水平向左的滑动摩擦力作用，纸板向右运动，还受到桌面它水平向左的滑动摩擦力作用；纸板抽出的过程，对纸板有 ，当拉力大于等于时，纸板能从水杯下抽出，且水杯不会从桌面滑落。 【解答】解：（1）当抽动纸板且水杯相对纸板滑动时，水杯所受摩擦力大小为 方向水平向右；根据牛顿第二定律可得水杯加速度大小为 （2）在第（1）问的情形下，纸板受到水杯对它水平向左的滑动摩擦力作用，大小为 纸板向左运动，还受到桌面它水平向左的滑动摩擦力作用，大小为 所以，纸板所受总的摩擦力大小为 （3）纸板抽出的过程，对纸板有 纸板抽出的过程，二者位移关系满足 纸板抽出后，水杯在桌面上做匀减速运动，设经历时恰好到桌面右边缘静止，有 由速度关系有 纸杯的位移关系有 代入数据解得： 所以，当满足 时，纸板能从水杯下抽出，且水杯不会从桌面滑落。 答：（1）当抽动纸板且水杯相对纸板滑动时，水杯所受摩擦力及其加速度为； （2）在第（1）问的情形下，纸板所受摩擦力为； （3）当时，纸板能从水杯下抽出，且水杯不会从桌面滑落。 【典例8】（2024•安徽开学）如图，一小球用轻质细线、连接，细线的另一端连接于车厢顶的点，细线的另一端连接于车厢底板上的点，小球静止时细线与竖直方向的夹角为，细线与水平方向的夹角也为。已知两细线长相等，且，不计小球大小，重力加速度大小为。小车向左沿水平方向做匀加速直线运动，要使细线上张力为零，则小车运动的加速度应满足的条件是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由题意及结合关系可知，平衡时、细线与、连线的夹角均为，当小车向左的加速度最小且细线刚好伸直时，细线与竖直方向是夹角为，当小车向左的加速度最大且细线刚好伸直时，细线与竖直方向是夹角为，然后根据牛顿第二定律列式求解即可。 【解答】解：图示中，根据几何关系可知、细线与、连线的夹角均为，当细线与竖直方向的夹角为且细线刚好伸直，小车的加速度最小，由牛顿第二定律可得：，这时车的加速度大小为：；根据对称性，当细线与竖直方向的夹角为且细线刚好伸直，小车的加速度最大，由牛顿第一定律可得：，这时车的加速度大小为：，因此要使细线上张力为零，则小车运动的加速度应满足的条件是，故正确，小错误。 故选：。 学科网（北京）股份有限公司 $