第二十一章 一元二次方程练习2025-2026学年人教版数学九年级上册

一元二次方程基础题型 一、一元二次方程的应用 1.据国家统计局发布的年国民经济和社会发展统计公报显示，年和年全国居民人均可支配收入分别为万元和万元设年至年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为______． 【答案】  【解析】解：根据题意得：． 故答案为：． 利用年全国居民人均可支配收入年全国居民人均可支配收入年至年全国居民人均可支配收入的年平均增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2.我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，年月新能源汽车销量约为万辆，年月新能源汽车销量约为万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则满足的方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】设新能源汽车销量的月平均增长率为，根据题意，得，解答即可． 本题考查了平均增长率问题，正确列方程解答是解题的关键． 【详解】解：设新能源汽车销量的月平均增长率为，根据题意，得， 故选：． 3.据国家统计局公布的中华人民共和国年国民经济和社会发展统计公报，我国原油产量从年到年增长了，设这两年的平均增长率为，下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用年原油产量年原油产量这两年的平均增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得： 即 故选： 4.近年来我国新能源汽车出口量快速增长，年出口量为万辆，年出口量为万辆设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据题意得． 故选：． 利用预计到年的出口量年的出口量平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】解；由题知， 因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以， 解得． 故选：． 利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 6.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：根据题意，得， 解得， ， 故选：． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解出的取值范围即可进行判断． 本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 7.若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：是关于的一元二次方程的一个解， ， ， ． 故选：． 根据题意，把，代入方程，得到关于的等式，即可求得结果． 本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键． 8.关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A  【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 9.如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：根据题意得， 解得． 故选：． 利用根的判别式的意义得到，然后解方程即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 10.已知关于的方程有两个不相等的实数根，，关于的方程的根为，给出下面三个结论： ； ； ． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点、根的判别式及根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系表示出，，再用，表示出，进而得出，，之间的关系，据此进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：因为关于的方程有两个不相等的实数根，， 所以，， 则， 又因为关于的方程的根为， 所以， 则， 所以，， 则当时，，， 所以； 当时，，， 所以； 当，且时，，， 所以； 当，且时，，， 所以． 综上所述，所有可能正确的结论是；． 故选： 二、一元二次方程的根与根的判别式 11.用配方法解方程，变形后结果正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：， ， ， ． 故选：． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 12.关于的方程有两个相等的实数根，则的值是          ． 【答案】  【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程根的情况，根据方程有两个相等的实数根时判别式为即可求解． 直接根据一元二次方程根的判别式列出式子，求解即可． 【详解】解：方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 13.已知关于的一元二次方程有一个根为，则_____． 【答案】  【解析】【分析】将代入方程，结合，进行求解即可． 【详解】解：将代入方程，得： ， 解得：， 又是一元二次方程， ，， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．熟练掌握，方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．注意，一元二次方程的二次项系数不为． 14.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】  【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出值． 本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 15.若代数式可以配方为，则           ． 【答案】  【解析】【分析】本题考查的是配方法的应用，利用配方法原式变形，根据题意分别求出、，计算即可． 【详解】解：， 由题意得：，， ，， ， 故答案为：． 16.若关于的一元二次方程有一个根是，则           ． 【答案】  【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入关于的一元二次方程即可求得的值．此题主要考查了方程解的定义．熟练掌握方程解的定义找到相等关系，再化简后整理相等关系化，是解决问题的关键． 【详解】解：把代入原方程可得， ， ， 故答案为：． 三、解一元二次方程 17.解方程：． 【答案】解：， ， ， 或， 原方程的解为：，．  【解析】先将原方程化为一般式，然后运用二次三项式的因式分解法进行求解． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18.解方程：． 【答案】解：，， ， 方程有两个不相等的实数根 ， 方程的根为，． 【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．利用公式法解该方程即可． 19.解方程：． 【答案】 解：移项得： 配方得： 即： 开方得： ，． 【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法解一元二次方程即可．解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数，即可求解． 20.解方程： 【答案】解：， ， ， 或， 所以，．  【解析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程． 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 21.解方程：． 【答案】解：， ， ，即， ， ，．  【解析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答． 本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键． 22.解方程：． 【答案】解： ，， ， 【解析】【分析】根据求根公式进行解题． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，属于简单题，熟悉一元二次方程的求解方法是解题关键． 四、一元二次方程与整式运算 23.已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】解：是方程的一个根， ， ， ．  【解析】先利用一元二次方程解的定义得到，再去括号得到，然后利用整体代入的方法计算． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 24.已知，求的值． 【答案】解： ， ， ， 当时，原式．  【解析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把代入化简后的式子中进行计算，即可解答． 本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 五、一元二次方程解答题 25.已知关于的一元二次方程． 求证：该方程总有两个不相等的实数根； 若该方程的两个实数根的积为，求的值． 【答案】证明： ， 该方程总有两个不相等的实数根； 解：根据根与系数的关系得， 解得，， 即的值为．  【解析】先计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； 利用根与系数的关系得，然后解关于的方程即可． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式． 26.已知关于的一元二次方程 求证：方程总有两个不相等的实数根； 若方程的两个根都是正整数，求的最小值． 【答案】证明： ， 方程总有两个不相等的实数根； 解：， ，， 方程的两个根都是正数， 且， 解得， 方程的两个根都是正整数， 和都是正整数， 的最小值为． 【解析】【分析】先计算出根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； 先由求根公式得到，，再利用且得，然后根据和都是正整数可确定的值； 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程的解法，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 27.已知关于的方程． 求证：方程总有两个实数根： 若方程的一个根比另一个根大，求的值． 【答案】证明：， 因为，所以， 所以方程总有两个实数根． 解：解方程，得， 整理，得或， 方程的一个根比另一个根大，或， 或． 【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系建立关于的方程解决问题． 利用一元二次方程的根的判别式即可求解； 利用根与系数的关系建立关于的方程即可求解． 28.已知关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个不相等的实数根； 若方程的一个根是，求代数式的值． 【答案】证明：因为一元二次方程为， 所以． 又因为，， 所以， 所以方程总有两个不相等的实数根． 解：将代入方程得， ， 即， 所以．  【解析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 将代入方程，再结合整体思想即可解决问题． 本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 29.关于的一元二次方程． 求证：该方程总有两个实数根； 若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围． 【答案】证明：因为一元二次方程为， 所以， 又因为， 所以该方程总有两个实数根． 解：， ， 则，． 因为该方程的实数根均为非负数， 所以， 解得， 故的取值范围是：．  【解析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 用表示出方程的根，再结合方程的根为非负数即可解决问题． 本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 第12页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次方程基础题型 一、一元二次方程的应用 1.据国家统计局发布的年国民经济和社会发展统计公报显示，年和年全国居民人均可支配收入分别为万元和万元设年至年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为______． 2.我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，年月新能源汽车销量约为万辆，年月新能源汽车销量约为万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则满足的方程是(    ) A. B. C. D. 3.据国家统计局公布的中华人民共和国年国民经济和社会发展统计公报，我国原油产量从年到年增长了，设这两年的平均增长率为，下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 4.近年来我国新能源汽车出口量快速增长，年出口量为万辆，年出口量为万辆设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 二、一元二次方程的根与根的判别式 5.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 6.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 7.若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 9.如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是(    ) A. B. C. D. 10.已知关于的方程有两个不相等的实数根，，关于的方程的根为，给出下面三个结论： ； ； ． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是(    ) A. B. C. D. 11.用配方法解方程，变形后结果正确的是(    ) A. B. C. D. 12.关于的方程有两个相等的实数根，则的值是          ． 13.已知关于的一元二次方程有一个根为，则_____． 14.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 15.若代数式可以配方为，则           ． 16.若关于的一元二次方程有一个根是，则           ． 三、解一元二次方程 17.解方程：． 18.解方程：． 19.解方程：． 20.解方程： 21.解方程：． 22.解方程：． 四、一元二次方程与整式运算 23. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 24. 已知，求的值． 五、一元二次方程解答题 25. 已知关于的一元二次方程． 求证：该方程总有两个不相等的实数根； 若该方程的两个实数根的积为，求的值． 26.已知关于的一元二次方程 求证：方程总有两个不相等的实数根； 若方程的两个根都是正整数，求的最小值． 27.已知关于的方程． 求证：方程总有两个实数根： 若方程的一个根比另一个根大，求的值． 28.已知关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个不相等的实数根； 若方程的一个根是，求代数式的值． 29.关于的一元二次方程． 求证：该方程总有两个实数根； 若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围． 第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $