12.3.3 一次函数的应用——方案决策问题 课件　2025-2026学年沪科版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一次函数的应用方案决策问题，通过宽带续费、灯泡选择等生活实例导入，以旅行社选择为例建立函数模型，结合代数运算与图象分析解决决策问题，构建从实际问题到数学模型再到方案选择的学习支架。 其特色在于以生活情境培养数学眼光，通过数与形结合、作差法等多样解法发展数学思维，课堂小结归纳决策步骤强化数学语言。例4和猕猴桃调运练习帮助学生提升应用能力，教师可借助完整流程高效教学。

第3课时 一次函数的应用——方案决策问题 沪科版·八年级上册 学习目标 1 2 3 深入了解一次函数的应用价值； 能将一个具体的实际问题转化为数学问题，利用数学模型解决实际问题； 从问题的解决与探究中进一步感悟函数的应用价值，培养解决实际问题的数学能力. 2 新课导入 做一件事情，有时有不同的实施方案.比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的. 你能说说生活中需要选择方案的例子吗？ 旅行社的选择 宽带网的收费 灯泡的选择 租车方案的选择 应用数学的知识和方法对各种方案进行比较分析，可以帮助我们清晰地认识各种方案，作出理性的决策. 推进新课 例4 某单位想在节假日期间组织职工到外地H处旅游. 当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到H地旅游的价格都是每人 100 元，经联系协商，甲旅行社表示可给予每位游客 8 折优惠；乙旅行社表示单位先交 1000 元后，给予每位游客 6 折优惠. 该单位应选择哪家旅行社，使其支付的旅游总费用较少？ ①影响甲、乙旅行社费用因素是什么？ ②你能用适当的方法表示出甲、乙两个旅行社各需要多少费用吗？ 人数 思考： 设该单位参加旅游人数为x. 甲旅行社：80x元 乙旅行社：(60x+1000)元 推进新课 例4 某单位想在节假日期间组织职工到外地H处旅游. 当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到H地旅游的价格都是每人 100 元，经联系协商，甲旅行社表示可给予每位游客 8 折优惠；乙旅行社表示单位先交 1000 元后，给予每位游客 6 折优惠. 该单位应选择哪家旅行社，使其支付的旅游总费用较少？ ③在这个问题中有几个变量？自变量和因变量是什么？它们之间是函数关系吗？ ④如何比较这2种收费方式？ 思考： 解：设该单位参加旅游人数为 x (其中x>0，且为正整数)，旅游总费用为y元. 那么选择甲旅行社，应付80x元；选择乙旅行社，应付(60x+1000)元. 记 y1= 80x，y2= 60x +1000. 解法一：从“数”上看 当y1=y2 ，即80x=60x+1000时，解得 x=50， 因此当x=50时，选甲或乙旅行社都一样，都是80×50=4000(元)； 当y1＞y2，即80x＞1000+60x时，解得x＞50. 因此 x＞50时，选乙旅行社费用较少； 当y1＜y2，即80x＜1000+60x时，解得x＜50. 因此 x＜50时，选甲旅行社费用较少. 能否想出一种直观形象的方法来进行比较呢？ 解法一：从“形”上看 在同一平面直角坐标系中，作出两个函数的图象， y1与y2的图象交于点(50，4000). 观察图象，可得： ①当人数为50时，选择甲或乙旅行社费用一样； ②当人数为1～49时，选择甲旅行社费用较少； ③当人数为50以上时，选择乙旅行社费用较少. 你还有其他的方法吗？ 解法二：作差法 设选择甲、乙旅行社所需费用之差为y元. 则y=y1y2=80x(60x+1000)=20x1000 . 画一次函数y=20x-1000的图象，如图，它与x轴的交点为(50，0).由图可知： ①当x=50时，y=0，即y1=y2，选择甲或乙旅行社费用一样； ②当x>50时，y>0，即y1>y2，选择乙旅行社费用较少； ③当0<x<50时，y<0，即y1<y2，选择甲旅行社费用较少. y1=y2 归纳： 利用一次函数进行方案决策 ①从数学的角度分析数学问题，建立函数模型； ②列出不等式(方程)，求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系； ③结合实际需求，选择最佳方案. 练一练 某县区大力发展猕猴桃产业，预计今年A地将采摘200吨，B地将采摘300吨．若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存240吨，乙仓库可储存260吨，从A地运往甲、乙两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往甲、乙两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A地运往甲仓库的猕猴桃为x吨，A、B两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为yA元和yB元． (1) 分别求出yA、yB与x之间的函数关系式； 解：(1) yA＝20x＋25(200－x)＝－5x＋5000， yB＝15(240－x)＋18(60＋x)＝3x＋4680； (2) 试讨论A、B两地中，哪个的运费较少； (2) yA－yB＝(－5x＋5000)－(3x＋4680)＝－8x＋320， 所以当－8x＋320＞0，即x＜40时，B地的运费较少； 当－8x＋320＝0，即x＝40时，两地的运费一样多； 当－8x＋320＜0，即x＞40时，A地的运费较少. (3)考虑B地的经济承受能力，B地的猕猴桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值． (3) 设两地运费之和为y元，则 y＝yA＋yB＝(－5x＋5000)＋(3x＋4680)＝－2x＋9680. 由题意得yB＝3x＋4680≤4830，解得 x≤50. 因为y随x的增大而减小，x最大为50， 所以y最小＝－2×50＋9680＝9580. 即在此情况下，当A地运往甲、乙两仓库分别为50吨、150吨；B地运往甲、乙两仓库分别为190吨、110吨时，才能使两地运费之和最少，最少是9580元． 随堂练习 1.某厂月产手套的总成本y元与月产量x副之间的函数表达式为y=5x+40000，而手套的出厂价格为每副10元，该厂至少应月产手套多少副才能不亏本？ 【教材P54 练习 T1】 解：根据题意得： 10x(5x+40000)≥0 解得x≥8000 答：该厂至少应日产手套8000副才能不亏本. 2.某单位准备在甲、乙两个出租车公司中选择签订月租车合同.设汽车月行驶的里程为 x km，甲公司的月租费是y1元，乙公司的月租费是y2元，y1，y2与x之间关系的图象如图所示，观察图象回答： 【教材P54 练习 T2】 (1)每月行驶的里程在什么范围内时，租乙公司的车合算？ 解：(1)由图可知： 当0＜x＜1500时，租乙公司的车合算. (2)每月行驶的里程等于多少时，租这两家公司车的费用相同？ (2) 由函数图象可知：每月行驶的里程等于1500km时，租这两家公司车的费用相同. (3)如果该单位预计每月行驶的里程为2300km，那么这个单位租哪家的车合算？ (2)由函数图象可知：当x＞1500时，y1<y2， 所以如果该单位预计每月行驶的里程为2300km，那么这个单位租甲公司出租车合算. 课堂小结 利用一次函数进行方案决策 ①从数学的角度分析数学问题，建立函数模型； ②列出不等式(方程)，求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系； ③结合实际需求，选择最佳方案. 布置作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $