第三章 圆锥曲线（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 上册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套福建专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查了椭圆的概念、椭圆的几何性质、双曲线的概念、双曲线的几何性质等常见考点。 第三章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线的焦距为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程确定的值，再根据求出的值，即可求出焦距. 【详解】已知双曲线， 其中， 所以， 则双曲线的焦距为. 故选：C. 2．双曲线的实轴长，虚轴长分别是（    ） A．2，4 B．4，2 C．，4 D．4， 【答案】B 【分析】由双曲线方程可知，据此可求实轴长，虚轴长. 【详解】由双曲线可知，， 所以， 故实轴长，虚轴长分别是4，2. 故选：B 3．双曲线上一点到一个焦点的距离为5，则这个点到另一个焦点的距离为（   ）. A．1 B．11 C．9 D．1或9 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，求解点到另一焦点的距离. 【详解】双曲线. 即. 设双曲线的两个焦点分别为和，且曲线上一点为. 不妨令. 根据双曲线的定义可知. 得到或. 故选：D. 4．焦点在x轴上，焦距为8的双曲线，其离心率．则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的焦距与离心率求得，，，从而求得标准方程. 【详解】∵双曲线的焦距为8，∴，， 又离心率为，∴，， 即得， 双曲线的标准方程为， 故选：A． 5．椭圆上的点到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为 ，则 所以 所以椭圆上点P到直线的最短距离为 故选：A 6．过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由所给的椭圆上的点为顶点，即可求出椭圆的方程. 【详解】因为椭圆经过点和， 所以，且焦点在轴上， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 7．已知抛物线上一点M，焦点为F，且，则点M到x轴的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先将点M到焦点的距离转化为到准线的距离，再由抛物线的定义即可求解. 【详解】抛物线的准线为， 因为，所以点M到准线的距离为6， 因为， 所以点M到x轴的距离为. 故选：C. 8．椭圆的左、右焦点为、 ，一直线过交椭圆于、，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三角形的周长分解成椭圆上的点到两焦点的距离的和. 【详解】因为椭圆，所以， 因为，， 且的周长， 所以的周长. 故选：B. 9．下列关于等轴双曲线的叙述，错误的是（    ） A．离心率是 B．两条渐近线互相垂直 C．实轴长等于虚轴长 D．双曲线方程可以设为 【答案】D 【分析】根据等轴双曲线的定义和性质，结合题意，即可判断求解. 【详解】因为等轴双曲线中，， 所以， 所以， 所以离心率，故A正确，不符合题意； 因为等轴双曲线中，， 所以渐近线方程为， 所以两条渐近线互相垂直，故B正确，不符合题意； 因为等轴双曲线中，， 即， 所以实轴长等于虚轴长，故C正确，不符合题意； 对于D，当时，方程为， 所以，此时方程表示的是两条直线，不是双曲线，故选项D错误，符合题意； 故选：D. 10．双曲线 的离心率为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的性质及离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线的焦距为. 因为双曲线的离心率为. 所以. 因为. 所以即. 所以. 所以. 所以双曲线的渐近线方程为. 故选:. 11．已知等轴双曲线的一个焦点是，则它的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦点坐标可知焦点在轴上和的值，再结合关系式及等轴双曲线中关系，即可求出方程. 【详解】由焦点可知， 双曲线焦点在轴上，且， 又因为，且， ， 即双曲线标准方程为：. 故选：. 12．已知抛物线的焦点为F，O是坐标原点，点A在抛物线C上，且，点P是抛物线C准线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线方程写出焦点和准线，设出抛物线上的点进行求解，最后由中垂线性质即可解得. 【详解】由题，将抛物线方程化为标准方程为， 则焦点，准线，设， 则，解得代入抛物线方程， 可得（假设在轴右侧），故， 则点关于准线方程对称的点为， 如下图所示： 由中垂线性质可得， 故选：B 13．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线与双曲线的性质，分析求解即可. 【详解】由双曲线可知：，焦点在轴， 所以， 所以右焦点坐标为， 因为抛物线的焦点坐标为，且与双曲线右焦点重合， 所以，解得：． 故选：A. 14．已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与一条渐近线垂直，斜率乘积等于，结合双曲线，联立方程组即可求解. 【详解】因为双曲线焦距为4， 所以 ， 所以， 又双曲线方程的渐近线方程为， 而直线的斜率，且直线与一条渐近线垂直， 所以 ，即， 由化简得， 所以， 所以双曲线方程为： ， 故选：C. 15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“”，设直线交抛物线于，两点，若，恰好是的“勾”“股”（为坐标原点），则此直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，联立直线与抛物线结合韦达定理和向量垂直求出b的值，进而求出直线恒过定点. 【详解】设直线的方程为， 由，得，此时， 由根与系数的关系可得. 由，恰好是的“勾’“股”（O为坐标原点）， 可得，所以，即， 所以. 又， 所以， 即，解得或（舍去）， 所以直线l的方程为，恒过点. 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．点满足，则点P的轨迹为 ，离心率为 ． 【答案】 椭圆 【分析】直接根据椭圆的第二定义即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴点到定点的距离与到定直线的距离之比为， ∴点的轨迹为椭圆，其离心率为， 故答案为：椭圆，． 【点睛】本题主要考查椭圆的第二定义的应用，属于基础题． 17．等轴双曲线的焦点为，则该双曲线的标准方程是 ，离心率是 ，渐近线方程是 . 【答案】 【分析】由等轴双曲线的焦点，可以求出双曲线的标准方程，进而可求出离心率和渐近线方程. 【详解】设双曲线为， 因为等轴双曲线的焦点为， 所以， 即有，解得， 所以双曲线的标准方程为， 所以，， 所以离心率， 渐近线，即. 故答案为:，，. 18．双曲线的离心率是 ，渐近线方程 . 【答案】 【分析】根据题意可得，结合求，分别代入离心率、渐近线计算求解． 【详解】根据方程可得，则 ∴双曲线的离心率，渐近线 故答案为：；． 19．已知双曲线实轴长是6，焦距是10，且焦点在轴上，则双曲线的标准方程为 【答案】 【分析】根据已知条件，找出双曲线方程中的基本量，依据焦点所在位置，写出双曲线方程. 【详解】双曲线的实轴长为6，即焦距是10，即所以有 又因双曲线的焦点在轴上，因此双曲线的标准方程为 故答案为： 20．已知抛物线的焦点为F，则抛物线上的动点P到点与F距离之和的最小值为 . 【答案】 【分析】根据抛物线的方程求出焦点和准线，再由抛物线的定义即可解得. 【详解】由题，抛物线的焦点为， 设抛物线准线为，动点到的距离为，作于， 图像如下图所示： 则， 当且仅当为与抛物线的交点时等号成立， 故所求最小值为. 故答案为： 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上任一点到两个焦点的距离之和： (1)； (2). 【答案】(1)； (2)； 【分析】求出、、的值，根据椭圆的定义及其几何性质求解即可. 【详解】（1）已知方程是椭圆的标准方程， 由，可知这个椭圆的焦点在x轴上，且，， 所以，. 因此，椭圆的焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为. （2）已知方程是椭圆的标准方程， 由，可知这个椭圆的焦点在y轴上，且，， 所以，. 因此，椭圆的焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为. 22．设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于，，若，的周长为16，求. 【答案】5 【分析】由已知可求得，然后根据已知结合椭圆的定义可推得，，即可得出答案. 【详解】 由已知，，可得，. 因为的周长为16，则. 根据椭圆定义可得，， 所以，， 所以，， 所以，. 23．已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段中点的横坐标为. (1)求直线的方程； (2)求； (3)求的面积. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）先根据抛物线方程得到焦点，设定直线方程，结合韦达定理计算线段的中点，即可求解. （2）根据（1）得到，，再结合即可求解. （3）先计算原点到直线的距离，结合（2）中的长，即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 设直线的方程为，，， 联立直线与抛物线方程，消去得， 则，， 因为线段中点的横坐标为，所以，即， 化简得，所以， 即，解得， 所以直线的方程为或， 即或； （2）由（1）知，， 所以， 则， （3）因为直线的方程为或， 所以原点到直线的距离或， 所以. 24．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，动圆圆心的轨迹方程为，已知点，直线过点且与轨迹交于､两点，且，求直线的方程. 【答案】或 【分析】设圆心，过点作 轴，垂足为，利用垂径定理可得，又，利用两点间的距离公式即可得出动圆圆心的轨迹方程，设直线为，，，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，再根据焦点弦公式得到方程，解得即可； 【详解】解：如图设圆心，，圆与轴交于、两点，过点作轴，垂足为，则， ， ，化为； 即动圆圆心的轨迹的方程为， 设直线为，，，联立方程得，消去得，所以，，所以，即，解得，所以直线为或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套福建专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查了椭圆的概念、椭圆的几何性质、双曲线的概念、双曲线的几何性质等常见考点。 第三章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线的焦距为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 2．双曲线的实轴长，虚轴长分别是（    ） A．2，4 B．4，2 C．，4 D．4， 3．双曲线上一点到一个焦点的距离为5，则这个点到另一个焦点的距离为（   ）. A．1 B．11 C．9 D．1或9 4．焦点在x轴上，焦距为8的双曲线，其离心率．则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．椭圆上的点到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 6．过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线上一点M，焦点为F，且，则点M到x轴的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．椭圆的左、右焦点为、 ，一直线过交椭圆于、，则的周长为（    ） A． B． C． D． 9．下列关于等轴双曲线的叙述，错误的是（    ） A．离心率是 B．两条渐近线互相垂直 C．实轴长等于虚轴长 D．双曲线方程可以设为 10．双曲线 的离心率为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 11．已知等轴双曲线的一个焦点是，则它的标准方程是（   ） A． B． C． D． 12．已知抛物线的焦点为F，O是坐标原点，点A在抛物线C上，且，点P是抛物线C准线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 13．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则（   ） A．4 B． C． D． 14．已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“”，设直线交抛物线于，两点，若，恰好是的“勾”“股”（为坐标原点），则此直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．点满足，则点P的轨迹为 ，离心率为 ． 17．等轴双曲线的焦点为，则该双曲线的标准方程是 ，离心率是 ，渐近线方程是 . 18．双曲线的离心率是 ，渐近线方程 . 19．已知双曲线实轴长是6，焦距是10，且焦点在轴上，则双曲线的标准方程为 20．已知抛物线的焦点为F，则抛物线上的动点P到点与F距离之和的最小值为 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上任一点到两个焦点的距离之和： (1)； (2). 22． 设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于，，若，的周长为16，求. 23．已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段中点的横坐标为. (1)求直线的方程； (2)求； (3)求的面积. 24．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，动圆圆心的轨迹方程为，已知点，直线过点且与轨迹交于､两点，且，求直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $