第四章 立体几何（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 上册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套福建专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查了平面、直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等常见考点。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题正确的是（    ） ①三点确定一个平面； ②圆上三点确定一个平面； ③圆心与圆上的两点确定一个平面； ④两条平行直线确定一个平面 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】由点、线确定平面的结论可直接得到结果． 【详解】对于①，若三点共线，则无法确定一个平面，①错误； 对于②，圆上三点不共线，则圆上任意三点可确定一个平面，②正确； 对于③，若圆上两点构成圆的直径，即与圆心共线，则此三点无法确定一个平面，③错误； 对于④，两条平行直线可确定唯一一个平面，④正确． 故选：C． 2．若一直线a在平面α内，则正确的作图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据线在平面的定义即可判断． B选项中直线超出平面，故B选项错误； C选项中没有画出直线，故C选项错误； D选项直线与平面相交，故D选项错误． 故选：A． 3．两异面直线所成角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由异面直角直线所成角的取值范围即可得解. 【详解】异面直线所成角的概念是过空间任一点,作两条异面直线的平行线,则两条相交直线所成的锐角或者直角就是两异面直线所成的角. 所以两条异面直线所成的角为范围. 故选:. 4．下列四个命题中，错误命题的个数是（        ） ①任意两条直线都可以确定一个平面； ②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合； ③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面； ④若直线l上有一点在平面a外，则l与平面a相交. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据平面的公理、异面直线的定义、直线与平面的位置关系即可判断. 【详解】若两条直线异面，则不能确定一个平面，①错误； 若这三点共线，则这两个平面有可能相交，②错误； 若直线与异面，直线与，都相交，则与共面，与共面，但与异面，③错误； 若直线上有一点在平面外，则与平面相交或平行，④错误. 所以错误命题的个数是，故ABC错误，D正确. 故选：D. 5．设，，表示空间中三条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据直线、平面之间的位置关系，及线面垂直的性质定理进行判断即可. 【详解】A选项，当，时，不一定有，也可能异面，所以A错误； B选项，当，平行时，可能不成立，所以B错误； C选项，由线面垂直的性质定理知，C正确； D选项，当，时，可能相交，所以D错误. 故选：C. 6．两两相交的四条直线最多能确定（    ）个平面． A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由题意画出图形，数形结合可得答案. 【详解】 如图，当四条直线分别为四棱锥的四条侧棱时，四条直线确定的平面最多，为6个， 分别为平面PAB、平面PAD、平面PBC、平面PCD、平面PBD、平面PAC. 故选：C 7．一个正六棱锥，其侧面和底面的夹角大小为，则该正六棱锥的高和底面边长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图正六棱锥中，取的中点，则为侧面和底面的夹角，根据的值可求得的值. 【详解】       如图正六棱锥中，底面中心为，取的中点，连接， 则，所以为侧面和底面的夹角，即 因为底面， 底面， 所以，所以， 又，所以， 所以. 故选：A 8．已知直线与平面，给出下列三个命题：①若，则；②若，则；③若，则，其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据线面的命题和面面的命题判断易得答案. 【详解】因为直线与平面， ①若，所以与平行或异面或相交，故是假命题； ②若，因为存在，使得，所以，所以，故是真命题； ③若，因为存在，使得，所以，所以，故是真命题， 所以真命题的个数是. 故选：C. 9．已知三角形ABC中,,,AD为斜边BC上的高,若沿着高线AD折成一个的二面角,则角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，找出二面角的平面角，结合勾股定理求出，即可求解. 【详解】    如图,令， 则， 因为，则为二面角的平面角， 则 则， 所以 所以为等边三角形， 则 故选：B. 10．若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据直线与平面，平面与平面各项性质与定理逐个选项判断即可. 【详解】若，，不能说明与的位置关系，就像垂直地面的两堵墙， 可能平行，可能相交但不垂直，也可能垂直，故选项错误， 若，，需要补充与的交线垂直，才能推出，故选项错误， 若，，，不能说明与的位置关系，就像双开门冰箱的门与主体的连接处是平行的， 但是两扇门所在平面可能平行，可能相交但不垂直，也可能垂直，故选项错误， 若，则在平面内存在一条直线使得， 且由可得，则，故选项正确. 故选：. 11．在正三棱锥中，已知，，则直线与平面所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正三棱锥的顶点在底面的投影，找到线面角，然后利用三角函数定义求解即可. 【详解】在正三棱锥中，在底面等边中的投影为，且为等边的中心，如图：   平面，即直线与平面所成角为，， 由，所以在等边三角形中，， 所以，所以. 故选：B 12．如图，正四棱台中，点，，分别是棱，，的中点，则下列判断中，不正确的是（   ） A．，，，共面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】C 【分析】根据线线平行确定四点共面、线面平行、线面垂直的性质判断即可. 【详解】正四棱台中，点，，分别是棱，，的中点， 如图所示： 对于A：如图所示，连接和，因为，所以，，，四点共面，所以A正确， 对于B：因为，所以点、、、四点共面，故平面，故B正确， 对于C：根据棱台的性质，平面，平面和平面为相交平面， 所以与平面不垂直，故C错误， 对于D：因为，平面，，所以平面，故D正确． 故选：C． 13．已知在棱长均为的正三棱柱中，点D为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点为的中点，取的中点，连接，，利用线面平行的判定定理证明平面，由勾股定理求解即可. 【详解】如图， 设点P为的中点，取的中点Q，连接， 则，又平面，平面，平面， 易知，故平面与平面是同一个平面， 平面，此时． 故选：B. 14．已知直线平面，直线平面，给出下列命题，其中正确的是（    ） ①；②；③；④. A．①③ B．②③④ C．②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】由线面垂直的性质和面面平行的性质，可判断①；由面面垂直的性质和线线位置关系，可判断②；由线面垂直的判断和面面垂直的判断，可判断③；运用面面的位置关系和线面垂直的性质，可判断④. 【详解】对于①，∵，，∴，又，∴，故①正确； 对于②，，，则或，又，∴与可能平行、相交、异面，故②错误； 对于③，，，故，又，∴，故③正确； 对于④，，则与可能平行或相交或，故不能判断与的位置关系，故④错误. 故选：A. 15．若平面，，且点，点，则说法错误的是（    ） A．过点且垂直于的直线平行于 B．过点且垂直于的直线在内 C．过点且垂直于的直线在内 D．过点且垂直于的平面垂直于 【答案】B 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的相关定理，对每个选项逐一进行分析即可求解. 【详解】因为平面，，且点，点，即点， 选项A，设过点且垂直于的直线为，则，， 又，所以，即“过点且垂直于的直线平行于”正确； 选项B，设过点且垂直于的直线为，即， 又因为，即， 所以过点且垂直于的直线不一定在内，错误； 选项C，在平面内过点作直线垂直于，即，， 又，，所以， 假设存在过点且不在内的直线满足，则， 又，则重合，假设不成立， 则“过点且垂直于的直线在内”正确， 选项D，设过点作垂直于的平面为，得到； 又，则，故“过点且垂直于的平面垂直于”正确， 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．空间中两条直线的位置关系有三种，分别是 、 和 . 【答案】 平行 相交 异面 【分析】由空间中两条直线的位置关系即可得解. 【详解】空间中两条直线的位置关系有平行、相交、异面. 故答案为：平行；相交；异面. 17．如图在三棱锥中，⊥底面，⊥，垂直平分，且分别交、于D、E，又，，则以为棱，平面与平面的二面角的大小为 ． 【答案】 【分析】证明出线面垂直，得到是平面与平面的二面角，设，求出其他边长，得到，得到，二面角的大小为. 【详解】∵，又点为的中点， ∴， ∵垂直平分，，平面， ∴⊥平面， ∵平面， ∴⊥， ∵⊥平面，平面 ∴⊥， ∵，平面， ∴⊥平面， ∵平面， ∴⊥，⊥， 故是平面与平面的二面角， 设，则，故， ∵⊥， ∴， 故， 故， ∴. 故答案为：. 18．已知直线及平面，下列命题中： ①；②；③；④. 所有正确命题的序号为 . 【答案】④ 【分析】①直线还可能在面内，②直线与平面也可能平行, ③直线还可能在面内, ④正确. 【详解】① 直线与平面可能平行，也可能在面内，所以错误 ② 直线与平面可能垂直，也可能平行，所以错误. ③ 直线与平面可能平行，也可能在面内，所以错误. ④ 可以得到直线与平面垂直，所以正确. 【点睛】本题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，属于简单题. 19．如图所示，在长方体，底面边长，高，则对角线与平面所成的角为 ． 【答案】 【分析】先连接，再根据为长方体得到平面，为在平面的投影，进一步得到即为与平面所成的角的平面角即可求解． 【详解】如图所示，连接， ∵为长方体， ∴平面，为在平面的投影， ∴，即为与平面所成的角的平面角， ∵，高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴对角线与平面所成的角为， 故答案为：． 20．正三棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成二面角为，则该三棱锥的高是 . 【答案】 【分析】根据题意作出图像，求出的距离，找出二面角的平面角可知，结合正弦函数的定义即可得解. 【详解】 如图所示，作出正三棱锥，作交于点，则为中点， 找到底面中心点，连接，即为三棱锥的高，连接， 因为平面平面，，，，所以， 因为底面边长为，所以， 则， 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱中，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】． 【分析】根据直线与平面所成角的定义确定所求角，进而求解即可. 【详解】 在正四棱柱中，平面，连接， 则为在平面的射影，则为与平面的所成角． 在中，， 直线与平面所成角的余弦值为． 22．在棱长为的正方体中，求：    (1)二面角的平面角的正切值； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方体的几何特征，找出为，由此即可求出正切值. （2）根据三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 由正方形的性质可知，，且为中点， 且均为正方体的面对角线， ， 在中，， 根据二面角的定义，二面角的平面角即为. 平面， ， .    （2）根据三棱锥的体积可由， 为三棱锥的顶点，为三棱锥的底面， 平面， 为三棱锥的高， ， 即. 23．如图，在棱长为2的正方体中，为上一点，求：    (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连结，将二面角转化为二面角，根据二面角的平面角的概念，可得的大小为所求，据此可得解； （2）将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，据此可求解. 【详解】（1）    如图，连结，在正方体中，， 所以，可确定一个平面， 所以二面角即为二面角. 因为，，且，在平面内， 所以平面. 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角.             在正方形中，可知，     即二面角的大小为； （2）因为，平面，平面， 所以平面， 所以到平面的距离等于到平面的距离. 所以. 24．如图所示，在长方体中，已知.求： (1)二面角的平面角的正切值； (2)点到平面的距离. 【答案】(1). (2). 【分析】（）作于，连接，找出二面角的平面角，再利用长方体的棱长求出相关线段的长度即可得解. （）作于点，结合线面垂直的判定与性质得出即为所求线段，利用勾股定理及三角形面积公式即可得解. 【详解】（1） 作于，连接. 平面，平面，，， 又且平面，平面， 平面，平面，所以， 为二面角的平面角. 由得. . 在中，. 二面角的正切值为. （2） 如图所示，作于点，平面，平面， ，，平面，平面，， 平面， 为点到平面的距离. 在中，， 由得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套福建专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查了平面、直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等常见考点。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题正确的是（    ） ①三点确定一个平面； ②圆上三点确定一个平面； ③圆心与圆上的两点确定一个平面； ④两条平行直线确定一个平面 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 2．若一直线a在平面α内，则正确的作图是（    ） A． B． C． D． 3．两异面直线所成角的范围是（    ） A． B． C． D． 4．下列四个命题中，错误命题的个数是（        ） ①任意两条直线都可以确定一个平面； ②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合； ③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面； ④若直线l上有一点在平面a外，则l与平面a相交. A．1 B．2 C．3 D．4 5．设，，表示空间中三条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．两两相交的四条直线最多能确定（    ）个平面． A．4 B．5 C．6 D．8 7．一个正六棱锥，其侧面和底面的夹角大小为，则该正六棱锥的高和底面边长之比为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线与平面，给出下列三个命题：①若，则；②若，则；③若，则，其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知三角形ABC中,,,AD为斜边BC上的高,若沿着高线AD折成一个的二面角,则角（    ） A． B． C． D． 10．若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 11．在正三棱锥中，已知，，则直线与平面所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 12．如图，正四棱台中，点，，分别是棱，，的中点，则下列判断中，不正确的是（   ） A．，，，共面 B．平面 C．平面 D．平面 13．已知在棱长均为的正三棱柱中，点D为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（   ） A． B． C． D． 14．已知直线平面，直线平面，给出下列命题，其中正确的是（    ） ①；②；③；④. A．①③ B．②③④ C．②④ D．①②③ 15．若平面，，且点，点，则说法错误的是（    ） A．过点且垂直于的直线平行于 B．过点且垂直于的直线在内 C．过点且垂直于的直线在内 D．过点且垂直于的平面垂直于 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．空间中两条直线的位置关系有三种，分别是 、 和 . 17．如图在三棱锥中，⊥底面，⊥，垂直平分，且分别交、于D、E，又，，则以为棱，平面与平面的二面角的大小为 ． 18．已知直线及平面，下列命题中： ①；②；③；④. 所有正确命题的序号为 . 19．如图所示，在长方体，底面边长，高，则对角线与平面所成的角为 ． 20．正三棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成二面角为，则该三棱锥的高是 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱中，求直线与平面所成角的余弦值． 22．在棱长为的正方体中，求：    (1)二面角的平面角的正切值； (2)三棱锥的体积． 23．如图，在棱长为2的正方体中，为上一点，求：    (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积. 24．如图所示，在长方体中，已知.求： (1)二面角的平面角的正切值； (2)点到平面的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $