专题02 有理数及其运算（期中复习讲义）（知识必备+12大核心题型+分层验收）七年级数学上学期新教材北师大版

专题02 有理数及其运算 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在小题 有理数的分类 能按标准准确分类有理数 填空常考，易漏0或混淆分类 数轴的概念与应用 会画数轴、表数及比较大小 小题高频，易漏画数轴要素或比错负数 相反数与绝对值 会求相反数、算绝对值，理解非负性 多题型涉及，易错负数绝对值或忽略非负性 有理数的运算 能准确运算并解决应用题 必考点，易错运算顺序或符号括号 科学记数法 能用科学记数法表示数，理解规则 小题必考，易错确定的值 知识点01 有理数的基本概念 1．负数与有理数分类 具有相反意义的两个量，规定一种为正（带“”，可省略），另一种为负（带“”）； 2．数轴 三要素：原点、单位长度、正方向（直线）； 作用：数轴上右边的数总比左边大，正数＞0＞负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。 3．相反数与绝对值 相反数：只有符号不同、绝对值相等的两个数（如2与-2），多重符号化简遵循“奇负偶正”； 绝对值：数轴上数对应的点到原点的距离，性质为：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，0的绝对值是0（即，非负性）。 知识点02 有理数的运算 1．加减运算 加法法则：同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，用大绝对值减小绝对值；任何数加0得本身； 加法运算律：交换律，结合律； 减法法则：减去一个数=加上这个数的相反数：，加减混合运算先将减法转加法，再用运算律简便计算。 2．乘除运算 乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；多个非0数相乘，负因数个数为奇则积负、偶则积正；有0则积为0； 乘法运算律：交换律，结合律，分配律； 倒数：乘积为1的两个数（0无倒数，负数的倒数仍为负数）； ·示例：-2的倒数是 除法法则：法则一：同号得正、异号得负，绝对值相除（0除以非0数得0）； 法则二：除以非0数=乘它的倒数（）。 3．乘方运算 定义：个相同因数的积的运算叫乘方，结果叫幂 在乘方运算中，是底数，是指数； 符号法则：正数的任何次乘方为正；负数的奇次乘方为负，偶次乘方为正（如）。 ·示例： ·易错点：混淆底数范围，误将算成，忽略“负号是否在乘方括号内”对结果的影响。 4．混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内（先小括号，再中括号）。 知识点03 科学记数法与近似数 1．科学记数法 绝对值＞10的数记为（，原数整数位数）。 ·示例： 2．近似数 用“四舍五入法”取近似值。 ·示例：将3.14159精确到百分位为3.14 题型一 正负数的定义 【例1】在，，，0，中，负数的个数有 个． 【例2】中国人最先使用负数是在魏晋时期，数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，表示，可推算图②中所得的数值为：（    ） A． B．2 C． D． 【变式1-1】向北走8米，记作米，那么向南走8米，记作 ． 【变式1-2】在数5，，，，0.76中负数有 ，正数有 ． 题型二 有理数的分类 【例3】在下列各数中，， ，0，   ，  ，10，负分数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例4】将下列各数填在相应的集合里．（请填序号）①，②，③，④，⑤0，⑥，⑦，⑧ 整数集合：            分数集合：            非负数集合：            【变式2-1】把下列各数：，，，，，，属于分数集合的有 ． 【变式2-2】把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                        …}； 负有理数集合：{                       …}； 整数集合：{                       …}； 负整数集合：{                       …}； 有理数集合：{                       …}． 解｜题｜技｜巧 有理数有两大分类维度，需先看清题目要求： ①按定义分：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）； ②按性质分：正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 题型三 用数轴上的点表示有理数 【例5】在数轴上位于原点右侧，且距离原点3个单位长度的点所表示的数是（   ） A．3或 B． C．3 D．0或3 【例6】如图所示，在数轴上，叶片遮挡住的点表示的数可能是（　　） A． B．0 C．1 D． 【变式3-1】如图，数轴上每相邻两刻度之间的距离为1个单位长度，若点A，C表示的数互为相反数，则点B表示的数是（   ） A． B．0 C．1 D．3 【变式3-2】数轴上点M和点N表示的数分别为和2，把点M向右平移 个单位长度，可以使点M到点N的距离是3． 【变式3-3】如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： （1）点，，表示的数分别为 ， ， ； （2）点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ； （3）将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ； （4）将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ． 题型四 绝对值、相反数、倒数的化简 【例7】 ． 【例8】在，，，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-2】化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 题型五 有理数比较大小 【例9】在，，2，0这四个数中，最小的数是（    ）． A． B． C．2 D．0 【例10】把，，0.666，按从小到大的顺序排列起来． < < < 【变式5-1】有四个数：0.17，，0.166，，其中最小的数是（    ） A．0.17 B． C．0.166 D． 【变式5-2】在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． ，4，，1， 【变式5-3】写出下列各数的绝对值，并指出哪个数的绝对值最大，哪个数的绝对值最小：． 易｜错｜点｜拨 比较负数时，别忽略“绝对值大的反而小”，避免错判 题型六 有理数加减混合运算 【例11】计算：． 解：原式 （ ） ． 【例12】对有理数，规定一种新运算“*”：，则 ． 【变式6-1】把写成省略括号的形式为 ． 【变式6-2】计算： (1)； (2)． 【变式6-3】阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 题型七 有理数乘除混合运算 【例13】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例14】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-1】若一个数的是，则这个数的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-3】阅读下面的解题过程．请认真阅读并解答相关问题． 计算：． 解：原式……………………………………第一步 ……………………………………第二步 ……………………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)上面解题过程中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)写出正确的解答过程． 题型八 有理数的乘方运算 【例15】下列各数：中，负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例16】计算的式子为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】将，，从小到大排列正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】计算： ． 【变式8-3】一根1米长的竹叶，第一次被熊猫吃掉一半，第二次吃掉剩下的一半．如此吃下去，第五次后剩下的竹叶长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型九 有理数混合运算 【例17】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式9-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式9-2】计算 (1)； (2)． 题型十 有理数的实际应用 【例19】小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股30元买进某公司股票若干股，在接下来的一周交易日内，小王记录该股每日收盘价格相比前一天的涨跌情况（单位：元）如下： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 星期五收盘时，该股票价格为每股 元． 【例20】2025年召开的世界人工智能大会中，使用了服务型机器人．一个服务型机器人满电状态可连续工作9时，工作时接待一位顾客平均用时，它上午接待12位顾客，下午接待顾客数量比上午少3位，结束工作后机器人还能继续工作多长时间？    【变式10-1】出租车司机小李某天下午的运营全是在东西走向的长江路上进行． 如果规定方向向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程(单位：千米)如下： ，，，，，，，，，、 (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发地有多远？ (2)若汽车耗油量为 0.6升/千米，这天下午小李共耗油多少升？ (3)若小李家在距离出车地点的西边35千米处，送完最后一名乘客，小李还要行驶多少千米才能到家？ 【变式10-2】如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第4次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ） A． B． C．25 D．175 【变式10-3】某种金属元素铋会进行衰变，每次在一个周期里，衰变的量是上一次量的一半，铋的周期（半衰期）是1小时，设原有1克未衰变的铋，则1小时后有0.5克发生了衰变，再过1小时又有0.25克发生了衰变，衰变一直按照这种规律发生下去，请问5小时后，共有 克铋发生了衰变． 题型十一 科学记数法 【例21】原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽原子钟的精度达到了万年误差不超过．数据万用科学记数法表示为（   ）. A． B． C． D． 【例22】下列求原数不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2月9日，的累计下载量已超过亿次，周活跃用户规模高达人．其中表示的原数中，7的后面有 个零． 题型十二 近似数 【例23】用四舍五入法把1.7375精确到0.01，所得的近似数是（     ） A．1.73 B．1.738 C．1.74 D．1.737 【例24】由四舍五入法得到的数中，有效数字有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式12-1】下列说法中错误的是（    ） A．近似数万精确到万位 B．近似数 精确到十位 C．精确到百位的近似数为 D．精确到 【变式12-2】盘锦市高级中学在校师生约为0.35万人，近似数0.35万精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千位 D．百位 【变式12-3】圆周率…精确到千分位的近似数是 ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1． （　　） A．2 B． C．1 D．4 2．已知下列各数：0，其中是负数的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）记数，正放表示正数，斜放表示负数．图1可列式计算，由此推算，图2可列式计算（   ） A． B． C． D． 4．，，，且，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D． 5．若，互为倒数，则 ；若没有倒数，的倒数是它本身，则 ． 6．把下列各数填入相应集合的括号内，并用“＜”把它们连接起来： ，，0.3，0，12，，，． (1)正数集合：{　　…}； (2)整数集合：{　　…}； (3)负分数集合：{　　…}； (4)用“＜”把它们连接起来是 　　． 7．在数轴上画出表示数，，，，的点，并把这组数从小到大用“”号连接起来． 8．脱式计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．定义一种新的运算“F”：①当n为奇数时结果为，②当n为偶数时结果为（其中k是使为正奇数的正整数），反复运算．例如， 那么当时，第2025次“F”运算的结果是 ． 2．（ 2024·25七年级上·河南南阳·期中）有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键，能用简便方法的尽量用简便方法． (1)请填空．计算： 解： （先算乘方) （　　） （　　） （　　） （　　） (2)请计算： 3．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”， 写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ；= ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式：，． （3）算一算：． 4．阅读下列材料： 计算：． 解法①：原式． 解法②：原式． 解法③：原式的倒数．所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法__________是错误的；（填序号） (2)请你选择喜欢的解法计算：． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点位置，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（ 2024·25七年级上·浙江杭州·期中）小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是____________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是____________； (3)从中取山3张卡片，使这3张卡片乘积结果为，请写出所有的情况． 3．我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数及其运算 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在小题 有理数的分类 能按标准准确分类有理数 填空常考，易漏0或混淆分类 数轴的概念与应用 会画数轴、表数及比较大小 小题高频，易漏画数轴要素或比错负数 相反数与绝对值 会求相反数、算绝对值，理解非负性 多题型涉及，易错负数绝对值或忽略非负性 有理数的运算 能准确运算并解决应用题 必考点，易错运算顺序或符号括号 科学记数法 能用科学记数法表示数，理解规则 小题必考，易错确定的值 知识点01 有理数的基本概念 1．负数与有理数分类 具有相反意义的两个量，规定一种为正（带“”，可省略），另一种为负（带“”）； 2．数轴 三要素：原点、单位长度、正方向（直线）； 作用：数轴上右边的数总比左边大，正数＞0＞负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。 3．相反数与绝对值 相反数：只有符号不同、绝对值相等的两个数（如2与-2），多重符号化简遵循“奇负偶正”； 绝对值：数轴上数对应的点到原点的距离，性质为：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，0的绝对值是0（即，非负性）。 知识点02 有理数的运算 1．加减运算 加法法则：同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，用大绝对值减小绝对值；任何数加0得本身； 加法运算律：交换律，结合律； 减法法则：减去一个数=加上这个数的相反数：，加减混合运算先将减法转加法，再用运算律简便计算。 2．乘除运算 乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；多个非0数相乘，负因数个数为奇则积负、偶则积正；有0则积为0； 乘法运算律：交换律，结合律，分配律； 倒数：乘积为1的两个数（0无倒数，负数的倒数仍为负数）； ·示例：-2的倒数是 除法法则：法则一：同号得正、异号得负，绝对值相除（0除以非0数得0）； 法则二：除以非0数=乘它的倒数（）。 3．乘方运算 定义：个相同因数的积的运算叫乘方，结果叫幂 在乘方运算中，是底数，是指数； 符号法则：正数的任何次乘方为正；负数的奇次乘方为负，偶次乘方为正（如）。 ·示例： ·易错点：混淆底数范围，误将算成，忽略“负号是否在乘方括号内”对结果的影响。 4．混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内（先小括号，再中括号）。 知识点03 科学记数法与近似数 1．科学记数法 绝对值＞10的数记为（，原数整数位数）。 ·示例： 2．近似数 用“四舍五入法”取近似值。 ·示例：将3.14159精确到百分位为3.14 题型一 正负数的定义 【例1】在，，，0，中，负数的个数有 个． 【答案】2 【详解】解：∵，， ∴在，，，0，中，负数有：，共2个， 故答案为：2． 【例2】中国人最先使用负数是在魏晋时期，数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，表示，可推算图②中所得的数值为：（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意，图②中所得的数值为： 故选：C． 【变式1-1】向北走8米，记作米，那么向南走8米，记作 ． 【答案】米 【详解】解：由于向北走8米，记作米， 所以向南走8米，记作米． 故答案为：米． 【变式1-2】在数5，，，，0.76中负数有 ，正数有 ． 【答案】 5，，0.76 【详解】解：在数5，，，，0.76中， 负数有；正数有5，，0.76． 故答案为：；5，，0.76． 题型二 有理数的分类 【例3】在下列各数中，， ，0，   ，  ，10，负分数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：， ，0，   ，  ，10中， 负分数有，，有2个． 故选：B． 【例4】将下列各数填在相应的集合里．（请填序号）①，②，③，④，⑤0，⑥，⑦，⑧ 整数集合：            分数集合：            非负数集合：            【答案】见解析 【详解】解：，， 所以整数集合：； 分数集合：； 非负数集合：． 【变式2-1】把下列各数：，，，，，，属于分数集合的有 ． 【答案】，0.618， 【详解】解：属于分数集合的有，0.618，， 故答案为：，0.618，． 【变式2-2】把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                        …}； 负有理数集合：{                       …}； 整数集合：{                       …}； 负整数集合：{                       …}； 有理数集合：{                       …}． 【答案】①③④⑧；②⑤⑦；①④⑤⑥；⑤；①②③④⑤⑥⑦⑧ 【详解】正有理数集合：{①③④⑧…}； 负有理数集合：{ ②⑤⑦…}； 整数集合：{ ①④⑤⑥…}； 负整数集合：{⑤…}； 有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧…} 解｜题｜技｜巧 有理数有两大分类维度，需先看清题目要求： ①按定义分：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）； ②按性质分：正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 题型三 用数轴上的点表示有理数 【例5】在数轴上位于原点右侧，且距离原点3个单位长度的点所表示的数是（   ） A．3或 B． C．3 D．0或3 【答案】C 【详解】解：∵数轴上原点右侧的数是正数，且距离原点3个单位长度， ∴这个点所表示的数是3． 故选：C． 【例6】如图所示，在数轴上，叶片遮挡住的点表示的数可能是（　　） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】解：设叶片盖住的点表示的数为x，则， 则表示的数可能是． 故选：A． 【变式3-1】如图，数轴上每相邻两刻度之间的距离为1个单位长度，若点A，C表示的数互为相反数，则点B表示的数是（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【详解】∵数轴上每相邻两刻度之间的距离为1个单位长度，点A，C两点之间距离为6个单位长度， ∵点A，C表示的数互为相反数， ∴点A表示的数是，点C表示的数是3， ∴点B表示的数是． 故选：C． 【变式3-2】数轴上点M和点N表示的数分别为和2，把点M向右平移 个单位长度，可以使点M到点N的距离是3． 【答案】2或8 【详解】解：向右平移后点M在点N的左边， 点M向右平移个单位长度， 向右平移后点M在点N的右边， 点M向右平移个单位长度． 故答案为：2或8． 【变式3-3】如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： （1）点，，表示的数分别为 ， ， ； （2）点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ； （3）将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ； （4）将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ． 【答案】 【详解】（1）点，，表示的数分别为，，； 故答案为：，， （2）点，，表示的数的相反数分别为，，； 故答案为： ，， （3）将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，相反数是； 故答案为： （4）将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，相反数是． 故答案为： 题型四 绝对值、相反数、倒数的化简 【例7】 ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 【例8】在，，，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵，，，， ∴负数有，，，共3个． 故选：C 【变式4-1】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【变式4-2】化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型五 有理数比较大小 【例9】在，，2，0这四个数中，最小的数是（    ）． A． B． C．2 D．0 【答案】A 【详解】解： 最小， 故选：A． 【例10】把，，0.666，按从小到大的顺序排列起来． < < < 【答案】 0.666 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：；0.666；；． 【变式5-1】有四个数：0.17，，0.166，，其中最小的数是（    ） A．0.17 B． C．0.166 D． 【答案】C 【详解】，， ∴四个数中，最小的为0.166， 故选：C． 【变式5-2】在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． ，4，，1， 【答案】数轴表示见解析， 【详解】解：， 在数轴上表示如图： 所以． 【变式5-3】写出下列各数的绝对值，并指出哪个数的绝对值最大，哪个数的绝对值最小：． 【答案】；的绝对值最大；0的绝对值最小． 【详解】解：， ∵， ∴的绝对值最大，0的绝对值最小． 易｜错｜点｜拨 比较负数时，别忽略“绝对值大的反而小”，避免错判 题型六 有理数加减混合运算 【例11】计算：． 解：原式 （ ） ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：，，，，，． 【例12】对有理数，规定一种新运算“*”：，则 ． 【答案】 【详解】解：∵对有理数，规定一种新运算“*”：， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】把写成省略括号的形式为 ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式6-2】计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-3】阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 【答案】(1)有理数的减法法则，二 (2)加法交换律，加法结合律 (3)见详解 【详解】（1）解：第一步变形的依据是有理数的减法法则，从第二步开始出现错误，因为移动时未移动负号， 故答案为：有理数的减法法则，二； （2）解：第二步应用了加法交换律，第三步应用了加法结合律， 故答案为：加法交换律，加法结合律； （3）解：原式（第一步） （第二步） （第三步） ． 题型七 有理数乘除混合运算 【例13】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、 ，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 【例14】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式7-1】若一个数的是，则这个数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得： 故选：B. 【变式7-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式7-3】阅读下面的解题过程．请认真阅读并解答相关问题． 计算：． 解：原式……………………………………第一步 ……………………………………第二步 ……………………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)上面解题过程中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)写出正确的解答过程． 【详解】（1）解：第一步开始出现错误，这一步错误的原因是除法没有分配律 故答案为：一；除法没有分配律． （2）解：原式 ． 题型八 有理数的乘方运算 【例15】下列各数：中，负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：， ∴负数有，共4个； 故选C． 【例16】计算的式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式， 故选：A． 【变式8-1】将，，从小到大排列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，， ， ． 故选：B． 【变式8-2】计算： ． 【答案】 【详解】解：原式 ， 故答案为：. 【变式8-3】一根1米长的竹叶，第一次被熊猫吃掉一半，第二次吃掉剩下的一半．如此吃下去，第五次后剩下的竹叶长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：一根1米长的竹叶，第一次被熊猫吃去一半，还剩米； 第二次吃去剩下的一半，还剩米， 第三次吃去剩下的一半，还剩米， 如此吃下去，第五次后剩下的竹叶长度为米， 故选：B． 题型九 有理数混合运算 【例17】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式9-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式9-2】计算 (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十 有理数的实际应用 【例19】小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股30元买进某公司股票若干股，在接下来的一周交易日内，小王记录该股每日收盘价格相比前一天的涨跌情况（单位：元）如下： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 星期五收盘时，该股票价格为每股 元． 【答案】33 【详解】解：根据题意可得：（元）. 故答案为：． 【例20】2025年召开的世界人工智能大会中，使用了服务型机器人．一个服务型机器人满电状态可连续工作9时，工作时接待一位顾客平均用时，它上午接待12位顾客，下午接待顾客数量比上午少3位，结束工作后机器人还能继续工作多长时间？    【答案】小时 【详解】解： （小时）． 答：结束工作后机器人还能继续工作小时． 【变式10-1】出租车司机小李某天下午的运营全是在东西走向的长江路上进行． 如果规定方向向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程(单位：千米)如下： ，，，，，，，，，、 (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发地有多远？ (2)若汽车耗油量为 0.6升/千米，这天下午小李共耗油多少升？ (3)若小李家在距离出车地点的西边35千米处，送完最后一名乘客，小李还要行驶多少千米才能到家？ 【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午的出发点39千米远 (2)这天下午小李共耗油39升 (3)74千米 【详解】（1）解：（千米）， 故将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午的出发点39千米远； （2）解：（千米）， （升）， 故这天下午小李共耗油39升； （3）解：（千米）， 故小李还要行驶千米才能到家． 【变式10-2】如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第4次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ） A． B． C．25 D．175 【答案】A 【详解】解：长方形的面积为：， 第1次裁剪后剩下的长方形的面积， 第2次裁剪后剩下的长方形的面积， …… 第4次裁剪后剩下的长方形的面积． 故选：A． 【变式10-3】某种金属元素铋会进行衰变，每次在一个周期里，衰变的量是上一次量的一半，铋的周期（半衰期）是1小时，设原有1克未衰变的铋，则1小时后有0.5克发生了衰变，再过1小时又有0.25克发生了衰变，衰变一直按照这种规律发生下去，请问5小时后，共有 克铋发生了衰变． 【答案】 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 题型十一 科学记数法 【例21】原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽原子钟的精度达到了万年误差不超过．数据万用科学记数法表示为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：万 用科学记数法表示为 因此，万用科学记数法表示为， 故答案为：B. 【例22】下列求原数不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，此项计算不正确，符合题意． 故选：D． 【变式11-1】截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：148亿． 故选：B． 【变式11-2】，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2月9日，的累计下载量已超过亿次，周活跃用户规模高达人．其中表示的原数中，7的后面有 个零． 【答案】6 【详解】解：，即原数7的后面有6个0． 故答案为：6． 题型十二 近似数 【例23】用四舍五入法把1.7375精确到0.01，所得的近似数是（     ） A．1.73 B．1.738 C．1.74 D．1.737 【答案】C 【详解】解：； 故选C． 【例24】由四舍五入法得到的数中，有效数字有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【详解】解：数的有效数字有，，，，，共个， 故选：B． 【变式12-1】下列说法中错误的是（    ） A．近似数万精确到万位 B．近似数 精确到十位 C．精确到百位的近似数为 D．精确到 【答案】D 【详解】A：近似数万，数字7在万位上，所以该选项正确； B：，数字6在十位上，所以该选项正确； C：精确到百位，就看十位上的数字，十位上是7，根据四舍五入向前一位进1，即，该选项正确； D：最后一位数字0在千分位上，所以是精确到，该选项说法错误． 故选D． 【变式12-2】盘锦市高级中学在校师生约为0.35万人，近似数0.35万精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千位 D．百位 【答案】D 【详解】解：近似数0.35万是精确到百位． 故选：D． 【变式12-3】圆周率…精确到千分位的近似数是 ． 【答案】3.142 【详解】圆周率…精确到千分位的近似数是3.142， 故答案为：3.142 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1． （　　） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解： ． 故选：D 2．已知下列各数：0，其中是负数的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴负数是：，，，，共4个， 故选：C． 3．我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）记数，正放表示正数，斜放表示负数．图1可列式计算，由此推算，图2可列式计算（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图2可得，正放3个算筹，斜放4个算筹， ∴可列式计算． 故选：A． 4．，，，且，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【详解】∵，，， ∴，，， ∵，和的值不能同时为正．若，则只能为，此时即，而，不满足条件，故．因此只能为，只能为． ∴，，， 当，，时，； 当，，时，； 的值为或， 故选：A． 5．若，互为倒数，则 ；若没有倒数，的倒数是它本身，则 ． 【答案】 【详解】解：若，互为倒数，则， 所以； 若没有倒数，的倒数是它本身， 则，或， 所以或， 故答案为：，． 6．把下列各数填入相应集合的括号内，并用“＜”把它们连接起来： ，，0.3，0，12，，，． (1)正数集合：{　　…}； (2)整数集合：{　　…}； (3)负分数集合：{　　…}； (4)用“＜”把它们连接起来是 　　． 【答案】(1)，0.3，12， (2)0，12，， (3) (4) 【详解】（1）正数集合：{，0.3，12，…}； （2）整数集合：{0，12，，…}； （3）负分数集合：{…}； （4） 7．在数轴上画出表示数，，，，的点，并把这组数从小到大用“”号连接起来． 【答案】见解析， 【详解】解：，， 各数在数轴上的位置如图所示： 数轴上右边的数大于左边的数， ∴． 8．脱式计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)65 (3)1 (4) 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． （3）解： ， ， ， ． （4）解： ， ， ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．定义一种新的运算“F”：①当n为奇数时结果为，②当n为偶数时结果为（其中k是使为正奇数的正整数），反复运算．例如， 那么当时，第2025次“F”运算的结果是 ． 【答案】8 【详解】解：前8次的“F”运算结果如下： 依次类推，可以发现，从第4次“F”运算开始，奇数次“F”运算的结果都为8，偶数次“F”运算的结果都为1， ∴第2025次“F”运算的结果为8． 故答案为：8． 2．（ 2024·25七年级上·河南南阳·期中）有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键，能用简便方法的尽量用简便方法． (1)请填空．计算： 解： （先算乘方) （　　） （　　） （　　） （　　） (2)请计算： 【答案】(1)除法转化为乘法，确定符号，乘法运算，减法运算 (2) 【详解】（1）解： （先算乘方) （除法转化为乘法） （确定符号） （乘法运算） （减法运算） 故答案为：除法转化为乘法，确定符号，乘法运算，减法运算． （2）解： 3．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”， 写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ；= ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式：，． （3）算一算：． 【答案】（1），；（2），；（3） 【详解】解：（1）， ； 故答案为：，． （2） ； ． （3） ． 4．阅读下列材料： 计算：． 解法①：原式． 解法②：原式． 解法③：原式的倒数．所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法__________是错误的；（填序号） (2)请你选择喜欢的解法计算：． 【答案】(1)① (2) 【详解】（1）解：解法①是错误的，因为除法没有分配律，所以解法①没有计算依据，故错误， 故答案为：①； （2）解：原式的倒数 ， 故． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点位置，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，，，，， ∴，，，， ∴只有选项D正确，选项A、B、C都错误， 故选：D． 2．（ 2024·25七年级上·浙江杭州·期中）小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是____________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是____________； (3)从中取山3张卡片，使这3张卡片乘积结果为，请写出所有的情况． 【答案】(1) (2) (3)，，，． 【详解】（1）解：根据乘法法则，同号相乘为正，并且两个负数相乘时，绝对值越大乘积越大， ∴比较和，这两个数的绝对值相对较大， ∴选择和，它们的乘积为， 故答案为：； （2）解：根据除法法则，异号相除为负，要使商最小，就要让被除数的绝对值尽可能大，除数的绝对值尽可能小， ∴在这些数中，是较大的绝对值，\是较小的绝对值， ∴根据除法运算，， ∴2张卡片上数字相除的商最小，最小值是， 故答案为：； （3）解：根据同号得正，异号为负可得，三个数相乘，负数的个数为奇数， ∴按此规律满足3张卡片乘积结果为的等式有， ， ， ， ． 3．我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【详解】解：①∵， 当同号时，即或，时， 或， 当异号，即，或，， ∴或 ∴当时，的值为或；故①正确； 当时，即， ∴a、b异号，即，或，， ∴或； ∴当时，的值为；故②正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴． ∴的值为．故③不正确； ∵，则 ∴， ∴a、b、c中有3个负数或一负两正， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有一负两正时，； ∴的值为或；故④正确； ∵， ∴a、b、c中一负两正或一正两负， 当a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴ 当a、b、c中一正两负， 不妨设, ∴ ∴的所有可能的值为，故⑤正确， 故正确的有①②④⑤， 故选：C． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $