精品解析：广东省揭阳市惠来县2020—2021学年上学期八年级数学期中试卷

广东省揭阳市惠来县2020—2021学年上学期八年级数学期中试卷 说明： 1．全卷共4页，满分120分，考试用时90分钟． 2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号、考场号、考场座号，填写在答题卡相应位置上，并用2B铅笔在答题卡“考场号”、“考场座号”栏涂上自己的考场号和考场座号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 按下列各组数据能组成直角三角形的是（　　） A. 11，15，13 B. 1，4，5 C. 8，15，17 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】能不能组成直角三角形, 需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方,按此验算即可. 【详解】解: A、,故不能组成直角三角形; B,,故不能组成直角三角形; C,故能组成直角三角形; D、,故不能组成直角三角形; 故选C. 【点睛】解答此题要用到勾股数的定义, 及勾股定理的逆定理: 已知△ABC的三边满足, 则△ABC是直角三角形. 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限点的坐标符号规律即可直接判断． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， 又∵点的横坐标，纵坐标，符合第四象限点的坐标特征， ∴点位于第四象限． 3. 关于函数y=-2x+1，下列结论正确的是( ) A. 图象必经过(-2，1) B. y随x的增大而增大 C. 图象经过第一、二、三象限 D. 当x时，y0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图象和性质依次判断即可． 【详解】解：A、把代入函数y=-2x+1中，，故图象不经过(-2，1)，不符合题意； B、函数y=-2x+1，，y随x的增大而减小，不符合题意； C、函数y=-2x+1，，，图象经过第一、二、四象限，不符合题意； D、函数y=-2x+1， 当x时，，， 所以y0，符合题意； 故选D． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握性质是本题的关键． 4. 如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 处， 旗杆折断之前的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出的长，再由旗杆折断之前的高度是求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， 米， 旗杆折断之前的高度是18米， 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意并能灵活运用知识是解题的关键． 5. 已知点A的坐标为，点A关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标．利用关于x轴的对称点的坐标特点“横坐标不变，纵坐标互为相反数”可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴点A关于x轴的对称点的坐标为， 故选：D． 6. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算以及二次根式的性质，根据二次根式的除法，加减法的运算逐一计算各项作出判断即可． 【详解】解：A、，故计算正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、，故计算错误，不符合题意， 故选：A． 7. 下列各数中，最小的是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数的大小比较方法解答即可. 【详解】∵， ∴<<0<2， 故选D. 【点睛】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小. 8. 一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象得出一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标的横坐标，即可得出方程的解． 【详解】解：∵从图象可知：一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是(﹣2，0)， ∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用kx+b=0解答． 9. 如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋（甲）的坐标为黑棋（乙）的坐标为，则白棋（甲）的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用已知两点的坐标画出直角坐标系，然后可写出白棋（甲）的坐标． 【详解】解：根据题意可建立如图所示平面直角坐标系： 由坐标系知白棋（甲）的坐标是 ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查根据题意建立平面直角坐标系，且求出所画的平面直角坐标系中点的坐标，关键是能够根据题意建立适当的坐标系． 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线，则下列图象中可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，先看一条直线，得出k和b符号，然后再判断另外一条直线是否正确，进而可得答案． 【详解】A、反映，，反映，，故本选项错误； B、反映，，反映，，故本选项正确； C、反映，，反映，，故本选项错误； D、两条直线交于y轴同一点，则，与已知不符，故本选项错误； 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共28分） 11. 9的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 12. 直角坐标系中，点在第二象限，且到轴，轴距离分别为，，则点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标． 【详解】解：点位于第二象限， 点的横坐标为负数，纵坐标为正数， 点距离轴个单位长度，距离轴个单位长度， 点的纵坐标为，横坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负． 13. 最简二次根式与是同类二次根式，则m＝__． 【答案】4 【解析】 【分析】由同类二次根式的定义可得：，解方程可得答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴． ∴m＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，最简二次根式的含义，一元一次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． 14. 若正比例函数随的增大而减小，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义及性质，正比例函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．根据正比例函数的定义和性质，即可求解． 【详解】解：由题意得， 且， 解得， 故答案为：3． 15. 如图，一只蚂蚁沿着边长为的正方体表面从顶点出发，经过个面爬到顶点，如果它运动的路径是最短的，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图，勾股定理，两点之间线段最短；根据题意画出正方体的展开图，由两点之间线段最短可找出最短路径，由勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短， ； 故答案：． 16. 如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为，求的面积为：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边，先由折叠的性质和矩形的性质推出，得到，设，则，，利用勾股定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵长方形纸片中，， ∴， ∵将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴上，点分别在直线上，，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，此题是一道规律型的试题，锻炼了学生归纳总结的能力，以数学结合思想灵活运用等腰直角三角形的性质是解本题的关键． 根据，是等腰直角三角形，得到和的横坐标为1，根据点在直线上，得到点的纵坐标，结合为等腰直角三角形，得到和的横坐标为，同理：和的横坐标为，和的横坐标为，依此类推，即可得到点的横坐标． 【详解】解：根据题意得：和的横坐标为1， 把代入得：， ∴的纵坐标为1，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴和的横坐标为， 同理：和的横坐标为， 和的横坐标为， 依此类推…… 则的横坐标为，纵坐标为0， ∴的横坐标为，纵坐标为0， 即点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 19. 已知点P(m＋2，3)，Q(−5，n−1)，根据以下条件确定m、n的值 （1）P、Q两点在第一、三象限的角平分线上； （2）PQ∥x轴，且P点与Q点的距离为3． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）根据平面直角坐标系中角平分线上点的特征，x和y的值相等，可列等式即可求出答案； （2）由PQ∥x轴，即点P和Q纵坐标有相等，列出等式即可求解即可计算出n的值，又P与Q的距离为3．直线上到一点距离等于定长的点又2个，根据绝对值的意义可列等式，化简即可计算出m的值． 【详解】解：（1）∵P、Q两点在第一、三象限角平分线上， ∴m+2=3，n1=5， 解得m=1，n=4； （2）∵PQ∥x轴， ∴n1=3， ∴n=4， 又∵PQ=3， ∴|m+2（5）|=3， 解得m=4或m=10． ∴m=4或10，n=4． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的特征，利用点的特征列出相应的等量关系是解决本题的关键． 20. 已知矩形ABCD的周长为20，AB的长为y，BC的长为x． （1）写出y关于x的函数解析式（x为自变量）； （2）当x＝3时，求y的值． 【答案】（1）y＝10﹣x；（2）7． 【解析】 【分析】（1）根据矩形周长公式得到x与y的关系，进而得到y关于x的函数解析式； （2）把x＝3代入（1）中解析式即可． 【详解】解：（1）依题意得2x+2y＝20， 即y＝10﹣x， ∴y关于x的函数解析式为y＝10﹣x． （2）把x＝3代入y＝10﹣x，得： y＝10﹣3＝7， ∴x＝3时，y的值为7． 【点睛】本题考查一次函数解析式，以及函数的值；根据矩形的周长公式得到x与y的关系是解题关键． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，3），按要求回答下列问题： （1）在图中建立正确的平面直角坐标系，写出点B和点C的坐标； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）点B的坐标是（﹣3，﹣1），点C的坐标为（1，1）；（2）5． 【解析】 【分析】（1）根据点A的坐标为（0，3），得出原点的位置，进而建立正确的平面直角坐标系；根据平面直角坐标系直接得出点B和点C的坐标； （2）借助网格图得出各个边的长度，即可算出周长，根据各边长度的关系，证得△ABC是直角三角形，即可求出面积. 【详解】解：（1）如右图所示， 点B的坐标是（﹣3，﹣1），点C的坐标为（1，1）； （2）由图可得， △ABC的面积是：4×4﹣=5． 【点睛】本题考查平面直角坐标系的相关概念和面积计算，学会综合运用是关键. 22. 如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°． （1）连接AC，求证：△ACD是直角三角形； （2）求△ACD中AD边上的高． 【答案】 （1）证明：如图连接AC，在Rt△ABC中， AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25， ∴AC＝5， ∵CD＝12，AD＝13， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴△ACD是直角三角形； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状； （2）过点C作CH⊥AD于点H，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点C作CH⊥AD于点H， 则S△ACDAD×CHAC×CD， ∴13×CH5×12， ∴CH． ∴△ACD中AD边上的高为． 【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键，难度适中． 23. 一次函数与x轴交于E（-2,0），与y轴交于点A．与x轴交于B(2,0)，与y轴交于点D（0,-4）．它们的图象如图所示，请依据图象回答以下问题： （1）a＝ 　 （2）确定的函数关系式 （3）求△ABC的面积 【答案】（1）；（2）y=2x-4；（3） 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数求解即可得； （2）根据点利用待定系数法求解即可； （3）先根据（1）得出的函数关系式，从而可得点A坐标，再联立求出点C坐标，然后根据的面积等于的面积减去的面积即可得． 【详解】（1）由题意，将点代入一次函数得 解得； （2）将点代入一次函数得 解得 故的函数关系式为； （3）由（1）可知，的函数关系式为 令得，即点A坐标为 联立得 解得，即交点C坐标为 由点可知，，边AD上的高为 则 故的面积为． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式、一次函数的几何应用，较难的是题（3），将的面积看作两个三角形的面积之差是解题关键． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分） 24. 阅读下列解题过程： == == …… （1）化简： （2）观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子=_________． （3）利用这一规律计算：（+…+）（ 【答案】(1) ； (2) ； (3)2019； 【解析】 【分析】(1)根据第一第二个式子化简，即可得到答案； (2)观察上面的式子，对分母进行有理化，即可得到答案； (3)利用(2)得到的规律化简，再用平方差公式展开，即可得到答案； 【详解】解：(1) ； (2) ， 故答案是：； (3)根据上述规律得到： （+…+）（ = = =2020-1 =2019． 【点睛】本题主要考查规律题，涉及了分母有理化以及平方差公式，能从题目已给出的例子发现规律是解题的关键． 25. 如图，△ABC中，，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值； （2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值； （3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形． 【答案】（1） （2）满足条件的t的值为或6． （3）当，5，或时，△BCP为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）设存在点P，使得PA=PB，此时PA=PB=2t，，根据勾股定理列方程即可得到结论； （2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时根据勾股定理列方程，结合P，A重合即可得到结论； （3）在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AC=4cm，根据题意得：AP=2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，得到PC=BC，即，求得，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，若CP=PB，点P在BC的垂直平分线上，如图，过P作PE⊥BC于E，求得，若PB=BC，即，解得t=5，③PC=BC，如图，过C作CF⊥AB于F，利用等面积法与勾股定理求解，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，∵ ∴ 设存在点P，使得PA=PB， 此时PA=PB=2t，PC=4-2t， 在Rt△PCB中，， 即： ， 解得：， ∴当时，PA=PB； 【小问2详解】 当点P在∠BAC的平分线上时，如图， 过点P作PE⊥AB于点E，， 此时 ∵ ∴ 在Rt△BEP中，， 即：， 解得：， ∴当时，P在△ABC的角平分线上， 当点P运动到点A时，也符合题意，此时t=6， 综上所述，满足条件的t的值为或6． 【小问3详解】 在Rt△ABC中，∵AB=5cm，BC=3cm， ∴AC=4cm， 根据题意得：AP=2t， 当P在AC上时，△BCP为等腰三角形， ∴PC=BC，即， ∴， 当P在AB上时，△BCP为等腰三角形， ①CP=PB，点P在BC的垂直平分线上， 如图， 过P作PE⊥BC于E， ∴ ∴ ∴ ∴ 即，解得：， ②PB=BC，即， 解得：t=5， ③PC=BC，如图，过C作CF⊥AB于F， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当，5，或时，△BCP为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，线段的垂直平分线的应用，勾股定理的应用，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省揭阳市惠来县2020—2021学年上学期八年级数学期中试卷 说明： 1．全卷共4页，满分120分，考试用时90分钟． 2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号、考场号、考场座号，填写在答题卡相应位置上，并用2B铅笔在答题卡“考场号”、“考场座号”栏涂上自己的考场号和考场座号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 按下列各组数据能组成直角三角形的是（　　） A. 11，15，13 B. 1，4，5 C. 8，15，17 D. 4，5，6 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 关于函数y=-2x+1，下列结论正确的是( ) A. 图象必经过(-2，1) B. y随x的增大而增大 C. 图象经过第一、二、三象限 D. 当x时，y0 4. 如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 处， 旗杆折断之前的高度是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点A的坐标为，点A关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各数中，最小的是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 8. 一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋（甲）的坐标为黑棋（乙）的坐标为，则白棋（甲）的坐标是（　　） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线，则下列图象中可能正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共28分） 11. 9的算术平方根是_____． 12. 直角坐标系中，点在第二象限，且到轴，轴距离分别为，，则点坐标为________． 13. 最简二次根式与是同类二次根式，则m＝__． 14. 若正比例函数随的增大而减小，则的值是______． 15. 如图，一只蚂蚁沿着边长为的正方体表面从顶点出发，经过个面爬到顶点，如果它运动的路径是最短的，则的长为______． 16. 如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为，求的面积为：________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴上，点分别在直线上，，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标为______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18. 计算： 19. 已知点P(m＋2，3)，Q(−5，n−1)，根据以下条件确定m、n的值 （1）P、Q两点在第一、三象限的角平分线上； （2）PQ∥x轴，且P点与Q点的距离为3． 20. 已知矩形ABCD的周长为20，AB的长为y，BC的长为x． （1）写出y关于x的函数解析式（x为自变量）； （2）当x＝3时，求y的值． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，3），按要求回答下列问题： （1）在图中建立正确的平面直角坐标系，写出点B和点C的坐标； （2）求△ABC的面积． 22. 如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°． （1）连接AC，求证：△ACD是直角三角形； （2）求△ACD中AD边上的高． 23. 一次函数与x轴交于E（-2,0），与y轴交于点A．与x轴交于B(2,0)，与y轴交于点D（0,-4）．它们的图象如图所示，请依据图象回答以下问题： （1）a＝ 　 （2）确定的函数关系式 （3）求△ABC的面积 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分） 24. 阅读下列解题过程： == == …… （1）化简： （2）观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子=_________． （3）利用这一规律计算：（+…+）（ 25. 如图，△ABC中，，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值； （2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值； （3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $