精品解析：广西南宁市青秀区南宁市三美学校2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

南宁市三美学校2025年秋季学期暑假综合素质评价 初三数学 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 数据众数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 平行四边形具有的性质是( ) A. 四边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 四个角都是直角 5. 下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是（ ） A. 1.5，2，3 B. 7，24，25 C. 6，8，10 D. 3，4，5 6. 如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取，的中点C，D，量得，则A，B之间的距离是（ 　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，点D是中点，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 10. 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个实数根 11. 如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. 12. 如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ） A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 15米 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 函数中，自变量的取值范围是__. 14. 在某项考核中，最终考核成绩（百分制）由研究性学习成绩与卷面成绩组成，其中研究性学习成绩占60%，卷面成绩占40%，小明的这两项成绩依次是90分和85分，则小明的最终考核成绩是___________分． 15. 在平面直角坐标系中，一次函数（）与（）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______. 16. 如图，、分别是平行四边形边、上的点，与相交于点，与相交于点，若S△APD=15cm2，，则阴影部分的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算； （2）解方程． 18. 某校在11月9日消防日当天，组织七、八年级学生开展了一次消防知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息可以求出：______，______，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）该校七、八年级共有1200人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 19. 下面是对函数和的图象和性质的研究，完成下列探索过程： （1）补全下表： … 0 1 2 3 4 5 … … 4 2 ___ ____ ___ ___ 4 … … 0 1 2 3 4 … （2）根据上表，在平面直角坐标系中描出各点，分别画出函数与的图象； （3）根据函数图象填空： ①函数的最小值为____； ②当时，的值为______． 20. 如图，在中，AEBC于点E，延长BC至点F，点使，连接AF、DE、DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若，，DE=8，求AE的长． 21 某书店计划同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元． （1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划恰好用4500元全部购进这两类图书，设购进A类图书x本，B类图书y本． ①求y关于x的关系式． ②进货时，A类图书购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元．若书店全部售完可获利w元，求w关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 22. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）若点P运动到B的中点时，t的值是_______； （2）4秒内，若，求的长； （3）当为直角三角形时，求t的值． 23. 如图，在矩形中，，为边上的一动点（不与点重合），连接，作点关于直线的对称点，作射线交边于点． （1）如图1，当点与点重合时，作交于点． ①求证：四边形为菱形； ②求线段的长． （2）当时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市三美学校2025年秋季学期暑假综合素质评价 初三数学 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，解决本题的关键是根据最简二次根式的定义进行判断 ． 【详解】解：A、被开方数中不含分母，不含能开的尽方的因数，是最简二次根式，故A选项符合题意； B、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C、中的能开的尽方，不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D、可以写成，其中的能开的尽方，不是最简二次根式，故D选项不符合题意． 故选：A． 2. 数据的众数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义，根据众数的定义直接解答即可，掌握众数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵数据中出现的次数最多， ∴众数为， 故选：C． 3. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，根据二次函数的定义“形如（为常数，且）的函数叫做二次函数”进行判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是二次函数，符合题意； 、是一次函数，不合题意； 、是反比例函数，不合题意； 、是正比例函数，不合题意； 故选：． 4. 平行四边形具有的性质是( ) A. 四边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 四个角都是直角 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质进行分析即可. 【详解】平行四边形的两组对边分别相等，故A选项错误； 平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，故B选项错误，C选项正确， 平行四边形的两组对角分别相等，故D选项错误， 故选C. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的边、角、对角线具有的性质是解题的关键. 5. 下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是（ ） A. 1.5，2，3 B. 7，24，25 C. 6，8，10 D. 3，4，5 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由勾股定理的逆定理可知，如果三角形的三边长a、b、c（其中c为最长边）满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，据此作答． A、∵，∴以1.5，2，3为边的三角形不是直角三角形； B、∵，∴以7，24，25为边的三角形是直角三角形； C、∵，∴以6，8，10为边的三角形是直角三角形； D、∵，∴以3，4，5为边的三角形是直角三角形． 故选A． 考点：本题考查的是直角三角形的判定 点评：利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①确定三角形的最长边；②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等．若相等，则此三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形． 6. 如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取，的中点C，D，量得，则A，B之间的距离是（ 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，准确理解计算是解题的关键． 根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】∵，的中点，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7. 如图，在中，，点D是的中点，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，点D是的中点， ∴， 故选：B． 8. 已知点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数值大小的比较，一次函数的性质；利用一次函数的增减性即可求解． 【详解】解：，且， ， 故选：C． 9. 如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形面积的计算，已知对角线长度，由菱形面积等于对角线乘积的一半做计算即可． 【详解】解：，， ． 故选：B． 10. 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，根据得出，即可作答． 【详解】解：∵方程， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 11. 如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，再利用ASA证明△AOE≌△BOF，从而可得△AOE的面积＝△BOF的面积，进而可得四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积，问题即得解决． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴△AOE的面积＝△BOF的面积， ∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1； 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 12. 如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ） A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 15米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 函数中，自变量的取值范围是__. 【答案】x2 【解析】 【分析】根据自变量的取值范围，函数关系中要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数． 【详解】解：根据题意得：2x-4≥0， 解得x≥2． 故答案为x≥2． 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 14. 在某项考核中，最终考核成绩（百分制）由研究性学习成绩与卷面成绩组成，其中研究性学习成绩占60%，卷面成绩占40%，小明的这两项成绩依次是90分和85分，则小明的最终考核成绩是___________分． 【答案】88 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法求解． 【详解】解：小明的最终考核成绩是分， 故答案为：88． 【点睛】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，一次函数（）与（）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】由在上方的函数图象对应的函数值较大，进行判断即可． 【详解】解：由函数图象得 在直线的右侧，的图象在图象的上方， ， 即：， ， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组，掌握利用函数图象解不等式组的方法是解题的关键． 16. 如图，、分别是平行四边形的边、上的点，与相交于点，与相交于点，若S△APD=15cm2，，则阴影部分的面积为______． 【答案】40 【解析】 【分析】连接EF，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCQ，S△EFD=S△ADF，所以S△EFG=S△BCQ，S△EFP=S△ADP，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△ADP， ∵S△APD=15cm2，S△BQC=25cm2， ∴S四边形EPFQ=40cm2， 故答案为：40． 【点睛】本题综合性较强，主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算； （2）解方程． 【答案】（1）0 （2），． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式化简与乘法运算、一元二次方程的求解，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则及最简二次根式性质，熟练运用因式分解法解一元二次方程（二次根式运算可灵活选择是否先化简，以简化计算）． （1）可先将化为最简二次根式，再算后作差；或直接用二次根式乘法法则算得，再与原式中作差，快速得结果； （2）对方程左边提取公因式，将一元二次方程化为两个一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：； （2）解：， ， 则或， 解得：，． 18. 某校在11月9日消防日当天，组织七、八年级学生开展了一次消防知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 138 （1）根据以上信息可以求出：______，______，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）该校七、八年级共有1200人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）9，10；补全统计图见解析 （2）七年级更好，理由见解析 （3）估计七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有720人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数众数，方差，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据中位数的定义可确定的值；根据众数的定义可确定的值；先求出七年级等级的人数，再将七年级竞赛成绩统计图补充完整即可； （2）根据平均分，中位数，众数，方差的意义回答即可； （3）分别将样本中七、八年级优秀所占比例乘以1200即可作出估计． 【小问1详解】 解：七年级成绩由高到低排在第13位的是等级9分， ， 八年级等级人数最多， ， 故答案为：9，10； 七年级成绩等级人数为：（人， 七年级竞赛成绩统计图补充完整如下： 【小问2详解】 解：七年级更好， 理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好． 【小问3详解】 解：（人， 答：估计七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有720人． 19. 下面是对函数和的图象和性质的研究，完成下列探索过程： （1）补全下表： … 0 1 2 3 4 5 … … 4 2 ___ ____ ___ ___ 4 … … 0 1 2 3 4 … （2）根据上表，在平面直角坐标系中描出各点，分别画出函数与的图象； （3）根据函数图象填空： ①函数的最小值为____； ②当时，的值为______． 【答案】（1）； （2）见解析 （3）①；②或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解题的关键． （1）分别把、、、代入函数解析式，求出的对应值即可； （2）根据表格中、对应值，画出函数图象即可； （3）①根据函数图象可直接得出结论； ②根据两函数的图象可直接得出结论． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，． 当时，； 当时，． 故答案为：； 【小问2详解】 解：函数图象如图所示； 【小问3详解】 解：①由函数图象可知，函数的最小值为 ． 故答案为：； ②由函数图象可知，当时，的值为或． 故答案为：或． 20. 如图，在中，AEBC于点E，延长BC至点F，点使，连接AF、DE、DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若，，DE=8，求AE的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可． （2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长． 【详解】解答： (1)证明：∵CF=BE， ∴CF+EC=BE+EC 即 EF=BC. ∵在▱ABCD中,AD∥BC且AD=BC， ∴AD∥EF且AD=EF. ∴四边形AEFD是平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEF=90∘. ∴四边形AEFD是矩形； (2)∵四边形AEFD是矩形，DE=8， ∴AF=DE=8. ∵AB=6，BF=10， ∴. ∴∠BAF=90°. ∵AE⊥BF， ∴△ABF的面积= AB⋅AF= BF⋅AE. ∴. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质等知识，解题关键是熟练掌握这些知识的应用. 21. 某书店计划同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元． （1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划恰好用4500元全部购进这两类图书，设购进A类图书x本，B类图书y本． ①求y关于x的关系式． ②进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元．若书店全部售完可获利w元，求w关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）A类图书36元/本，B类图书45元/本 （2）①；②当购进A类图书60本，B类图书52本可获得最大利润380元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，列出方程和不等式组，建立函数关系式是求解本题的关键． （1）设A类图书每本a元，B类图书每本b元，根据题意建立二元一次方程组求解． （2）①根据用4500元全部购进两类图书可求出函数关系式． ②先求w与x的函数关系式，再根据函数性质求最值． 【小问1详解】 解：设A类图书每本a元，B类图书每本b元，由题意得： ， 解：． 答：A类图书36元/本，B类图书45元/本． 【小问2详解】 解：①∵用4500元全部购进两类图书， ∴， ∴， ②由题意得： ， ∵，， ∴． ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，（元）， （本）． ∴当购进A类图书60本，B类图书52本可获得最大利润380元． 22. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）若点P运动到B的中点时，t的值是_______； （2）4秒内，若，求的长； （3）当为直角三角形时，求t的值． 【答案】（1）2 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再求出，最后根据时间=路程÷速度，即可求解； （2）连接，根据，，得出，根据勾股定理可得，列出方程，求出t的值，即可得出； （3）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，即可解答． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴根据勾股定理可得：， 当点P运动到B的中点时，， ∴， 故答案为：2． 小问2详解】 解：当点P到达点C时，， ∴4秒内，点P在线段上， 连接， ∵，， ∴， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：①当时，点P和点C重合， ， ②当时，点P在线段延长线上， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， ∴，解得：， 综上：或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形． 23. 如图，在矩形中，，为边上的一动点（不与点重合），连接，作点关于直线的对称点，作射线交边于点． （1）如图1，当点与点重合时，作交于点． ①求证：四边形为菱形； ②求线段的长． （2）当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）①证明见解析；② （2）线段的长是3或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、菱形的判定定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用轴对称性质将对称点的线段（如、）和角（如）进行转化，结合矩形对边平行且相等、内角为直角的性质，灵活运用勾股定理计算线段长度，同时在小问2中注意根据对称点B'的位置进行分类讨论． （1）①先根据矩形对边平行（）和已知，证得四边形AFPE是平行四边形；再由轴对称性质得，结合矩形内错角相等（），推出，进而得；最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，证得四边形为菱形． ②由矩形边长得、，设，则；在中，利用勾股定理（）列方程，求解得的长． （2）先由轴对称得、，结合矩形性质推出；根据算出，在中用勾股定理求；再分两种情况：①在矩形内部时，，则；②在矩形外部时，，则． 【小问1详解】 ①证明：如图1，连接， ∵四边形是矩形，点P与点C重合， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵点B与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴线段的长是． 【小问2详解】 当点落在矩形内部时，如图2， ∵点B与点关于直线对称， ∴是连接的线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ， ∴； 当点落在矩形外部时，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 综上所述，线段的长是3或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $