第23章 图形的相似（高效培优单元测试·强化卷）数学华东师大版九年级上册

第23章 图形的相似（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（本题3分）如图，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图所示，网格中相似的两个三角形是．（填序号）（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 4．（本题3分）如图，在中，点D是的中点，点P为边上一个动点，在下列条件中，不能使与相似的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，，相交于点，点，，，都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，直线与相交于点G，若，，则=（   ） A．1 B． C． D． 7．（本题3分）下列说法正确的是（    ） A．两个三角形的面积比是，则这两个三角形对应中线的比也是 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．若一个四边形的中点四边形是菱形，则这个四边形必是矩形 D．一元二次方程有两个不相等的实数根 8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到，则点A的对应点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．（本题3分）如图，是的斜边上异于、的一点，过点作直线截，使截得的三角形与相似，则过点满足这样条件的直线最多有（   ）条． A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，和均为等边三角形，点在边上，连接并延长交于点，连接．则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（本题3分）已知，则的值为 12．（本题3分）已知：线段，点C是的黄金分割点，则 ． 13．（本题3分）如图，与关于点位似，已知，则与的面积比为 ． 14．（本题3分）如图，在中，D是上一点，于点E，点F是的中点，若，则的长为 ． 15．（本题3分）有一个侧面为梯形的容器，高为8cm，内部倒入高为6cm的水．将一根长为18cm的吸管如图放置，若有2cm露出容器外，则吸管在水中部分的长度为 cm． 16．（本题3分）已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为 ． 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分）如图，在中，，是边上高，若，． (1)求证：； (2)求的长． 18．（本题8分）如图，四边形是的内接矩形，是的高，，，求矩形的周长． 19．（本题10分）已知，在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别是，正方形网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度． (1)画出向左平移4个单位长度得到的，点的坐标是　　； (2)以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是　　；（画出图形） (3)的面积是　　平方单位． 20．（本题10分）图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．分别在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺按要求画图（不要求写出画法，但要保留必要的痕迹） (1)在图①中，过点画直线． (2)在图②中，过点画直线． (3)在图③中，在边上取一点，使得 21．（本题10分）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明想利用相关数学知识测量这个路灯的高．如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为（点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），小明测得窗户距离地面高度，窗高，，，其中、、、四点在同一条直线上，、、三点在同一条直线上，且，．求出路灯的高度． 22．（本题12分）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 23．（本题14分）在平行四边形中，，分别为边，上两点． (1)当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； (2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 图形的相似（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（本题3分）如图，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ， 故选：A． 2．（本题3分）若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例尺，用到的知识点是比例的性质，解题的关键是根据性质列出方程，注意单位的换算．设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得，求出的值，再把单位换算为即可． 【详解】解：设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得： ，解得， ． 故选：D． 3．（本题3分）如图所示，网格中相似的两个三角形是．（填序号）（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，求出所有三角形的边长是解题的关键． 先求出所有三角形的边长，由相似三角形的判定可求解． 【详解】解：图形①的三边为：； 图形②的三边为：； 图形③的三边为：； 图形④的三边为：， ∵， ∴①与③相似， 故网格中相似的两个三角形是①③． 故选：B． 4．（本题3分）如图，在中，点D是的中点，点P为边上一个动点，在下列条件中，不能使与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，准确掌握和熟练的应用相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据图形可得，结合相似三角形的判定依据，只需从两个三角形中再找另一组角相等或者是这组相等角的夹边成比例，可得三角形相似来解决问题． 【详解】解：A、∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴，故不符合题意； B、∵，， ∴，故不符合题意； C、∵，， ∴，故不符合题意； D、两边对应成比例，但是夹角不相等，故不能证明相似，符合题意， 故选：D． 5．（本题3分）如图，，相交于点，点，，，都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的性质是解答本题的关键． 延长到点使，与格线交于点，连接，，利用网格特征得到，，再证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：延长到点使，与格线交于点，连接，， 则，， ， ， ， 故选：C． 6．（本题3分）如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，直线与相交于点G，若，，则=（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应线段列出比例式是解题的关键．由，，不妨设，，，再根据平行线分线段成比例定理可得，即可得解． 【详解】解：由，，不妨设，，， 故选：C． 7．（本题3分）下列说法正确的是（    ） A．两个三角形的面积比是，则这两个三角形对应中线的比也是 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．若一个四边形的中点四边形是菱形，则这个四边形必是矩形 D．一元二次方程有两个不相等的实数根 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，矩形的判定，中点四边形，根的判别式，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形对应中线的比为，原说法错误，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，符合题意； C、若一个四边形的中点四边形是菱形，则这个四边形的对角线相等，不一定是矩形，原说法错误，不符合题意； D、，故一元二次方程没有实数根，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到，则点A的对应点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似图形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，点A的坐标为， ∴点A的对应点A′的坐标为或，即或， 故选：D． 9．（本题3分）如图，是的斜边上异于、的一点，过点作直线截，使截得的三角形与相似，则过点满足这样条件的直线最多有（   ）条． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由于是直角三角形，过点作直线截，则截得的三角形与有一个公共角，故只要再作一个直角即可使截得的三角形与相似，由此作图即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由于是直角三角形，过点作直线截，则截得的三角形与有一个公共角，故只要再作一个直角即可使截得的三角形与相似， 如图，过点可作的垂线、的垂线、的垂线，共条直线， 故选：C． 10．（本题3分）如图，和均为等边三角形，点在边上，连接并延长交于点，连接．则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合等边三角形的性质不难求得，则有，从而可求得，即可求得，则A正确；不难求得，则有，从而可判断B正确；只有当时，即，重合时，，，，此时，其它情况不成立，故C错误；首先证得，，，，从而得，故D正确． 【详解】解：和均为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ，故A正确； ，， ， ， ，故B正确； ，，， 只有当时，即，重合时，，，此时，其它情况不成立，故C错误； ， ， ， ， ， ，， ，故D正确． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，等边三角形的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角，边与边之间的关系． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（本题3分）已知，则的值为 【答案】2 【分析】此题考查了比例的性质．设，则，，，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴，，， ∴， 故答案为：2． 12．（本题3分）已知：线段，点C是的黄金分割点，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义和二次根式的运算，解题的关键是掌握黄金分割点的定义． 利用黄金分割点的定义进行求解即可． 【详解】解：∵C为线段的黄金分割点， 则, 或； 故答案为：或． 13．（本题3分）如图，与关于点位似，已知，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．先根据位似图形的概念求出与关的相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方解题即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵与关于点位似， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 14．（本题3分）如图，在中，D是上一点，于点E，点F是的中点，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要利用等腰三角形的性质和三角形中位线定理来求解的长度．首先，根据等腰三角形的性质确定；然后，利用三角形中位线定理计算的长度． 【详解】 又 ∴是的中位线， 故答案为：5. 15．（本题3分）有一个侧面为梯形的容器，高为8cm，内部倒入高为6cm的水．将一根长为18cm的吸管如图放置，若有2cm露出容器外，则吸管在水中部分的长度为 cm． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质等相关知识点，掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的判定得到，再利用相似三角形的对应边成比例即可得到的长． 【详解】解∶过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴设，则， ∵的高为∶， ∴， ∴， ∴解得：， 故答案为：12． 16．（本题3分）已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】3.75 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例．利用三角形相似可求出阴影部分的面积．根据，可将的长求出，由的长可将的长求出，同理根据，可将的长求出，由的长可将的长求出，代入梯形的面积公式可将阴影部分的面积求出． 【详解】解：如图， ∵,, ， 即， 解得： 同理可得： ， 即， 解得： 梯形的面积为： 故图中阴影部分面积为3.75． 故答案为：3.75 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分）如图，在中，，是边上高，若，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过寻找两个三角形中相等的角，利用两角分别相等来证明相似． （2）先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形面积的两种不同表示方法，建立等式求出的长． 本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定定理和利用面积法求高是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 18．（本题8分）如图，四边形是的内接矩形，是的高，，，求矩形的周长． 【答案】 【分析】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 设交于点L，由，得，由证明，而，则，可证明，由相似三角形的性质求出的长，进而求出的长，周长公式求出矩形的周长即可． 【详解】解：设交于点L， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，且点D、G分别在上，边在边上， ∴，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即： 解得， ∴，， ∴， ∴矩形的周长为． 19．（本题10分）已知，在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别是，正方形网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度． (1)画出向左平移4个单位长度得到的，点的坐标是　　； (2)以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是　　；（画出图形） (3)的面积是　　平方单位． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3)10 【分析】本题主要考查了平移变换、位似变换以及坐标与图形的性质，得出对应点位置是解题关键． （1）将点分别向左平移4个单位得到对应点，再顺次连接可得； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案； （3）割补法求解可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标是， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求，点的坐标是， 故答案为：； （3）解：的面积， 故答案为：10； 20．（本题10分）图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．分别在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺按要求画图（不要求写出画法，但要保留必要的痕迹） (1)在图①中，过点画直线． (2)在图②中，过点画直线． (3)在图③中，在边上取一点，使得 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】本题考查的是格点作图，平移的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质； （1）把向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到点，作直线即可； （2）取格点，作直线交于即可； （3）取格点，连接，交于即可． 【详解】（1）解：如图①中，直线即为所求； （2）解：如图②中，直线即为所求； 理由如下： 由网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （3）解：如图，点即为所求； 理由如下： 由网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∴. 21．（本题10分）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明想利用相关数学知识测量这个路灯的高．如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为（点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），小明测得窗户距离地面高度，窗高，，，其中、、、四点在同一条直线上，、、三点在同一条直线上，且，．求出路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：，， ， 又， ，， ， 即，， 解得：， 答：路灯的高度为． 22．（本题12分）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【详解】（1）证明：在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （2）证明：连接交于点，如图所示： 在矩形中，，则， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键． 23．（本题14分）在平行四边形中，，分别为边，上两点． (1)当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； (2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①延长交于H，可证明，得到，则可证明，得到，则； ②如图所示，延长交于M，由平行四边形的性质得到，，证明，，得到，，则；设，则，，进而可得，即可得到；可证明，，设，则，则，据此可得答案； （2）延长交于M，由平行四边形的性质可得，，证明，，再证明，得到，求出，设，则由相似三角形的性质可得，，进而可得；再由，得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图所示，延长交于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵是边中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴，， 设，则， ∴， ∴； （2）解；如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴，即 ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴，解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $