21.3 实际问题与一元二次方程 传播问题 课件 2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦传播问题与一元二次方程的应用，以流感传染为情境导入，通过设未知数、列方程、解方程并检验的完整流程，引导学生从具体生活现象中抽象出数学模型，建立“起始量×(1+x)ⁿ”的递推关系，形成由浅入深的学习支架，有效衔接了代数运算与实际问题解决。 其亮点在于紧扣新课标核心素养，突出数学眼光中的抽象能力与几何直观，如用表格梳理每轮传染人数变化，帮助学生发现规律；强化数学思维中的推理意识，例如在例2中分步验证4轮后是否超7000台电脑，体现逻辑严谨性；注重数学语言表达的实际应用，如将握手问题转化为组合公式x(x−1)/2=240，提升建模意识。教学设计结构清晰，环节层层递进，既利于学生理解数量关系的本质，也便于教师高效组织课堂，实现知识迁移与能力培养的双重目标。

传播问题 学习内容 一、知识讲解与训练 讲授新课 引例：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析 ：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源记作小明，其传染示意图如下： 合作探究 传播问题与一元二次方程 第2轮 ••• 小明 1 2 x 第1轮 第1轮传染后人数 x+1 小明 第2轮传染后人数 x(x+1)+x+1 注意：不要忽视小明的二次传染 x1= , x2= . 根据示意图，列表如下： 解方程,得 答:平均一个人传染了________个人. 10 -12 (不合题意,舍去) 10 解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人. (1+x)2=121 注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验. 传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数 1 1+x=(1+x)1 1+x+x(1+x)=(1+x)2 想一想：如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感? 第2种做法 以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331人. 第一轮传染后的人数 第二轮传染后的 人数 第三轮传染后的 人数 (1+x)1 (1+x)2 分析 第1种做法 以1人为传染源,3轮传染后的人数是: (1+x)3=(1+10)3=1331人. (1+x)3 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第一轮 1 1∙x=x 1+x 第二轮 1+x (1+x)x 1+x+(1+x)x= 第三轮 第n轮 思考：如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多少人患了流感？ (1+x)2 (1+x)n (1+x)3 经过n轮传染后共有 (1+x)n 人患流感. (1+x)2 (1+x)2∙x (1+x)2+(1+x)2∙x= 例1：某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支? 主干 支干 支干 …… 小分支 小分支 …… 小分支 小分支 …… …… x x x 1 解:设每个支干长出x个小分支, 则 1+x+x2=91 即 解得, x1=9,x2=－10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出9个小分支. 8 交流讨论 1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？ 每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染. 2.解决这类传播问题有什么经验和方法？ （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）可利用表格梳理数量关系； （3）关注起始值、新增数量，找出变化规律. 方法归纳 建立一元二次方程模型 实际问题 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 设未知数 分析数量关系 例2：某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？ 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则 1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100. 解得 x1＝9，x2＝－11(舍去)．∴x＝9. 4轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7000. 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台． 1.电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑. 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑； 第三轮感染中，被感染的电脑台数不会超过700台. 解得x1=19 或 x2=-21 (舍去) 依题意 60+60x+60x (1+x) =2400 60 (1+x)2 =2400 巩固练习 例2　在某足球世界杯小组赛中，每两队之间要进行一场比赛，若小组赛共进行了6场比赛，则该小组有_____支球队． 4　 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2．为迎接元旦，活跃校园气氛，某校组织班级三人篮球赛，比赛采用双循环赛制(即参加球赛的每两队之间都进行两次比赛)，共要比赛56场，则有_____个班级参加比赛． 8　 巩固练习 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 　数字问题 例3　已知两个相邻正偶数的积是168，求这两个相邻正偶数中较大的数． 解：设这两个相邻正偶数中较大的数是x，则较小的数是(x－2)． 依题意，得x(x－2)＝168． 整理，得x2－2x－168＝0． 解得x1＝14，x2＝－12(不符合题意，舍去)． 答：这两个相邻偶数中较大的数是14． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 3．有一个两位数，它十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数． 解：设这个两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为(x＋2)． 根据题意，得3x(x＋2)＝10x＋(x＋2)． 整理，得3x2－5x－2＝0． ∴x＋2＝4． 答：这个两位数为24． 巩固练习 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 双循环问题 例4．在一次会议上，参加会议的人之间都要互送名片，一共送出了240张名片，求参加这次会议的人数． 解：设参加这次会议的人数为x人． 根据题意，得x(x－1)＝240. 解得x1＝16，x2＝－15(不符合题意，舍去)． 答：参加这次会议的人数为16人． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 4．某生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了210件，则全组共有______名同学． 15　 巩固练习 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例5.某公司举办产品鉴定会，参加会议的是该公司的林经理和邀请的专家，在专家到会时，林经理和每位专家握一次手表示欢迎；在专家离会时，林经理又和他们每人握一次手表示道别，且参加会议的每两位专家都握了一次手，则所有参加会议的人共握手14次.问参加这次会议的专家有多少人？ 解：设参加会议的专家有x人， 依题意得：2x＋x（x－1）＝14， 即x2＋3x－28＝0， ∴（x＋7）（x－4）＝0， 解得x1＝－7（舍去），x2＝4， 答：参加这次会议的专家有4人. 单循环问题 ⁠ 5.在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场.设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（　A　） A.x（x－1）＝36 B.x（x＋1）＝36 C.x（x－1）＝36 D.x（x＋1）＝36 6.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，若共碰杯21次，则参加酒会的人数为（　C　） A.5人 B.6人 C.7人 D.8人 A C 巩固练习 学习内容 二、强化训练 1．一个两位数，它的十位数字比个位数字大3，且十位数字与个位数字的积是28，求这个两位数．设这个两位数的个位数字为x，则可列方程 (　　) A．x2＋3x－28＝0 B．x2－3x－28＝0 C．x2＋3x＋28＝0 D．x2－3x＋28＝0 A　 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2. 若干个好朋友除夕夜打电话互相问候,两个朋友之间都通话1次,共通话 21次.设这些朋友一共x人,则可列方程为　　　　　　.  3. 某足球预选赛实行主客场赛制,每两支参赛队都要进行两次比赛.若某个预选赛区共要比赛72场,则参赛队有　　　　支. x(x-1)=21 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 某航空公司有若干个飞机场,每2个飞机场之间都开辟了1条航线,一共开辟了28条航线,该航空公司共有　　　　个飞机场. 5. 手工制作兴趣小组的成员将自己制作的手工作品向本组其他成员各赠送1件,整个兴趣小组共互赠了132件作品,全组共有多少名成员? 8 设全组共有x名成员.由题意,得x(x-1)=132,即x2-x-132=0,解得x1=12,x2= -11(不合题意,舍去).∴ 全组共有12名成员 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6．在一次商品交易会上，参加交易会的公司每两家之间都要签订一份合同，共签订了78份合同，则共有多少家公司参加了这次交易会？ 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 7. 某种植物的根特别发达,它的主根长出若干数目的支根,支根中的三分之一每根又长出同样数目的小支根,而其余支根每根长出一半数目的小支根,主根、支根、小支根的总根数是109.这种植物的主根长出了多少根支根? 设这种植物的主根长出了x根支根.根据题意,得1+x+x·x+x·x= 109,解得x1=12,x2=-(不合题意,舍去).∴ 这种植物的主根长出了12根支根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 学习内容 三、课堂小结 课堂小结 列一元二次方程解应题 与列一元一次方程解决实际问题基本相同.不同的地方是要检验根的合理性. 传播问题 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量× （1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量× （1+传播速度）=传播前的量× （1+传播速度）2 数字问题 握手问题 送照片问题 关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数. 甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2. 甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以2. 步骤 类型 学习内容 四、课堂检测 1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ ） A.x2=1980 B. x(x+1)=1980 C. x(x-1)=1980 D.x(x-1)=1980 2.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（ ） A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73 C.1+x2 =73 D.(1+x)2=73 D B 3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（ ）？ A.10 B.9 C.8 D.7 D 4.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______. 10 5.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？ 解：初三有x个班，根据题意列方程，得 化简，得 x2-x-12=0 解方程，得 x1=4， x2=-3（舍去） 答：初三有4个班. 解得x1＝2，x2＝－(不符合题意，舍去)． 解：设共有x家公司参加了这次交易会． 根据题意，得 x(x－1)＝78． 解得x1＝13，x2＝－12(舍去)． 答：共有13家公司参加了这次交易会． $