第三章 圆锥曲线（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 上册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套山西专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的考点梳理卷，主要梳理和考查了椭圆的概念、椭圆的几何性质、双曲线的概念、双曲线的几何性质、抛物线的概念等常见考点。 第三章 圆锥曲线 目录 考点一 椭圆的概念及标准方程 1 考点二 椭圆的范围及对称性 1 考点三 椭圆的顶点及离心率 2 考点四 椭圆与直线 3 考点五 双曲线的定义及标准方程 6 考点六 双曲线的范围及对称性 7 考点七 双曲线的顶点、渐近线及离心率 8 考点八 双曲线与直线 8 考点九 抛物线的概念及标准方程 10 考点十 抛物线的范围及对称性 10 考点十一 抛物线的顶点及离心率 12 考点十二 抛物线与直线 13 考点一 椭圆的概念及标准方程 1．、是定点，，动点M满足，则M 点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【答案】D 【分析】根据题中条件可知，由此判断M 点的轨迹. 【详解】∵，动点M满足, ∴M 点的轨迹是线段. 故选：D. 2．下列方程中，表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的标准方程求解即可. 【详解】选项A，，表示以为圆心，半径为2的圆， 选项B，，表示以为圆心，半径为的圆， 选项C，，根据椭圆的标准方程知，该方程表示椭圆， 选项D，，表示以为圆心，半径为的圆. 故选：C. 考点二 椭圆的范围及对称性 3．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先求左焦点坐标，设，坐标表示出向量，根据向量数量积的运算将的关系式代入组成二次函数，即可求解. 【详解】椭圆中， 椭圆左焦点，设，则有 ，解得， 因为， 所以， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：C. 4．已知点是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一动点，则的值（   ） A．最小取4，最大取10 B．最小取4，最大取25 C．恒为10 D．最小取5 【答案】A 【分析】根据题意，可作点关于原点的对称点为，结合椭圆的对称性可知在椭圆上，继而得到，故，，结合椭圆的方程求出a和b的值，即可求解. 【详解】 由题意，设点关于原点的对称点为，由椭圆的对称性可知，在椭圆上， 因为椭圆方程为，所以，， 由向量加法的平行四边形法则得， 则，， 即. 故选：A． 考点三 椭圆的顶点及离心率 5．已知椭圆，则下列说法正确的是（   ） A．有一个顶点为 B．短轴长为6 C．焦点在y轴上 D．离心率 【答案】C 【分析】根据椭圆的方程确定的值，再由椭圆的顶点，短轴，离心率等相关公式逐项分析即可. 【详解】已知椭圆， 则，焦点在y轴上，故C正确， 所以， 则顶点为，故A错误， 短轴长为，故B错误，离心率，故D错误， 故选：C. 6．已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出的值，再由椭圆的定义得出的周长为，即可得出答案. 【详解】椭圆的离心率为，左焦点， 所以且，解得， 所以的周长为 ， 故选：A．    考点四 椭圆与直线 7．过点的直线与椭圆相交，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出直线的方程，再联立直线与椭圆方程，根据直线与椭圆相交得到判别式大于0，进而求解直线斜率的取值范围. 【详解】因为点在椭圆外， 易知过点与椭圆相交的直线斜率存在，设为， 直线的方程为， 联立直线与椭圆方程，消除得到， 因为直线与椭圆相交，则， 可化为，解得，即， 故选：B. 8．与的交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程组求解即可. 【详解】由题可知，解得； 所以与的交点为， 故选：C. 考点五 双曲线的定义及标准方程 9．设椭圆的离心率为，焦点在轴上，且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离之差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的离心率和长轴长可求解焦点坐标，再由双曲线的定义求解标准方程即可. 【详解】∵椭圆的离心率为，焦点在轴上，且长轴长为26， ∴，解得， ∴椭圆的焦点坐标为和， 又∵曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离之差的绝对值等于8， 可知曲线是焦点为和的双曲线， 且，即， ∴， ∴双曲线为. 故选：D. 10．若方程表示双曲线，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程表示双曲线可得，再由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】已知方程表示双曲线， 则， 解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 考点六 双曲线的范围及对称性 11．双曲线的范围是（    ） A． B．， C． D．， 【答案】C 【分析】由双曲线的方程可判断焦点的位置及的值，再根据双曲线的性质可得结果. 【详解】由双曲线方程，可知其焦点在轴上，， 根据双曲线的性质有：，. 故选：C 12．我们把“图像既关于坐标轴对称，又关于原点中心对称”的曲线称为“优美曲线”，则下列方程所表示的曲线中不是“优美曲线”的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合圆锥曲线的性质分析即可求解. 【详解】对A：的图像是以为圆心，半径为2的圆， 圆既关于坐标轴对称，又关于原点中心对称，所以是“优美曲线”； 对B：表示一个椭圆，其中心在原点，长轴沿x轴，短轴沿y轴， 椭圆既关于坐标轴对称，又关于原点中心对称，所以是“优美曲线”； 对C：表示一个双曲线，其中心在原点，实轴沿x轴，虚轴沿y轴， 双曲线既关于坐标轴对称，又关于原点中心对称，所以是“优美曲线”； 对D：表示一个抛物线，焦点在x轴，开口向右，抛物线只关于y轴对称， 不关于原点和x轴对称，所以不是“优美曲线”. 故选：D. 考点七 双曲线的顶点、渐近线及离心率 13．已知双曲线方程为，则（    ） A．实轴长为，虚轴长为2 B．实轴长为，虚轴长为4 C．实轴长为2，虚轴长为 D．实轴长为4，虚轴长为 【答案】B 【分析】首先将双曲线方程化为标准方程，得出的值即可解答. 【详解】双曲线方程化为标准方程为， 可得，所以，， 所以双曲线的实轴长为，虚轴长为4. 故选：B. 14．已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据等比中项的性质确定的值，再由椭圆与双曲线的标准方程确定离心率即可. 【详解】已知实数构成一个等比数列， 所以可得，即， 当时，的方程为为椭圆方程， 则，此时离心率， 当时，的方程为， 此时为双曲线方程，其中， 即，可得此时离心率为. 故选：C. 考点八 双曲线与直线 15．双曲线与直线的公共点有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】将直线方程代入双曲线方程，得到一个关于的方程，通过求解这个方程的根的个数，来确定公共点的个数. 【详解】将代入，得到： ，展开得 ，化简得 将代入，得. 所以公共点为. 故选：B. 16．直线与双曲线交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，联立方程组，结合一元二次方程根的判别式，即可求解. 【详解】因为直线与双曲线交于不同的两点， 所以，消元化简得， 所以，解得， 即斜率k的取值范围是. 故选：C. 考点九 抛物线的概念及标准方程 17．若动点到定点的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹是（   ） A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】若动点到定点的距离与到直线的距离相等，且点不在直线上， 则根据抛物线的定义知，点的轨迹是满足抛物线. 故选：A. 18．抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的焦点公式求解即可. 【详解】抛物线中，所以焦点为，即为. 故选：B. 考点十 抛物线的范围及对称性 19．拋物线上的一点到焦点的距离为3，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据抛物线方程求得准线方程，设，，根据抛物线的定义可知，点到焦点的距离与到准线的距离相等，据此列式可求得，代入抛物线方程可求解. 【详解】由拋物线方程，可知准线方程为， 设，由拋物线的性质，可知， 由于到焦点的距离为3， 则到准线的距离也为3， 故，解得， 将代入，可得. 故选：C 20．已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的切线的性质和勾股定理，结合二次函数的性质，求出P到圆心M的距离的最小值，然后求解的最小值． 【详解】由圆知，圆心，半径为1， 点P为抛物线上的动点，设，则， 过点P作圆的切线，切点为， 则， ， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值， 所以的最小值为． 故选：C． 考点十一 抛物线的顶点及离心率 21．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的标准方程即可求解. 【详解】抛物线为， 所以可知抛物线图像开口向左，且， 所以，即准线方程为. 故选：D. 22．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式方程即可求解. 【详解】因为是抛物线的顶点式方程， 所以顶点坐标为. 故选：A. 考点十二 抛物线与直线 23．斜率为的直线过抛物线的焦点，直线与抛物线相交于，两点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出抛物线的焦点，准线方程，由题意可得直线的方程，代入抛物线方程，根据方程的根与系数的关系，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 直线的方程为，代入抛物线方程可得， ， 由抛物线的定义可知，. 故选：C. 24．设抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足，如果直线斜率为，那么（    ） A．16 B． C． D．8 【答案】D 【分析】根据抛物线方程得到焦点坐标和准线，再根据直线斜率得到坐标，即可得到点坐标，即可求解. 【详解】由题意得，抛物线，则，解得， 所以焦点，准线， 则设，因为直线斜率为，所以， 解得，即， 因为，所以设， 代入抛物线得，即， 所以. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套山西专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的考点梳理卷，主要梳理和考查了椭圆的概念、椭圆的几何性质、双曲线的概念、双曲线的几何性质、抛物线的概念等常见考点。 第三章 圆锥曲线 目录 考点一 椭圆的概念及标准方程 1 考点二 椭圆的范围及对称性 1 考点三 椭圆的顶点及离心率 2 考点四 椭圆与直线 3 考点五 双曲线的定义及标准方程 6 考点六 双曲线的范围及对称性 7 考点七 双曲线的顶点、渐近线及离心率 8 考点八 双曲线与直线 8 考点九 抛物线的概念及标准方程 10 考点十 抛物线的范围及对称性 10 考点十一 抛物线的顶点及离心率 12 考点十二 抛物线与直线 13 考点一 椭圆的概念及标准方程 1．、是定点，，动点M满足，则M 点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 2．下列方程中，表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 考点二 椭圆的范围及对称性 3．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 4．已知点是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一动点，则的值（   ） A．最小取4，最大取10 B．最小取4，最大取25 C．恒为10 D．最小取5 考点三 椭圆的顶点及离心率 5．已知椭圆，则下列说法正确的是（   ） A．有一个顶点为 B．短轴长为6 C．焦点在y轴上 D．离心率 6．已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 考点四 椭圆与直线 7．过点的直线与椭圆相交，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．与的交点是（    ） A． B． C． D． 考点五 双曲线的定义及标准方程 9．设椭圆的离心率为，焦点在轴上，且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离之差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 10．若方程表示双曲线，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 考点六 双曲线的范围及对称性 11．双曲线的范围是（    ） A． B．， C． D．， 12．我们把“图像既关于坐标轴对称，又关于原点中心对称”的曲线称为“优美曲线”，则下列方程所表示的曲线中不是“优美曲线”的为（   ） A． B． C． D． 考点七 双曲线的顶点、渐近线及离心率 13．已知双曲线方程为，则（    ） A．实轴长为，虚轴长为2 B．实轴长为，虚轴长为4 C．实轴长为2，虚轴长为 D．实轴长为4，虚轴长为 14．已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A． B． C．或 D．或 考点八 双曲线与直线 15．双曲线与直线的公共点有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．直线与双曲线交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 考点九 抛物线的概念及标准方程 17．若动点到定点的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹是（   ） A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线 18．抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 考点十 抛物线的范围及对称性 19．拋物线上的一点到焦点的距离为3，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D．2 20．已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 考点十一 抛物线的顶点及离心率 21．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 22．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 考点十二 抛物线与直线 23．斜率为的直线过抛物线的焦点，直线与抛物线相交于，两点，则等于（   ） A． B． C． D． 24．设抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足，如果直线斜率为，那么（    ） A．16 B． C． D．8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $