第三章 圆锥曲线（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 上册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套山西专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查了椭圆的概念、椭圆的几何性质、双曲线的概念、双曲线的几何性质、抛物线的概念等常见考点。 第三章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆上一点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义得即可求解. 【详解】，，， 由椭圆的定义可知，即，， 故选：C. 2．椭圆的焦距为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用椭圆的标准方程求焦距即可. 【详解】由题可知，则， 所以椭圆的焦距为； 故选：D. 3．双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线方程可知：，且焦点在轴上，将之代入渐近线方程即可. 【详解】由双曲线可知，，且焦点在轴上， 所以渐近线方程是. 故选：A 4．已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法不正确的是（    ） A．M的离心率为 B．M的标准方程为 C．M的渐近线方程为 D．直线经过M的一个焦点 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质依据题意求出双曲线得具体方程式，再根据双曲线离心率、渐近线的定义依次判断四个选项即可求解. 【详解】因为双曲线的焦距为4，所以， 所以双曲线的焦点坐标为， ， 渐近线方程为，即， 因为焦点到渐近线的距离是1， 由点到直线的距离公式，得，解得， 所以，解得：. 所以双曲线方程为. 对于A选项：M的离心率为，A选项正确； 对于B选项：M的标准方程为，B选项正确； 对于C选项：M的渐近线方程为，C选项错误； 对于D选项：因为双曲线的一个焦点在直线上， 所以经过M的一个焦点，D选项正确. 故选：C. 5．若抛物线上的点P到焦点的距离为8，则点P到y轴的距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．10 【答案】A 【分析】由抛物线方程求出准线方程，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 点P到准线的距离，则点P到准线的距离也为8， 则点P到y轴的距离为． 故选：A. 6．椭圆的长轴长与焦距之差等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程求出 ，再求长轴长 与焦距之差. 【详解】由题得，， 所以，， 所以长轴长，焦距， 所以长轴长与焦距之差等于． 故选：B 7．已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程可求出焦点，将代入双曲线，结合，解方程即可求解. 【详解】椭圆焦点为， 双曲线焦点为，且， 将代入双曲线， 得， 又， 解得，， 故双曲线的方程为， 故选：D. 8．过点的抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点代入抛物线中，求得值即可得解. 【详解】将点代入抛物线中得，解得， 所以抛物线方程为，焦点在轴正半轴上， 所以准线方程为． 故选：D． 9．已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．长轴长是3，一个焦点为 B．一个焦点为，离心率是 C．焦距是，短轴长是4 D．对称轴是坐标轴，一个顶点为 【答案】C 【分析】由椭圆的标准方程可求解a，b，c的值，再由椭圆的性质即可判断选项. 【详解】因为椭圆方程为，焦点在轴上， 可得，， 所以， A：长轴长是，焦点为和，故A错误； B：焦点为和，离心率是，故B错误； C：焦距是，短轴长是，故C正确； D：椭圆的对称轴是坐标轴，顶点为，，，，故D错误. 故选：C. 10．已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求解． 【详解】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，，抛物线方程为． 故选：C． 11．设，分别为双曲线（，）的左，右焦点，A为C的左顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知设出圆的方程，将渐近线方程与圆的方程联立求出两点坐标，再结合已知和双曲线离心率公式计算即可解得. 【详解】以为直径的圆的方程为 设以为直径的圆与渐近线相交于点， 根据对称性得，由，得，解得， 则．因为所以，由，则， 设双曲线的右顶点为，则为等腰直角三角形,则 即，，所以离心率 故选：C    12．已知椭圆：的焦距为，过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义，椭圆的离心率公式，结合勾股定理即可求解. 【详解】依题意，设，则， 所以， 在中，因为，所以， 即，解得，所以. 又在中，， 即，解得， 所以. 故选：C. 13．已知F为双曲线：的左焦点，P为的右支上一点，则直线PF的斜率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线PF为，与双曲线方程联立，然后根据方程有一正根一负根，列方程求解. 【详解】由已知，设直线PF为， 联立，消去得 根据已知可得方程有一正根一负根， ， 解得 故选：D． 14．已知点，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先判断点A与抛物线的位置，再由抛物线的定义即可求解. 【详解】将A的坐标代入可得，所以点A在抛物线的内部， 由抛物线的方程可得准线方程为， 过点作准线的垂线交抛物线于，交准线于，过点P作准线的垂线,交准线于， 由抛物线的定义可得， 当点P与点Q重合时，可取得最小值， 所以的最小值为5. 故选：B．    15．已知椭圆：，过点的直线与椭圆交于两点，若线段的中点是，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，求出直线的斜率，将点 代入椭圆标准方程，利用点差法，结合中点公式，即可得出答案． 【详解】过点的直线与椭圆交于两点，设点， 则直线的斜率为． 因为点在椭圆上，所以， 两式相减可得， 整理可得， 又线段的中点是，则， 所以，即， 可得． 故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．请写出渐近线方程为的一个双曲线方程 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据双曲线的渐近线，可知和的关系，任取一组合适的值，即可求解． 【详解】由题意可知，若双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为， 则，取， 则双曲线方程为； 故答案为：（答案不唯一）. 17．若表示焦点在轴上的双曲线的的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据焦点在轴上的双曲线的定义可得：，求解不等式组即可得到的取值范围. 【详解】因为表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得：， 因此的取值范围为. 故答案为：. 18．天宫空间站的建成，标志着我国独立掌握了近地轨道大型航天器在轨组装建造技术，具备了开展空间长期有人参与科学技术实（试）验的能力，为不断推动我国空间科学、空间技术的创新发展，为建设航天强国、提升我国在国际载人航天领域的影响力提供了重要支墇．设某航天器轨道可近似为一个以地心为其中一个焦点的椭圆，其近地点距地面约为，远地点距地面约为，地球半径约为，则此航天器轨道的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据远地点和近地点，求出轨道即椭圆的半长轴和半焦距，即可求得答案. 【详解】设椭圆的半长轴为a，半焦距为c. 则根据题意得，解得， 故此航天器轨道的离心率为 故答案为： 19．已知双曲线 的两条渐近线分别与抛物线 的准线交于两点．O为坐标原点．若的面积为2，则 的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合双曲线方程先求出渐近线方程，结合抛物线方程表示出准线方程，将渐近线方程和准线方程联立方程组，即可求出交点的坐标，结合点到直线的距离和三角形面积，即可求解. 【详解】因为双曲线标准方程为， 所以，即， 又双曲线焦点在轴上， 所以渐近线方程为， 因为抛物线的方程为， 所以准线方程为， 所以，所以， 即两点的坐标为， 所以， 又原点O到准线的距离为， 所以的面积， 所以或（舍）. 故答案为：. 20．椭圆上一点P到左准线的距离为2，则P到右焦点的距离为 ． 【答案】 【分析】先由椭圆的标准方程求出左准线和右焦点以及点P的坐标，再由两点间距离公式即可求解. 【详解】由椭圆方程可知，， ， 则左准线为， 因为点P到左准线的距离为2，所以可知点P的横坐标为， 将点P的横坐标代入椭圆中有， 右焦点为， 所以点P到右焦点的距离为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．求双曲线的顶点、焦点的坐标，以及渐近线方程． 【答案】顶点是、，两个焦点是、，两条渐近线的方程是和 【分析】把双曲线的方程化成标准方程，再分别求出定点，焦点及渐近线方程即可. 【详解】把双曲线的方程化成标准方程, 因此实半轴的长，虚半轴的长,于是, 因此两个顶点是、， 两个焦点是、， 两条渐近线的方程是和． 22．求双曲线的焦点坐标，并画出该双曲线的图形. 【答案】焦点坐标为和，图形见解析； 【分析】根据双曲线方程求出，即可得到焦点坐标，从而得到双曲线的图形； 【详解】解：因为双曲线方程为，所以、，因为，所以，，所以双曲线的焦点坐标为和； 双曲线的图形如下所示： 23．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线交椭圆于A，B两点，且的周长为8． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆只有一个交点M，且直线l与直线交于点N，问：是否存在x轴上某定点Q，使得以MN为直径的圆经过点Q，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）先由的周长求出a的值，再由离心率公式求出c的值，即可求解椭圆的方程. （2）先联立直线与椭圆的方程，由直线与椭圆的位置关系求解点M的坐标，再联立两条直线的方程求解点N的坐标，解设点Q的坐标，由求解点Q的坐标即可. 【详解】（1）由题意，因为的周长为8，所以，解得， 又因为离心率，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为． （2）联立直线l的方程与椭圆方程，得方程组， 消去y，得， 因为直线l与椭圆只有一个交点， 所以，即， 化简，得， 所以，，即点， 联立直线l的方程与直线的方程，得方程组， 解得点， 设点，则，， 若以MN为直径的圆经过点Q，则， 即，化简，得， 因为是变量，所以，解得， 所以存在点Q，点． 24．已知双曲线C：上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M，N两点，且，是否存在m，n使得椭圆的离心率为？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在符合题意的椭圆，其方程为 【分析】（1）设， 由及可得， 得， 再结合即可解决问题； （2）设，则PM方程为， 联立渐近线方程得到，进一步得到，同理得到， 再利用计算即可得到答案. 【详解】（1）设， 由， 所以，    ① 又点在上，所以， 即，       ② 由①②得：，      ③ 又E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点， |EF|的最小值为， 所以，     ④ 又，⑤ 联立③④⑤解得：， 所以双曲线C的标准方程为： （2）假设存在，由（1）知的渐近线方程为， 则由题意如图： 所以由，    设，则直线方程为， 直线方程为 由，得； 由，得   又， 所以， 所以，， 同理可得，， 由四边形是平行四边形，知， 所以，， 即， 所以，存在符合题意的椭圆，其方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套山西专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查了椭圆的概念、椭圆的几何性质、双曲线的概念、双曲线的几何性质、抛物线的概念等常见考点。 第三章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆上一点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．椭圆的焦距为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 3．双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法不正确的是（    ） A．M的离心率为 B．M的标准方程为 C．M的渐近线方程为 D．直线经过M的一个焦点 5．若抛物线上的点P到焦点的距离为8，则点P到y轴的距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．10 6．椭圆的长轴长与焦距之差等于（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．过点的抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 9．已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．长轴长是3，一个焦点为 B．一个焦点为，离心率是 C．焦距是，短轴长是4 D．对称轴是坐标轴，一个顶点为 10．已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 11．设，分别为双曲线（，）的左，右焦点，A为C的左顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．已知椭圆：的焦距为，过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．已知F为双曲线：的左焦点，P为的右支上一点，则直线PF的斜率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 14．已知点，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 15．已知椭圆：，过点的直线与椭圆交于两点，若线段的中点是，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．请写出渐近线方程为的一个双曲线方程 . 17．若表示焦点在轴上的双曲线的的取值范围为 . 18．天宫空间站的建成，标志着我国独立掌握了近地轨道大型航天器在轨组装建造技术，具备了开展空间长期有人参与科学技术实（试）验的能力，为不断推动我国空间科学、空间技术的创新发展，为建设航天强国、提升我国在国际载人航天领域的影响力提供了重要支墇．设某航天器轨道可近似为一个以地心为其中一个焦点的椭圆，其近地点距地面约为，远地点距地面约为，地球半径约为，则此航天器轨道的离心率为 ． 19．已知双曲线 的两条渐近线分别与抛物线 的准线交于两点．O为坐标原点．若的面积为2，则 的值为 . 20．椭圆上一点P到左准线的距离为2，则P到右焦点的距离为 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．求双曲线的顶点、焦点的坐标，以及渐近线方程． 22． 求双曲线的焦点坐标，并画出该双曲线的图形. 23．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线交椭圆于A，B两点，且的周长为8． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆只有一个交点M，且直线l与直线交于点N，问：是否存在x轴上某定点Q，使得以MN为直径的圆经过点Q，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 24．已知双曲线C：上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M，N两点，且，是否存在m，n使得椭圆的离心率为？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $