第四章 立体几何（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 上册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套山西专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查了平面、直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等常见考点。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知下列命题：①同一平面内不相交的两直线互相平行；②空间中，平行于同一直线的两条直线必平行；③空间中，垂直于同一直线的两直线必平行；④空间中，如果两个角的边分别平行，那么这两个角相等．其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平面内两直线的位置关系可判断①；根据公理4可判断②；根据空间中两直线的位置关系可判断③；根据等角定理可判断④． 【详解】①：根据平面内两直线的位置关系可知，同一平面内不相交的两直线互相平行，故①正确； ②：根据公理4可知，平行于同一直线的两条直线必平行，故②正确； ③：垂直于同一直线的两直线可能相交，可能平行，也可能异面，故③错误； ④：空间中，如果两个角的边分别平行，那么这两个角相等或互补，故④错误． 所以假命题的个数是2个． 故选：B． 2．已知，是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（    ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有一条直线与平面内的一条直线平行 D．平面与平面不相交 【答案】D 【分析】根据面面平行的判定，逐一分析各选项即可. 【详解】A选项，平面内有一条直线与平面平行，平面与平面也可能相交，A错误； B选项，平面内的这两条直线必须相交才能得到平面与平面平行，B错误； C选项，平面内有一条直线与平面内的一条直线平行，平面与平面也可能相交，C错误； D正确，因为不重合的两个平面的位置关系只有相交与平行两种，所以平面与平面不相交，则平面与平面平行. 故选：D． 3．设直线直线b，直线b在平面内，且，则（    ） A． B．a与相交 C．a在内 D．a与的位置关系无法确定 【答案】A 【分析】根据线面平行的判定即可解得. 【详解】由题，， 则， 故选：A 4．下列命题中，正确的命题序号是（    ） ①平行于同一直线的两直线平行； ②垂直于同一直线的两直线平行； ③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ④与已知直线平行且距离长为定值的直线有两条． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用平行线的传递性可判断①；利用空间中直线的位置关系可判断②；利用反证法可判断③；利用圆柱可判断④. 【详解】对于①，由平行线的传递性可知①对； 对于②，垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，②错； 对于③，若在直线外，若过点存在两条不同的直线、，使得，， 则，与假设矛盾，假设不成立，③对； 对于④，设直线为圆柱的轴所在的直线，如下图所示： 所有与直线平行且到直线的距离为的直线可视为底面半径为的圆柱的母线所在的直线， 故与已知直线平行且距离长为定值的直线有无数条，④错. 故选：B. 5．“平面与平面平行”是“平面内的任何一条直线都与平面平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由线面平行，面面平行的定义和判定验证充分性、必要性即可. 【详解】充分性： “平面与平面平行”，即两个平面没有公共点， 所以“平面内的任何一条直线都与平面平行”，充分性成立. 必要性： “平面内的任何一条直线都与平面平行”， 则平面内必存在两相交直线与平面平行，由面面平行的判定定理可知， “平面与平面平行”，故必要性成立. 所以“平面与平面平行”是“平面内的任何一条直线都与平面平行”的充要条件. 故选：. 6．下列说法正确的是（   ） A．经过直线外一点，可以作无数条直线平行于 B．经过平面外一点，可以作无数个平面平行于 C．两条直线可以确定一个平面 D．若直线垂直于平面内的两条相交直线，，则 【答案】D 【分析】根据直线与平面的基本性质求解即可． 【详解】经过直线外一点只能作一条直线平行于， 经过平面外一点只能作一个平面平行于， 两条异面直线不能确定一个平面， 直线垂直于平面内的两条相交直线，，则（直线垂直于平面的判定定理）， 故选：D． 7．下面有四个说法： ①经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直； ②如果平面和不在这个平面内的直线a都垂直于平面，那么； ③垂直同一平面的两个平面互相平行； ④垂直同一平面的两个平面互相垂直． 其中正确的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用线面垂直和面面垂直的性质，进行逐一判断即可得出结果. 【详解】①由面面垂直的判定定理可知，经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直，故①正确； ②由线面垂直和面面垂直的性质可知，若，则或， 又，所以，即②正确； ③垂直同一平面的两个平面互相平行或相交，故③错误； ④垂直同一平面的两个平面互相平行或相交，故④错误； 综上可得，正确的说法个数是2个. 故选：B 8．如图，是一个正方体，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的性质可知，即可得解. 【详解】如图所示，连接， 因为正方体，所以， 所以为等边三角形，则. 故选：. 9．给出下列命题，其中是假命题是（    ） A．存在每个面都是直角三角形的四面体 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若过相对侧棱的两个截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【答案】D 【分析】举例即可说明ABC项，根据棱柱的结构特征及概念，即可判断D项. 【详解】对于A，如图，在正方体中，    三棱锥的四个面均为直角三角形，故A正确. 对于B，如图，在三棱锥中，，，，    由，，且，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 同理可得，平面平面，平面平面，故B正确. 对于C，如图，平面平面，平面平面，平面平面，    所以平面，易知，则平面，故C正确. 对于D，根据棱柱的定义可得，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，但是不一定全等，故D错误. 故选：D. 10．在正方体中，下列说法正确的是（    ） A． B．与所成的角是 C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】根据正方体中的线线、线面的平行关系和垂直关系和异面直线所成的角的定义，依次判断即可. 【详解】对于A，，，由图可知， 异面，A错误； 对于B，连接，因为，所以就是与所成的角， 在正方体中，是等边三角形，所以，B正确； 对于C，因为，平面，所以与平面相交，并不平行， C错误； 对于D，假设平面，因为平面，则， 在正方体中，是等边三角形，所以，不成立，所以假设错误， 与平面不垂直，D错误. 故选：B 11．若正三棱锥的底面边长为，斜高为，则正三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出正三棱锥的图形，利用正三棱锥的结构特征，结合条件与勾股定理依次求得该正三棱锥的底面面积与高，从而利用棱锥的体积公式即可得解． 【详解】 如图，为正三棱锥底面的中心，为的中点，则底面， 在正三角形中，，即为斜高，故， 在正三角形中，，所以， 则， 因为为正三棱锥底面的中心，所以， 又因为底面，底面，所以， 故在中，， 所以该正三棱锥的体积为． 故选：A． 12．对于两个不同的平面，和三条不同的直线，，.有以下几个命题： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则； ⑤若，，则. 则其中所有错误的命题是（    ） A．③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】D 【分析】根据直线与平面平行，以及平面与平面平行的性质，即可求解. 【详解】①中，根据平行公理，平行于同一条直线的两条直线互相平行， 若，，则，正确； ②中，若，，则与可能平行、相交或异面，即不一定成立，错误； ③若，，则或者，错误； ④若，，则与可能平行也可能相交，错误； ⑤若，，则或者，错误， 即错误的有②③④⑤， 故选：D. 13．在三棱锥中，两两垂直，，则点到平面的距离等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据利用等体积法求解即可. 【详解】设点到平面的距离为， ∵两两垂直，且， ∴，， ∴， 又，，，平面， 所以平面， ∵，即 ∴， ∴，即点到平面的距离为， 故选：D 14．如图所示，为圆的直径，点在圆周上（异于点，），直线垂直于圆所在的平面，点为线段的中点.有以下四个命题，正确的是（   ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】根据线面垂直，线面平行的定理判断. 【详解】因为平面，所以不平行于，故A不正确； 因为点为线段的中点，为中点，所以， 因为平面而且平面， 所以平面，所以B不正确； 因为为直径，为圆上一点，所以，因为不平行于， 所以不垂直于，所以不垂直于平面，所以C不正确； 因为，因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面，所以D正确. 故选：D. 15．已知a，b，c是三条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据线线、线面及面面的位置关系一一判断求解即得. 【详解】对A，若，，则可能平行、相交或异面，A错误； 对B，若，，则可能平行、相交或异面，B错误； 对C，若，，则可能、 或与相交，C错误； 对D，因为，，则，D正确； 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．两个平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ，，，， 图形语言    【答案】两条相交直线 【解析】略 17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则AC与B1C1所成的角是 ；AC与BC1所成的角是 . 【答案】 【解析】根据异面直线所成角的求法即可求解. 【详解】 连接、，则， 所以AC与B1C1所成的角为, AC与BC1所成的角为， 又因为为等腰直角三角形，则 为等边三角形，则. 故答案为：； 【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 18．如图，是所在平面外一点，连结PA、PB、PC后，在包括AB、BC、CA的六条棱所在的直线中，异面直线的对数为 . 【答案】3 【分析】由异面直线的定义，结合已知图形判断即可. 【详解】 由异面直线的定义可知， 直线PA与直线BC，直线PC与直线AB，直线PB与直线AC互为异面直线， 所以异面直线的对数为3对. 故答案为：3. 19．如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，且底面，若，，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】首先取中点，连，，再根据棱柱的几何特征以及线面垂直的判定定理可证明出平面，可知为直线与平面所成角，再由题中的条件根据勾股定理求出中的边长，最后由正弦的定义求值即可. 【详解】取中点，连，， 因为在三棱柱中，底面是等边三角形， 所以底面是等边三角形，从而， 因为底面，所以底面， 因为底面， 所以，又， 且平面，平面， 从而平面， 因此为直线与平面所成角， 且由平面，平面， 可知，为直角三角形， 因为，， 所以， 因为， 所以, 所以， 故答案为：． 20．给出下列命题： ①如果平面与平面相交，那么它们只有有限个公共点； ②两个平面的交线可能是一条线段； ③经过空间任意三点的平面有且只有一个； ④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面． 其中正确命题的序号为 ． 【答案】④ 【分析】根据平面的基本性质和推理判断正确即可. 【详解】两个平面相交得到一条直线，故①②错误； 当空间中的三点在一条直线上时，则经过这三点可作无数个平面，故③错误； 当三点不共线时，过三点能作并且只能作一个平面，所以这两个平面重合，故④正确． 故答案为：④. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱中，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】． 【分析】根据直线与平面所成角的定义确定所求角，进而求解即可. 【详解】 在正四棱柱中，平面，连接， 则为在平面的射影，则为与平面的所成角． 在中，， 直线与平面所成角的余弦值为． 22．如图，在正方体中，求异面直线与所成的角的大小； 【答案】 【分析】证明，由异面直线夹角的定义可知是异面直线与所成角的平面角，又为正三角形，所以可得结果为. 【详解】连接， ，如下图所示： 因为， 所以四边形是平行四边形，则， 所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角， 即是异面直线与所成角的平面角， 设正方体的棱长为，则， 所以为正三角形，因此. 即异面直线与所成的角的大小为. 23．在棱长为1的正方体中，是对角线的中点.求： (1)与所成的角的大小； (2)二面角的大小的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，可证明，可知与所成的角就是与所成的角，即为所求，在等边中可求解； （2）设，连接，可证，即是二面角的平面角，在直角中可求解. 【详解】（1）如图，连接，， 在正方体中，且，所以四边形是平行四边形， 所以， 所以与所成的角就是与所成的角，即为所求， 由于，，是正方体各面的对角线，所以， 又因为是对角线的中点，所以. 即与所成的角的大小为； （2）如图，设，连接， 由于，，是正方体各面的对角线，所以， 又是对角线的交点，所以， 所以是二面角的平面角， 因为平面.平面，所以， 在直角中，， 所以，即二面角的大小的正切值为. 24．如图，正方体中，点，，分别是棱，，的中点，判断下列直线的位置关系： (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1)异面 (2)平行 (3)相交 【分析】（1）由异面直线的概念即可判断. （2）连接，证明出四边形为平行四边形，即可得到与平行. （3）连接，由中位线证明出平行，从而得到与相交. 【详解】（1）由图可得，作与的延长线与点， 则平面， 且点平面，点平面， 所以平面， 所以与异面. （2）连接， ∵分别为，的中点， ∵为正方体 ∴， 由勾股定理得， ∴为平行四边形， ∴. （3）连接， ∵分别是棱的中点， ∴，又∵， ∴，但，∴为梯形， ∴与共面，但不平行， ∴与相交. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套山西专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查了平面、直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等常见考点。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知下列命题：①同一平面内不相交的两直线互相平行；②空间中，平行于同一直线的两条直线必平行；③空间中，垂直于同一直线的两直线必平行；④空间中，如果两个角的边分别平行，那么这两个角相等．其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知，是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（    ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有一条直线与平面内的一条直线平行 D．平面与平面不相交 3．设直线直线b，直线b在平面内，且，则（    ） A． B．a与相交 C．a在内 D．a与的位置关系无法确定 4．下列命题中，正确的命题序号是（    ） ①平行于同一直线的两直线平行； ②垂直于同一直线的两直线平行； ③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ④与已知直线平行且距离长为定值的直线有两条． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 5．“平面与平面平行”是“平面内的任何一条直线都与平面平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．下列说法正确的是（   ） A．经过直线外一点，可以作无数条直线平行于 B．经过平面外一点，可以作无数个平面平行于 C．两条直线可以确定一个平面 D．若直线垂直于平面内的两条相交直线，，则 7．下面有四个说法： ①经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直； ②如果平面和不在这个平面内的直线a都垂直于平面，那么； ③垂直同一平面的两个平面互相平行； ④垂直同一平面的两个平面互相垂直． 其中正确的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，是一个正方体，则（    ） A． B． C． D． 9．给出下列命题，其中是假命题是（    ） A．存在每个面都是直角三角形的四面体 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若过相对侧棱的两个截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 10．在正方体中，下列说法正确的是（    ） A． B．与所成的角是 C．平面 D．平面 11．若正三棱锥的底面边长为，斜高为，则正三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 12．对于两个不同的平面，和三条不同的直线，，.有以下几个命题： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则； ⑤若，，则. 则其中所有错误的命题是（    ） A．③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 13．在三棱锥中，两两垂直，，则点到平面的距离等于（    ） A．1 B． C． D． 14．如图所示，为圆的直径，点在圆周上（异于点，），直线垂直于圆所在的平面，点为线段的中点.有以下四个命题，正确的是（   ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 15．已知a，b，c是三条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．，，则 C．若，，则 D．若，，则 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．两个平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ，，，， 图形语言    17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则AC与B1C1所成的角是 ；AC与BC1所成的角是 . 18．如图，是所在平面外一点，连结PA、PB、PC后，在包括AB、BC、CA的六条棱所在的直线中，异面直线的对数为 . 19．如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，且底面，若，，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 20．给出下列命题： ①如果平面与平面相交，那么它们只有有限个公共点； ②两个平面的交线可能是一条线段； ③经过空间任意三点的平面有且只有一个； ④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面． 其中正确命题的序号为 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱中，求直线与平面所成角的余弦值． 22．如图，在正方体中，求异面直线与所成的角的大小； 23．在棱长为1的正方体中，是对角线的中点.求： (1)与所成的角的大小； (2)二面角的大小的正切值. 24．如图，正方体中，点，，分别是棱，，的中点，判断下列直线的位置关系： (1)与； (2)与； (3)与． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $